指数、对数及幂函数知识点小结及习题

1、.指数函数、对数函数及幂函数.指数与指数函数1.指数运算法则：（1） ar asar s； （2） arsars ； （ 3） abrar br ；mn am ；（ ）（ 4） a n5 a2. 指数函数：指数函数0<a<1m1a na , n奇n（6） nn a m| a |, n 偶a>1图象表达式yax定义域R值 域(0,)过定点(0,1)单调性单调递减单调递增;.【基础过关】类型一：指数运算的计算题此类习题应牢记指数函数的基本运算法则， 注意分数指数幂与根式的互化， 在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便1、526的平方根是 _2、 已知 an

2、2 ， amn16 ，则 m 的值为( )A 3B 4C a3D a6b(ab)1a22abb23、化简b a的结果是()A、 aabB 、 aba C 、b aaD、 2bb a a41a 38a 3b(1 23b)22a4、已知 a0.001 ，求： a 32 3 ab4b 3=_x 111335、已知 x3 ，求（ 1） x2x 2=_（ 2）x 2x 2=_6、若 xyx y22 ，其中 x1, y0 ，则 xyxy_类型二：指数函数的定义域、表达式指数函数的定义域主要涉及根式的定义域， 注意到负数没有偶次方根； 此外应牢记指数函数的图像及性质函数 ya f ( x) 的定义域与 f

3、( x) 的定义域相同11、若集合 A= x y 31 x,B= x s2 x 1, 则 A B_2、如果函数yf (x) 的定义域是 1,2 , 那么函数 y f (2 1 x ) 的定义域是 _;.13、下列函数式中，满足f(x+1)=2 f(x) 的是()1x1x1C、 2xD、 2 xA、 2B、46234、若 4a4a 11 2 a ，则实数 a 的取值范围是( )A 、 a211D 、任意实数B 、 aC、 a22类型三：复合函数形如a2 xb axc 0的方程，换元法求解12函数 ya f ( x) 的定义域与f (x) 的定义域相同先确定 f (x) 的值域，再根据指数函数的值

4、域，单调性，可确定ya f ( x) 的值域3涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”（ 1）外函数是二次函数，内函数是指数函数1、求函数y2 3x9x1 的值域2、当1x0 时，函数 y2x 23 4x 的最大值是 _ ，最小值是 _113、已知 x-3,2 ，求 f(x)= 4x 2x 1的最大值是 _，最小值是 _（ 2）外函数是指数函数，内函数是二次函数12 x2 8x 1(-3 x 1 ) 的值域是 _，单调递增区间是 _1、函数 y=( 3 )12、已知函数 y=(

5、 3 ) x2 2x5 ，求其单调区间 _ 及值域 _类型四：奇偶性的判定利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分;.1、函数 f ( x) (1a x ) 2a x是( )A 、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数 D 、既奇且偶函数a x11)2、已知函数 f(x)=a x( a1(1) 判断函数的奇偶性；(2) 求该函数的值域；(3) 证明 f(x) 是 R 上的增函数。a 2xa 2R)3、设 a R,f(x)=2x( x1，试确定 a 的值，使 f(x)为奇函数类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用1、已知 a0 ，且 a1，解不等式 ax2 6a5x2、已知 f(x)

6、=a2 x2 3x 1,g(x)= a x2 2 x 5(a 0 且 a 1), 确定 x 的取值范围 , x1 使得 f(x)g(x).;.对数与对数函数1、对数的运算：1、互化： abNblog a N2、恒等： alog a NN3、换底： loga blog cblog ca推论 1 loga b1推论 2 log a b log b c log a clog ban n推论 3log a m blog a b (m0)m4、 log a MNlog a Mlog a Nl o g Ml o Mgl No gaNaa5、 log a M nn log aM2 对数函数：对数函0<

7、a<1a>1数图象表达式y log a x定义域(0, )值 域R过定点(1， 0)单调性单调递减单调递增【基础过关】类型一：对数的基本运算此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意常用对数：将以 10 为底的对数叫常用对数，记为lg N12自然对数：以 e=2.71828 为底的对数叫自然对数，记为ln N3零和负数没有对数，且 log a1 0, log a a 1;.21 lg 0.811 lg 0.0081、 (1)、23(2)、 lg 22lg 2lg 9lg 5 lg 20(3)、 log 4 3log 8 3(log 3 5log 9 5) (log 5 2log 2

8、5 2)2、已知log a x 2 , log b x 3 , log c x 6 求 log abc x 的值类型二：指数，对数的混合运算指数函数 ya x (a0,a1) 与对数函数ylog a x(a0,a1) 的图象与性质函数y=a xy=log a xa0<a<1a>10<a<1a>1图yyyyx=1x=11y=11y=1aaxaaO 1O 1x象O1xO1x定义域(-,+)(0,+)值 域(0,+)(- ,+)过定点(0,1) ，即 x =0 时， y=1.(1,0) ，即 x=1 时， y=0.y值区域x<0 时， y>1;x<

9、;0 时,0<y<1;0<x<1 时,y>0;0<x<1 时,y<0;x>0时， 0<y<1.x>0 时， y>1.x>1 时， y<0.x>1 时， y>0.单调性在(-,+)内是在(- ,+)内是在(0,+)内是在 (0,+)内是减函数增函数减函数增函数;.1、若 log a 2m,log a 3n, 则 a3m 2n_2、若 a 1且 0b 1，则不等式 alogb ( x 3) 1的解集为 _3、已知 3a5bA,且 112 ，则 A 的值是 _ab4、已知 3a2，那么 log 3

