10-平行四边形判定及综合-教师版

1、教师日期学生课程编号10课型复习课课题四边形的判定及综合教学目标1 .利用平行四边形的判定定理进行相关的证明；2 .利用平行四边形的性质，解决平行四边形的存在性问题教学重点1 .平行四边形的判定定理；2 .平行四边形的存在性问题；3 .动点问题，判定边角关系 .教学安排版块时长1平行四边形的判定50min2综合40min3随堂检测20min4课后作业10min平行四边形的判定及综合内容分析本节主要根据平行四边形的判定定理进行证明四边形是平行四边形， 以及利 用平行四边形的性质得出边和角之间的关系，以证明题为主，让同学们更好的运 用判定定理.知识结构平行四边形判定定理如果一个四边形的两组对边分别

2、相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形.简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形例题解析【例1】判断题：（1）夹在两平行线间的平行线段长度相等（）（2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等（）（3） 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（）（4） 一组对

3、角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形（）【难度】【答案】（1）正确； （2）正确；（3）错误； （4）错误.【解析】（1）夹在两平行线间的平行线段组成平行四边形，故长度相等，正确；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对边一定相等，正确；（3） 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形，错误；（4） 一组对角相等，另一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，错误.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.【例2】 如图，在平行四边形 ABCD中，EF是对角线BD的三等分点.求证：四边形AECF是平行四边形（请用两种方法证明）【难度】【答案】略.【解析】（方法

4、一）Q四边形ABCD是平行四边形，AD=BC, AD/BC,/ ADF = / EBCQE、F 三等分 BD, BE=EF=FD易证 AFD与 BEC全等， ABE与 CDF全等AE=CF, AF=CE, 四边形AECF是平行四边形；（方法二）连接 AC,与BD交于点O,Q 平行四边形 ABCD, AO = OC, BO = DOQE、F 三等分 BD, BE=EF=FDOB-BE=OD-DF , OE=OF, BO=DO, 四边形AECF是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用.【难度】【答案】略【解析】设AB与CD相交于点O,连接EM、NF四边形ABCD是平行

5、四边形，. OA OC . AF=CE, . OE OF . MF/NE,MFE NEF .NOE MOF , VNOE VMOF ,/. NE MF . MF / NE,四边形 MFNE是平行四边形， EF和MN互相平分.【总结】本题考查平行四边形判定定理和性质定理的综合运用.【例4】 已知四边形 ABCD,现有条件：AB/ DC;AB=DC;AD/ BC;AD = BC; / A=/ C;/ B = Z D.从中取两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD是平行四 边形的有哪几种情形？青具体写出这些组合.【难度】【答案】；.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.【例5】 已知：AC是Y

6、 ABCD的一条对角线，BMXAC, DNLAC,垂足分别是 M、N. 求证：四边形BMDN是平行四边形.【难度】 【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCD , AB/CD, AB=CD ,Z BAC =/DCA. Q BMXAC, DNXAC,AABMACND,BM = DN , BM/DN ,四边形BMDN是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形的判定方法与三角形全等的判定的运用.求证：AB/ DE, / C=Z AEB.【例6】 已知：如图，四边形 ABCD中，AD/BC, AD = 1 BC, 2【答案】略.【解析】Q点E是BC中点,BE=CEQBC=2AD, AD=BE=EC, 又

7、QADBC, 四边形ABED与四边形AECD均为平行四边形AB/DE , AE/CD,/C=/AEB【总结】本题考查平行四边形判定方法与性质的综合运用.【例7】 如图，在YABCD中，/DAB=60°,点E、F分别在 CD、AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的/ DAB=60 上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.【难度】【答案】略.【解析】（1） Q平行四边形ABCD,AB/CD , AB=CD, AD = BC, / ADC = /ABCQ AE=AD=BC=CF ,AADEA CB

8、FED=BF, EC=AF, 四边形EAFC是平行四边形；（2）成立，证明同上.【总结】本题考查平行四边形的判定方法的运用.BE=DF ,点G、H分别在BA和【例8】 已知在YABCD中，E, F是对角线BD上的两点,DC的延长线上，且 AG=CH,联结GE, EH , HF , FG ,求证：四边形 GEHF是平行四 边形.若G、H分别在线段BA, DC上，其余条件不变，则（1）结论否成立？（说明理由）.【难度】【答案】略.【解析】（1）Q平行四边形ABCD,AB=CD, AB/CD, /ABD = /BDCQ AG=CH , BE=DF, BG=DH , ABGEA DFH GE=FH ,

