湖南师大附中 高三月考数学文科试卷三

1、湖南师大附中2021届高三月考数学文科试卷三 一、选择题：本大题共12个小题，每题5分(1)集合Mx|log2(1x)<0，集合Nx|1x1，那么MN等于( )(A)11，1) (B)10，1) (C)11，1 (D)(0，1)(2)假设复数z满足(3i)z3i(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为( )(A)i (B)i (C)i (D)i(3)在等差数列an中，a5a1012，那么3a7a9( )(A)12 (B)18 (C)24 (D)30(4)设a2，b2，clogx(x>1)，那么a，b，c的大小关系是( )(A)a<b<c (B)b<a<c (C)

2、c<b<a (D)b<c<a(5)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，那么田忌马获胜的概率为( )(A) (B) (C) (D)(6)右图是函数yAsin(x)在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将ysin x(xR)的图象上所有的点( )(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(B)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变(C)向左平移个单位长度，再把所得各点

3、的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变(7)函数f(x)是R上的增函数，那么a的取值范围是( )(A)3a<0 (B)a2 (C)3a2 (D)a<0(8)过抛物线y22px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，那么的值等于( )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2(9)函数f(x)cos x的图象的大致形状是( )(10)执行如下图的程序框图，输入p10，那么输出的A为( )(A)12 (B)10 (C)16 (D)32(11)在体积为的三棱锥SAB

4、C中，ABBC2，ABC90°，SASC，且平面SAC平面ABC，假设该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，那么该球的体积是( )(A) (B) (C) (D)12(12)设x，y满足，假设zx210xy2的最小值为12，那么实数a的取值范围是( )(A)a< (B)a<(C)a (D)a二、填空题：此题共4小题，每题5分(13)假设|a|1，2，cab，且ca，那么a与b的夹角为_(14)在平面直角坐标系xOy中，假设直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，那么实数a的值是_(15)如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而

5、成的几何体的三视图，那么该几何体的体积为_(16)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，假设存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，那么a的取值范围是_三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题总分值12分)向量m，n，记f(x)m·n.()假设f(x)1，求cos的值；()在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求f(2A)的取值范围(18)(本小题总分值12分)如图1，在RtABC中，ABC60°，BAC90°，AD是BC上的高，沿AD将ABC折成60°

6、的二面角BADC，如图2.()证明：平面ABD平面BCD；()设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角(19)(本小题总分值12分)设数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)()求a1的值，并求数列an的通项公式；()假设数列bn为等差数列，且b3b58，2b1b40.设cnan·bn，数列cn的前n项和为Tn，证明：对任意nN*，Tn·3n1是一个与n无关的常数(20)(本小题总分值12分)椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(1，0)，F2(1，0)，点A在椭圆C上()求椭圆C的标准方程；()是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两

7、个不同交点M、N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，说明理由(21)(本小题总分值12分)函数f(x)x2，galn x.()假设曲线yf(x)g(x)在x1处的切线的方程为6x2y50，求实数a的值；()设h(x)f(x)g(x)，假设对任意两个不等的正数x1，x2，都有>2恒成立，求实数a的取值范围；()假设在上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分(22)(本小题总分值10分)选修44：坐标系与参数方程在平

8、面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)，曲线C的参数方程为. ()写出直线l及曲线C的直角坐标方程；()过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，假设·，求点M轨迹的直角坐标方程(23)(本小题总分值10分)选修45：不等式选讲函数f(x)|x1|2|x1|a.()假设a1，求不等式f(x)>x2的解集；()假设不等式f(x)a(x2)的解集为非空集合，求a的取值范围参考答案 题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)答案DCCBADCCBCBD(9)【解析】由题意得，f(

9、x)cos x·cos x，所以f(x)·cos(x)·cos xf(x)，所以函数f为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令x1，那么fcos 1cos 1<0，应选B.(10)【解析】第1次执行循环体：SS2n1002108>A0，是，AS8，n1p10，否，n2n2；第2次执行循环体：SS2n10841014>A8，是，AS14，n2p10，否，n2n4；第3次执行循环体：SS2n101481016>A14，是，AS16，n4p10，否， n2n8；第4次执行循环体：SS2n1016161010>A16，否，n8p10，否

10、， n2n16；第5次执行循环体：SS2n1010321012>A16，否，n16p10，是，输出A16，应选C.(11)【解析】ABC外接圆圆心为AC中点D，连接SD，那么由平面SAC平面ABC及SASC，知SD平面ABC，且球心O在SD上，那么SABC×SD，解得SD2.设三棱锥SABC外接球半径为R，那么ROSOB，所以在RtODB中，OB2BD2OD2，即R2()2(2R)2，解得R，故所求球的体积为VR3，应选B.(12)【解析】由题意作平面区域如下，zx210xy2(x5)2y225的最小值为12，(x5)2y2的最小值为13，直线axy10恒过点A(0，1)，直线