10、82log 3 6 用 a 表示是 ()A、 a 2B、 5a 2C、3a (1 a)2D、 3a a2【能力提升】类型三：对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如yf g ( x) 的复合函数可分解为基本初等函数y f (u),u g( x) ，分别确定这两个函数的定义域。y1(2x)log 11、函数2的定义域是 _f (log 3 ( x5 )2 x 2，则 f (0) =_2、已知23、已知 f ( x 6 )log 2 x ，那么 f (8) =_类型四：对数函数的值域注意复合函数的值域的求法，形如y f g (x) 的复合函数可分解为基本初等函数yf (u),ug(

11、 x) ，分别确定这两个函数的定义域和值域。ylog1 (x26x 17)1. 函数2的值域是 _1，函数 f ( x)log ax 在区间 a, 2a 上的最大值与最小值之差为12.设 a2 ，则a =_3. 函数 f ( x)a xlog a (x 1) 在 0,1 上最大值和最小值之和为a ，则 a 的值为_类型五：对数函数的单调性、奇偶性y lg xylog 1( x23x 2)的单调递增区间是 _; 函数2的递增1、函数区间是 _;.2、下列各函数中在（0， 1）上为增函数的是()ylog 1 ( x1)B. ylog2x2 1A.2ylog 31ylog 1 ( x24x 3)C.

12、xD.3ylg213、函数1x的图像关于()A 、 x 轴对称B、 y 轴对称C、原点对称D 、直线 yx 对称f ( x) lgx21 x是（奇、偶）函数。4、函数f ( x)10x10 x，判断 f ( x) 的奇偶性和单调性。5、已知函数10x10 x类型六：对数中的不等关系比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小1、设 alog 0.7 0.8blog 2 0.9clog 4 5 ，则 a, b, c 的大小关系是 _2、设 alg e, b(lg e)2 , clge, 则 a, b, c 的大小关系是 _3、如果log31m 5，那么 m 的取值范围是 _4、如果

13、 log a 3log b 30 ，那么 a,b 的关系是()A.0 a b 1B. 1 a bC. 0 b a 1D. 1 b a5、已知 log a ( x21)log a (2 x4) 0 ，则不等式解集为 _6、若 f ( x)log ax在 2,) 上恒有 f ( x)1 ，则实数 a 的取值范围是 _类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）f (x)lg(2a)f ( x) 0 的 x 的取值范围是 _1、设1x是奇函数，则使;.Ax log2x 2 , B ( , a)B 则实数 a 的取值范围是 ( c,) ，2、已知集合，若 A其中 c = _.3、若 x1 满足 2x

14、+2x =5,x2 满足 2x+2 log 2( x 1) =5,x1 + x2 ()57A. 2B.3C. 2D.4幂函数一、幂函数图象的作法：根据幂函数yxk 的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作nn出其他象限的图形 . 如果幂函数的解析式为 yx m 或 yx m （ m 、 nN ，m 2 ， m 、n 互质）的形式，先化为ym x n ，或 y1的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、m x n单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象.二、幂函数图象的类型：（共有 11 种情况）kkn0 knkn011mmm奇函数m 、n 都是奇数yyy-1-1-1o 1x

15、o 1xo 1x13y=x-53y=x5y=x3;.偶函数m 是奇数，n 是偶数非奇非偶函数m 是偶数，n 是奇数三、幂函数图象特征：.yyy-1-1-1o 1xo 1xo 1x224-y=x3y=x3y=x3yyy-1-1-1o 1xo 1xo 1x113-y=x2y=x2y=x2（ 1）当 k 0 时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；（2）当 k0 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；（ 3）当 0 k 1 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；（ 4）当 k 1 时，图象是一、三象限的角平分线；yy=x（5）当 k1 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲

16、线.y=x o (x0)-1o（6）幂函数图象不经过第四象限；o1x（7）当 k0 时，幂函数yxk 的图象一定经过点（0，0）和点（ 1， 1）（8）如果幂函数yx k 的图象与坐标轴没有交点，则k0；;.（9）如果幂函数 y x( 1) p nm （ m 、 n 、 p 都是正整数，且 m 、 n 互质）的图象不经过第三象限，则 p 可取任意正整数，m 、 n 中一个为奇数，另一个为偶数 .四、幂函数典型问题：1概念问题：【例 1】 1已知幂函数，当时为减函数，则幂函数_【变式】当 m 为何值时，幂函数y=(m2-5m+6)的图象同时通过点 (0，0)和 (1，1).2定义域问题：13【例

17、 2】函数 y x 2x 5( x 2) 0 的定义域为【变式】 .求函数 y=的定义域 .3单调性问题：33【例 3】已知 (a 3) 5(1 2a) 5，求实数 a 的取值范围 .;.【变式 1】讨论函数的单调性 .【变式 2】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性4图象问题：【例 4】若函数 yx m2 2m 3 (m Z ) 的图象与坐标轴没有交点，且关于y 轴对称，求函数f ( x) 的解析式 .【例 5】利用函数的图象确定不等式的解集：（1）不等式x2 (x 1) 的解集为31（2）不等式 x 4x3 的解集为说明： 先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标， 从而能较容易地写出不等式的解集5函数图象的平移、对称、翻折变换问题：说明： 很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到y1 ； y1 ； yk (k0, k 1) ； yk (k 0, k 1)xxxx;.【例 6】作出下列函数的大