9、 /BEG=/DFH,/GED=/HFE,GE/FH , 四边形GEHF是平行四边形；（2）成立，证明同（1）【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用.Q平行四边形ABCD,AB=CD, AD=BC, / B=/D,Q AE±BC> CFXAD, ABEA CDF , BE=FDQ DN = BM ,ABEMA FDN,ME=FN同理可证 MF = EN,四边形MENF是平行四边形，EF与MN互相平分.【总结】本题考查三角形全等的判定方法与平行四边形性质与判定定理的综合运用.【例10 如图，过YABCD的顶点A的直线| （形外），分别过B、C、D作直线|的垂线,E、F、G

10、 为垂足.求证： CF = BE+DG.【难度】【答案】略.【解析】过点D作DH，CF于点H.四边形 ABCD是平行四边形，.1.AB= CD.BE l, DHXCF, AEB DHC 900.EBC BCF 1800,ABC BCD 1800,ABE DCH ，VABE VDCH ， BE = CH. DG l , CF l , DH CF ,DG FH . CF FH CH, CF=BE + DG .【例9】 如图所示，平行四边形 ABCD中，AEBC、CFXAD , DN = BM .求证：EF与MN互相平分.【难度】【答案】略.【解析】联结 ME, EN, FN, MFBD于点M、N,

11、求证：四边形 AMCN是平【总结】本题考查平行四边形性质的运用.E、F分别在 BC、AD上,【例11如图，YABCD的对角线AC、BD交于点O,且 BE=1bC, DF=1AD, AE、CF 分另校 33行四边形.【难度】【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCD,BC=AD, OA=OC, OB=OD, ABC ADC ,BE=DF,/.AABEA CDF,/ BAE= / DCF ,/.A ABMA DNC,BM = DN , OM=ON,四边形AMCN是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的运用.BFLAC于F, CGXBD于G, DH，AC于H.求证：四边形 EFGH是平

12、行四边形.【难度】【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCDAB=CD, OA=OC, OB = OD, / DAC = Z BCAQDH±AC, BFXAC,AADHA CBFAH = CF, OH=OF,同理可证 OE=OG四边形EHGF是平行四边形 【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用.【例13 如图，以4ABC的三边分别作等边 DAC、AABE, BCF ,求证：四边形ADFE是平行四边形.【难度】【答案】略.【解析】Q等边 DAC , ABE, BCF ,/EBF=/ABC, BE=AB, BF=BC,ABEFA ABC,EF=AC=AD, BE=DF=AE,

13、四边形EFDA是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形判定方法与等边三角形性质的综合运用.【例14】已知：RtABC中，/ACB=90° , CDXAB于D, AE平分/ CAB交CD于F,过 F 作 FH / AB,交 BC于 H.求证：CE=BH .【难度】【答案】略.【解析】做FG/BH,可得平行四边形 FHBG , BH=FG . Q/ACB=90° , CD LAB,Z B=Z ACF = Z FGA,QEA 平分/ CAB, AACFA AGF, FG=CF .Q Z CAE+ ZAEC=90° , / EAB+/ AFD =90 ° ,/

14、AFD= / CEF= / CFE ,CE=CF, CE=FG, CE=BH.【总结】本题考查角平分线性质与平行四边形性质的综合运用.【例15如图，祥BC中，/ C = 90°,点M在BC上，且BM=AC,点N在AC上,且AN = MC, AM与BN相交于点 P.求证：/ BPM =45°.【难度】【答案】略.【解析】过点 M作MD / AN,使得MD=AN,联结DN、BD, 则四边形AMDN是平行四边形，MD=AN=CM.Q BMD C 90°, BM =AC, BMDA ACM ,BD=AM=DN, BDN 90°,BND 45° , AM

