6相似三角形证明技巧

1、6相似三角形证明技巧LT相似三角形证明技巧姓名：一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两 个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相 似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全 等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的 讨论又是以全等形的有关定理为基础.二、相似三角形(1)三角形相似的条件：; ;.三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据 问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线）, 因为这个条件最简单;2）

2、再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等,则只考虑三组对应边是否成比例:、J找另二箱 形相似两角对应相等，两三角找夹边对应裁比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似等L Ar n r4+tJr,两三角形相似两边对应成比例且找第三边也对应成比例 角形相似三边对应成比例，两三找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似八二 无n找另一角角形相似找两边对应戢比例两角对应相等，两三判定定理1或判定定理4找顶角对应相等找底角对应相等判定定理1判定定理1找底和腰对应成比例一判定定理3e）相似形的传递性 若“2, A2A3,则 1 s23五、确定证明的切入点。几

3、何证明题的证明方法主要 有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证， 得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析， 不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”； 第三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析 找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。六、证明题常用方法归纳：（一）、总体思路：“等积”变“比例”，“比例”找“相 似”（二）、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用 三点定形法”、 等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若比例式 或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比 转移”必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似 三角形来证明.可用口诀：遇等积，

4、改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园哥.1、“三点定形法”：通过“横找” “竖看”寻找 三角形，由有关线段的三个不同的端点来确定三 角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后 项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分 别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三 角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能， 再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段 的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 则 只要证明这两个三角形相似就行了， 这叫做“竖 士力 7E。例1、已知：如图，AAB阱,CE±AB,BF:±

5、;AC.求证：AE_ AC艮正氤1/BC例2、如图，CD是RtAABC的斜边AB上的高，/BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,求证:AC - AE=AF - AB例3、已知：如图， ABC中，/ACB=9& AB的垂 直平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证：cD=de dr例3、如图在 BBC, AD BE分别是BC AC边上的高，DF,AB于F,交AC的延长线于H,交BE于G,求证：FG/ FA= FB/ FH (2) FD是FG与FH的比例中项.说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形 相似.找相似三角形用三点定形法（在比例式中，或 横着找三点，或竖着找三点），若不

6、能找到相似三角 形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找 等比代换例4、如图6, CABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F,已知BE: EC =Safbe = 18,求：（1）BF: FD说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等，再由平截比定 理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比 性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平 方，求出三角形的面积.2、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就 要考虑灵活地运用 过渡”，其主要类型有三种：（1）等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时， 即如果

7、线 段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线 上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三 角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已 知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段 来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅 助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。当 然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例5:如图3, /SBC中，AD平分/ BAC , AD 的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2 = BECE.E D C 圉3 E练习：如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE ±AC 交 AC 于 F ,过 F 作 FD；于G.求证：AG 2=AF 咛CA

8、B说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式， 再用等线段替换法，然后利用 三点定形法”确定要证 明的两个三角形相似.、例6.如图，已知 ABC中，AB=AC , AD是BC 边上的中线，CF / BA, BF交AD于P点，交AC 于E点。求证：BP2=PE - PF。PF三条线段共线，找不到两 个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因 为AB=AC , D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结 PC,由线 段垂直平分线的性质知 PB=PC,只需证明 PECs PCF,问题就能解决了。(2)等比过渡法(等比代换法)当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线 段

9、代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥， 并进行代换，然 后再用三点定形法来确定三角形。例7:如图4,在9BC 中，/ BAC=90 , AD求证:AB DFAC AFLBC, E是AC的中点，ED交AB的 延长线于点F.练习：如图，在丛BC中，AD是BC边上的中 线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N.求:AN: AB的值;说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关 系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当已 知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再 找中间比过渡.例8.如图，已知：在 ABC中，/BAC=900,ADBC, E是AC的中点，ED交A

10、B的延长线于F。贽、 求证:（3）、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例； 若 三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等 量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定 形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时， 则考虑用等积代换法。例9:如图5,在小BC中，/ ACB=90 , CD 是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BEX AG ,垂足为E,交CD于点F.求证：CD2=DF DG.小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横 找竖找定相似；不相似，不用急：等线 等比来代替。”（三）比例问题：常用处理方法

11、是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为 k。（四）.对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要 的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。 七、中考链接：例10. （2015.资阳）如图10,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=k （x x>0）相交于点P, PC，x轴于点C,且PC=2,点A 的坐标为（2,0）.（1）求双曲线的解析式；(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且 QH，x轴于H,当以点Q、C、H为顶点的三角形与 AOB相似时，求点Q的坐标.同步练习：1 .如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC 交AB于点G,交BD于点F,求证：FC2=FG EF.2 .如图，E是正方形ABCM BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM/ BE交DE于M.求证：FM=CF.（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等 积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代 可以解决。）【家庭作业】1.如图，点D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADE=ZC求证：(1) AADEiAACB;(2)AD - AB=AE AC.2、如图， ABC中，点DE在边BC上，且ADEM等 边三角形，/ BAC=120