11、yx1与圆(x5)2y213相切于点B(2，2)；axy10可化为yax1，故akAB，故a，应选D.(13) 120°(14) 1_【解析】圆的半径是4，ABC是直角三角形，那么圆心C到直线AB的距离为2，所以2，解得a1.(15) 4【解析】相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为·22·2·14.(16) 【解析】f(x)<0ex(2x1)<axa，记g(x)ex(2x1)，那么题意说明存在唯一的整数x0，使g(x)的图象在直线yaxa下方，g(x)ex(2x1)，当x<时，g(x)<0；当x>时，g(x)>0，因此

12、当x时，g(x)取得极小值也是最小值g2e，又g(0)1，g(1)e>0，直线yaxa过点(1，0)且斜率为a，故，解得a<1.(17)【解析】()f(x)m·nsincoscos2sincossin，由f(x)1，得sin，所以cos12sin2.(5分)()因为(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，所以2sin Acos Bsin(BC)，因为ABC，所以sin(BC)sin A，且sin A0，所以cos B，又0<B<，

13、所以B，那么AC，AC，又0<C<，0<A<，那么<A<，得<A<，所以<sin1，又因为f(2A)sin，故函数f(2A)的取值范围是.(12分)(18)【解析】()因为折起前AD是BC边上的高，那么当ABD折起后，ADCD，ADBD.(2分)又CDBDD，那么AD平面BCD.(3分)因为AD平面ABD，所以平面ABD平面BCD.(4分)()取CD的中点F，连结EF，那么EFBD，所以AEF为异面直线AE与BD所成的角(6分)连结AF、DE.设BD2，那么EF1，AD2，CD6，DF3.在RtADF中，AF.(8分)在BCD中，由题设BD

14、C60°，那么BC2BD2CD22BD·CDcosBDC28，即BC2，从而BEBC，cosCBD.在BDE中，DE2BD2BE22BD·BEcosCBD13.在RtADE中，AE5.(11分)在AEF中，cosAEF.所以异面直线AE与BD所成的角为60°.(12分)(19)【解析】()当n1时，S1(a11)，即2a13a13，所以a13.(1分)因为Sn(an1)，那么Sn1(an11)(n2)两式相减，得an(anan1)，即an3an1(n2)(4分)所以数列an是首项为3，公比为3的等比数列，故ana1·qn13·3n13

15、n.(5分)()因为b3b52b48，那么b44.又2b1b40，那么b12.(7分)设bn的公差为d，那么b4b13d，所以d2，所以bn2(n1)×(2)42n.(8分)由题设，cn(42n)·3n，那么Tn2·310·32(2)·33(42n)·3n.3Tn2·320·33(62n)·3n(42n)·3n1.(9分)两式相减，得2Tn2·3(2)·32(2)·33(2)·3n(42n)·3n162(32333n)(42n)·3n1

16、.所以Tn3(2n)·3n1·3n1.(11分)故Tn·3n1为常数(12分)(20)【解析】()设椭圆C的焦距为2c，那么c1，因为A在椭圆C上，所以2a2，因此a，b2a2c21，故椭圆C的方程为y21.(5分)()椭圆C上不存在这样的点Q，证明如下：设直线l的方程为y2xt，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236(t28)>0，故y0且3<t<3，(8分)由知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的

17、中点，所以y0，可得y4，又3<t<3，所以<y4<1，因此点Q不在椭圆上(12分)(21)【解析】()由yfgx2aln x，得yx，由题意，1a3，所以a2.(2分)()h(x)f(x)g(x)x2aln x，因为对任意两个不等的正数x1，x2，都有>2，设x1>x2，那么h(x1)h(x2)>2(x1x2)，即h(x1)2x1>h(x2)2x2恒成立，问题等价于函数F(x)h(x)2x，即F(x)x2aln x2x在(0，)为增函数(4分)所以F(x)x20在(0，)上恒成立，即a2xx2在(0，)上恒成立，所以a(2xx2)max1，即实

18、数a的取值范围是.(6分)()不等式f(x0)<g(x0)g(x0)等价于x0<aln x0，整理得x0aln x0<0.设m(x)xaln x，由题意知，在上存在一点x0，使得m<0.(8分)由m(x)1.因为x>0，所以x1>0，令m(x)0，得x1a. 当1a1，即a0时，m(x)在11，e上单调递增，只需m(1)2a<0，解得a<2.(10分) 当1<1ae，即0<ae1时，m(x)在x1a处取最小值令m(1a)1aaln(1a)1<0，即a11<aln(a1)，可得<ln(a1)考查式子<ln t，因为1<te，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立(11分) 当1a>e，即a>e1时，m(x)在11，e上单调递减，只需m(e)ea<0，解得a>.综上所述，实数a的取值范围是(，2).(12分)(22)【解析】()直线l：yx，曲线C的直角坐标方程为y21，(4分)()设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：(t为参数)由直线l1与曲线C相交可得t2(x02y0)tx2y20，由·得，即1表示椭圆取yx