15、 /DN ,/ BPM = BND = 45°【总结】本题考查平行四边形的性质与等腰直角三角形性质的综合运用.【例16如图，那BC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且 CD=BF,以AD 为边作等边AADE.(1)求证：ZACDACBF ; ACDA BCF;(2)当D在线段BC上何处时，四边形 CDEF为平行四边形，且/ DEF = 30°,证明你的结论.【难度】【答案】略.【解析】(1) Q AABC是等边三角形，AC=BC, Z B=ZACB=60° , 又QCD=BF,(2)当D是BC中点时，四边形 CDEF是平行四边形，且/ DEF=30QD

16、是 BC 中点，AB=AC,ADXBC, / CAD=30Q AACDA BCF ,Z DCF=Z CAD=30° , AD = CF = ED.q/ADE=60。, Z EDB=30° ,/EDB = /FCB, DE/CF.四边形EFCD是平行四边形，/ DEF=/DCF=30°【总结】本题考查平行四边形判定方法与等边三角形性质的运用.FG = CE,分别连接 DB、DG,求/ BDG的模块二：综合题例题解析延长线于点 F,若/ ABC=120° , FG/CE,【难度】【答案】60°【解析】分别联结 GB, GE, GCQ AF 平分 /

17、 BAD,/ BAF= / DAFQ四边形ABCD是平行四边形，AD/BC/DAF = /CEF, /BAF=/AFD,/CEF = /AFD, CE=CF.Q AB/CD , / ABC=120。，/ ECF = ZABC=120° .QFG/CE且FG=CE,四边形CEGF是平行四边形，CE=CF, EG = EC.Q Z GCF = Z GCE=1 Z ECF=60° ,4ECG 是等边三角形，2EG=CG, / GEC= /EGC=60° ,/GEC = /GCF,/ BEG= / DCG由 AD/BC 及 AF 平分/ BAD 可得/ BAE = ZAE

18、B,AB=BE在平行四边形 ABCD 中，AB=CD, BE=CD,. BEGA DCG ,BG=DG, Z BGD=Z EGC=60° ,/BDG=60° .【总结】本题综合性较强，主要考查平行四边形性质、等边三角形性质的综合运用.【例18】 在YABCD中，对角线 AC、BD相交于点O,过O点任意作两条直线交 Y ABCD 的AB、CD边于E、F,交BC、DA边于G、H,那么四边形 EGFH是什么图形？ffi明你 的结论.【难度】【答案】略.【解析】Q平行四边形ABCD, OA=OC, OB=OD.AOH OCG , BEOA DOF ,OH=OG, OE=OF ,四边

19、形EGFH是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形.【例19 如图，YABCD中，DELAB于E, BC=2AB, M是BC的中点.试求/EMC与ZBEM的数量关系.【难度】【答案】/ EMC=3/BEM.【解析】延长EM与DC的延长线交于点 N,连接DM .则易得 BEMANCM,所以 EM=MN .又 AB/CD, DE± AB,贝U/ EDN =90° , . / BEM=/N,ME = MN=DM ./ EMD=2/ N=2 / BEM由 MC=CD,得/ MDC = /CMD = /N, ./ EMC=3Z BEM.【总

20、结】本题主要考查平行四边形性质、直角三角形性质的综合运用.【例20】 平面直角坐标系中有三点 A (2, 1) , B (3, 1) , C (4, 3),求平面内第四点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.【难度】【答案】(1, -1)或(3, 3)或(5, 3).【解析】当AB为对角线时，由 AC=BD, BC=AD,得：D (1, -1);当AC为对角线时，D (3, 3);当AD为对角线时，D (5, 3).【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标.【例21】 已知平面内有两点 A ( 1 , 0)、B (3, 0) , P点在y轴上，M点在直

21、线y x 1上，若以A、B、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求 M点的坐标.【难度】【答案】(2, 1)或(-4, -5)或(4, 3).【解析】当AB为对角线时，M (2, 1);当AP为对角线时，M (-4, -5);当AM为对角线时，M (4, 3).【总结】本题考查平行四边形性质，注意分类讨论，利用平移的性质去求坐标.【例22】 在RtABC中，/ 0=90° , AC=6, BC=6 J3 ,动点P从点A开始沿边 AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，顶点 Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单 位长度的速度运动，过点P作PD / BC,交AB于点D,联结PQ,点P、Q

22、分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是t秒(t>0).(1) 直接用含t的代数式分别表示：BQ=, PD=(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ是平行四边形？若存在，求出t的值，若不存在,试说明理由.【难度】【答案】(1) BQ=6褥 2t , PD = V3t;(2) t=12V3 18.【解析】(1)由题意，可得：AC=6, BC= 673 , AB=12, / B=30CQ=2t,所以 BQ=6点 2t , AP=t, PD=t ;(2)二平行四边形 PDBQ, /.BQ = PD,即 6袤 2t Mt ,解得：t 1273 18,Q tv

23、 3*2, 当t 1273 18时，四边形PDBQ是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质与直角三角形性质的综合运用，注意分析动点的运动轨迹.【例23 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形 ABCO是平行四边形，点A的坐标为(3,4),点C在x轴的正半轴上, 边交y轴于点H .且OA=OC,直线AC交y轴于点M , AB(1)求直线AC的解析式;(2)联结BM ,动点P从点A出发，沿折线匀速运动，设 PMB的面积为S(S 0)，点ABC方向以2个单位/秒的速度向终点 C求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量【难度】【答案】(1) y 1x 5 ;2215 3 t(0 t 2.

24、5)(2) S 42525t (2.5 t 5)24P的运动时间为t秒, t的取值范围).【解析】由动点引起的三(1) Q A (3, -4),OA=5=OC, C (5, 0)设直线AC的解析式为：y= kx+b,代入A、C两点的坐标，得解析式为：y 1x勺； 22（2）平行四边形 ABCO中，AB=OC=5,B （2, 4）, BC=5=OC.易知点M坐标为（0, 2.5）.当点P在AB上，即0< tv 2.5时，AP=2t,贝U BP 5 2t ,. . HM=4-OM=1.5,1 ”. 13153S= - X BP XHM = (5 2t)7；2 2242当 P 在 BC 上，即

25、 2.5vtw5 时，BP=2t-5,平行四边形 ABCO中，AB=BC, .四边形 ABCO是菱形,BCM OCM , VBCM VOCM ,5oBM OM - ,MBC MOC 90，2一 115525s=_ x BPX BM = - 一 5) -t 22224,3 -t(0 t 2.5)综上S 2.5t 丝(2.5 t 5)24【总结】本题主要考查两点之间距离的确定以及平行四边形的性质的运用, 角形的面积，需要分类讨论.(3)当S 6禽时，求出点Q的坐标.速度为每秒1个单位长度，点 P沿S,Q从O到A的时间是6愿秒，P的运动速度为:6 1263近(单位长度/秒)当P在OB上，即0 t 2

26、向时，OQt , OP= 3t,.3 .【例24】 直线y -Wx 6与坐标轴分别交于 A、B两点，动点P、Q同时从O点出发,3同时到达A点，运动停止.点 Q沿线段OA运动, 路线O 一 B-A运动.(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t秒， APQ的面积为【答案】见解析.【解析】(1)由题可得：A (6万，0), B (0, 6);(2) . A (6用,0), B (0, 6),AB=12 , OB=6, OB+AB=18.当点P在AB上，即2五t 6点时,OQ=t,AP=18- 3t1 AQ 6 73 t , S= - OP AQ1贝U S - AQ ? PH22(6

27、 31)(9 U/ft2 *综上：St2-2由 t2 9t49t(0 t 2 3)(3)当P在OB上时,3 2一t 9t26.5 ,得：t 343 ，在，Q ( 373 而，0);'质C当p在ab上时，由y3t249t 27 36M ,得：t 673-2, Q ( 673-276 , 0),综上Q点的坐标为(373日5, 0)或(673-276, 0) .P点不同位置进行分类讨论.【总结】本题主要考查动点与一次函数的综合运用，注意对【例25】(1)求反比例函数的解析式;(2)已知反比例函数和一次函数的图像交于第一象限的点A、P(2, 0),平面内存在Q,使得四边形 AOPQ是平行四边形

28、，求 Q点的坐标.【解析】把(a, b), (a+1, b+k)代入 y=2x-1,得 2a-1 = b, 2 (a+1)则 2a+2-1=2a-1 + k,解得:k=2,故此反比例函数的解析式是:-1 = b+k,1一； x(2)两函数的交点为 yy1x ,解得：A (1, 1),2x 1一乙一 一，r 一一、"k已知：反比例函数 y 上和一次函数y 2x 1,其中一次函数的图形经过点2x.平行四边形 AOPQ,.1.AQ/OP, AQ=OP, 故 Q(3, 1).以及平行四边形的性质， 本题中四【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,边形AOPQ是有顺序的，因此满足条件

29、的Q点只有1个，解题时注意认真审题.AB =BC, AB 6, B MAN 60 .【例26 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,绕顶点A逆时针旋转 MAN ,边AM与射线BC相交于点E (点E与点B不重合)，边AN与射线CD相交于点F .(1)当点E在线段BC上时，求证： BE CF ;(2)设 BEADF的面积为y .当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域;(3)联结BD ,如果以A、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长.【答案】(1)略；(2) y(3) BE=12.3.3x29m (0<x< 6);【解析】（1）联结AC,易证 BA=B

30、C, / BAC=/DAC=60° , / ACB=/ACD=60° ABC是等边三角形，AB=AC又Q / BAE+/MAC=60° , / CAF + /MAC=60° ,/BAE=/CAF ABEAACF,BE=CF;(2)过点A作AHXCD,垂足为H,在 RtAADH 中，/ DAH =30° , DH =3, AH=3, CF = BE=x, DF =6-x1 1LQ S adf -DF ? AH , y=- (6 x) 3&即 y£3x 9G3 (0vxv6)；2(3)当F点在CD的延长线时，连 BD,易得/ AD

31、B=30。.当四边形BDFA是平行四边形时，AF/BD,Z FAD=ZADB=30° ,Z DAE =30 ° , / BAE=90° ,在 RtAABE 中，/ B=60° , / BEA=30 ° , AB=6,易得 BE=12,当点F与点C重合时，此时点 E与点B重合，不合题意，舍.【总结】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形判定与性质的综合运用.【例27 如图1, P为RtA ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），/ ACB=90 ° ,M为AB边中点.操作：以 PA、PC为邻边作平行四边形 PADC,连接PM并延长

32、到点 E,使 ME=PM ,联结 DE.（1）请你利用图2,选择RtABC内的任意一点 P按上述方法操作；（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段AC之间有怎样的位置关系 ？请选择其中的一个图形证明你的猜想；【答案】(1)略；(2) DEL AC;(3) DE/BC, DE=BC.【解析】(1)根据要求画图即可.(2)联结BE,QPM=ME, AM=MB, /PMA = /EMB, /.A PMAA EMBRA=BE, /MPA=/MEB,RA/ZBE.Q四边形PADC是平行四边形，PAZ/DC , RA=DC ,BE/CD , BE=DC,四边形DEBC是平行四边形，DE/BC,

33、 DE=BCQ/ACB=90° ,BCXAC,即 DE LAC(3) DE/BC, DE=BC.【总结】本题考察平行四边形的性质的运用，解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明随堂检测【习题1】 若AD是那BC的中线，延长AD到E使DE=AD,联结BE、CE,那么四边形 ABEC是 四边形.平行四边形AE与BC互相平分，所以四边形 ABEC是平行四边形本题考查平行四边形的判定方法，对角线互相平分的四边形是平行四边形.【习题2】如图，直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转°(0°< W45),与双曲线交于 D两点，则四边形

34、ABCD的形状一定是 ,理由是.【难度】【答案】平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形.【解析】Q反比例函数图像关于原点对称，OA=OC, OB=OD,四边形ABCD是平行四边形.【总结】本题考查了反比例函数的性质及平行四边形的判定方法。了解和熟练掌握反比例函数的性质是解答此类题目的关键所在，注意反比例函数图像关于原点对称.【习题3】四边形的四条边长分别是a, b, c, d,其中a, c为对边，且满足2222a b c d 2ab 2cd ,则这个四边形一一定是（）A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形【难度】【答案】C【斛析】由 a

35、 b c d 2ab 2cd 可得（a-b） 2+ （c-d） 2=0,即 a=b 且 c=d,所以四边形的两条对角线互相垂直.【总结】本题考查了因式分解的应用，解题时首先利用因式分解把等式变形，然后利用非负数的性质即可解决问题.【习题4】已知四边形ABCD的对角线相交于 O,给出下列5个条件AB/CD,AD/BC,AB=CD,/ BAD=ZDCB,从这四个条件中任选 2个一组，能推出四边形 ABCD为平行四边形的有（）A. 6组B. 5组C. 4组D, 3组【难度】【答案】C【解析】根据平行四边形判定方法，能推出四边形为平行四边形的有四组，分别是，.【总结】本题考查平行四边形判定方法的运用.

36、AE=CF , M、N 分别是 DE、【习题5】如图，在YABCD中，E、F分别是AB、CD上点, BF的中点，求证：四边形 ENFM是平行四边形.【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形 ABCD , AB CD, AB=CD.QAE=CF, BE=DF ,四边形EBFD是平行四边形，DE=BF, DE/BF,又QM、N分别是 DE、BF的中点， ME = FN,四边形MENF是平行四边形.【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用.【习题6】 已知：如图，在 GABC中，BD平分/ ABC, ED/BC, EF/AC,求证：EB=FC.【难度】【答案】见解析.【解析】QBD平分

37、/ABC,ZABD = ZCBD,又QEDBC,Z ABD=Z DBC=Z EDB, EB = ED.又QDEBC, EF/CD, 四边形EFCD是平行四边形,CF=ED=BE.【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法的综合运用.【习题7】如图，四边形EFGH是平行四边形 ABCD的内接平行四边形， 即顶点E、F、G、H分别在平行四边形 ABCD的四边上.求证：这两个平行四边形的对角线交于同一点.【难度】【答案】见解析.【解析】连接AC, HF交于点OAEHACGF , AH = CF. AHOA CFO, M 是 AC 与 HF 的中点平行四边形ABCD与平行四边形EFGH同理BD, EG也

38、过点M,所以这两个平行四边形的对角线交于同一点.【总结】本题考查平行四边形的性质的运用，注意认真审题.BD 上的两点，AEXBC, CFXAD.【习题8】如图，在Y ABCD中，E、F是对角线求证：四边形 AECF是平行四边形.【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形ABCDAB/CD, AD/BC, AB=CD, /BAD = /BCD, /ABD=/CDB AEXAD, CF± BC,ZBAE = Z DCF ,/.A ABEA CDFAE=CF, Z AEB=Z DFC ,/AEF=/CFE, AE/CF .四边形AECF是平行四边形【总结】本题考查平行四边形性质及判定方法

39、的综合运用.【习题9】已知平行四边形ABCD和平行四边形DCEF ,求证： ADE BCF .【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形ABCD,平行四边形 DCEF,AB=DC = EF, AB/DC/EF, DE = CF, AD=BC四边形AEFB是平行四边形AE=BF,ADEBCF, ./ ADE=Z BCF.【习题10 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB ,A、B的平分线交于点E ,BC AB .【总结】本题考查平行四边形性质的运用.D、 C的平分线交于点 F,联结EF.求证：EF【难度】【答案】见解析.【解析】延长 AE交BC于点G,延长CF交AD于点HQ 平行四边形 A

40、BCD,/BAD=/BCD, AD/BC.Q AE 平分 / BAD, CF 平分/ BCD,Z AEB= /CFD=90° , Z BAG = Z DAG =Z AGB = Z BCH = Z DCH = Z DHCAB=BG, CD = DH, CG=AH ,即四边形 AGCH是平行四边形易知 E、F 分别是 AG、CH 的中点， AH=EF=CG=BC-BG,即 EF=BC-AB.【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用.【习题11 如图，在四边ABCD中，形AD/BC且AD BC , BC 6cm ,点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，

41、点Q以2cm/s的速度由C向B运动，几秒时，四边形 ABQP是平行四边形？【难度】【答案】2秒.【解析】设t秒后，四边形 ABQP为平行四边形，则 AP=t, QC=2t, BQ=6-2tQ AD/BC, AP=BQ时，四边形 ABQP就是平行四边形，即：t =6-2t, t =2 当 t=2 时，AP=BQ=2<BC<AD,符合题意， 综上，当t=2时，四边形 ABQP是平行四边形.【总结】本题主要考查平四边形与动点的简单结合，主要利用性质解题即可.【习题12 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3, 0),点B的坐标为A(0, 4).(1)求直线AB的解析式;(2)点C是

42、线段AB上一点，点O为坐标原点，点 D在第二象限，且四边形 BCOD为平行四边形，且 BC=BD,求点D坐标；P的坐标.(3)在(2)的条件下，点 E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点【难度】43【答案】(1) y-x 4 ; ( 2) D ( , 2);329. 3-3(3) (-, 2)或(一，2)或(，6).222【解析】(1)设AB的解析式为y=kx+b,代入点 A (3, 0), B (0, 4),得直线AB的解析式为：y3x 4;3(2) Q平行四边形 BCOD中，BC=BD,OB垂直平分CD,点C的纵坐标是2,代入AB

43、的解析式得C ( 当BE为对角线时，P(1, 2);当BP为对角线时，P(-|, 2);综上所述，P点的坐标为(？2)或(3, 2)或(3 6)2 '22 '【总结】本题考查的综合性很强，第一问待定系数求函数解析式是常考内容，较简单，最后-问需要分类讨论，可以以对角线和边为分类标准进行讨论. , 2), 2D ( 3,2);2(3)当BD为对角线时，P( 3,6);2【习题13如图所示，在平行四边形 ABCD中，BC=2AB, DEXAB, M是BC边的中点,/BEM=50°，则/ B的大小是多少？【难度】【答案】100° .【解析】取AD的中点N,连接MN

44、、MD、NE.1QDELAB 于点 E, NE=ND=-AD2又Q四边形ABCD是平行四边形，点 M为BC中点,AB/CD/MN ,/BEM=/EMN, /NMD = /MDC, EDXMN ,MN 是 DE 的中垂线， / BEM = Z NMD =50 ° .Q BC=2AB,点 M 是 BC 的中点， MC=CD ,/ CDM =/ CMD ,ZCMD = ZDMN=50° , . . / B=Z CMD + Z NMD =100 ° .【总结】本题考查平行四边形的性质及直角三角形性质的综合运用. 课后作业【作业1】 下面给出了四边形 ABCD中/ A、/

45、B、/ C、/ D的度数之比，其中能判定四 边形是平行四边形的是（）A. 1: 2: 3: 4B, 2: 2: 3: 3C. 2: 3: 2: 3D, 2:3:3:2.【难度】【答案】C【解析】平行四边形对角相等，邻角互补.【总结】本题考查平行四边形对角相等的性质.【作业2】 下列给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边平行，一组对角互补C. 一组对角相等，一组邻角互补D. 一组对角相等，另一组对角互补【难度】【答案】C【解析】A中可能是梯形；B中不可证平行四边形；C可证两组对边分别平行，正确；D不是平行四边形.E、F,延长 BA、DC

46、 至U G、H,【作业3】 下面有四个命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形；一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是 平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A. 1个B.2个C. 3个D.4个【难度】【答案】A【解析】（1）错误； （2）错误；（3）错误； （4）正确.【总结】本题考查了平行四边形的性质与判定，解决本题的关键要学会举反例.【作业4】 如图，在YABCD中，/ B、/ D的平分线分别交对

47、边于点 E、F,交四边形的对角线 AC于点G、H ,求证：AH=CG.【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形ABCD,ZADC = Z ABC, AD=BC, /DAC=/BCA.又QDF、BE分另1J平分/ ADC与/ABC,ZADF = Z FDC = Z ABE=ZEBC, ADH BCG , AH =CG .【总结】本题考查了平行四边形的性质的运用.【作业5】 如图，YABCD的两边AB、DC的中点分别是使 AG=CH .求证：EH / GF .【难度】【答案】见解析.【角军析】Q平行四边形 ABCD , AB=CD, AB/CD .QE、F分别是AB、CD的中点，AE=CF.Q

48、 AG=CH , GE=FH , 四边形GEHF是平行四边形，EH/GF .【总结】本题考查平行四边形性质与判定方法的综合运用.【作业6】 如图，YABCD中，E、G分别为AD、BC的三等分点，DH = BF,/ EHF = Z GFH求证：/ FEH = Z HGF .【难度】【答案】见解析.【解析】Q平行四边形ABCD,AD=BC, AD/BC,/EDH = /GBF.QE、G分别是 AD、BC的三等分点，DE=BG,又qdh=bf, aedha bfg,/dhe=/bfg,EH/FG, 四边形EHGF是平行四边形，/ FEH =/ HGF .【总结】本题考查三角形全等与平行四边形的性质与

49、判定的综合运用.【作业7】 E为 ABC中AC边上一点，ED/AB交BC于点D,F为AB边上一点，AF DE ,延长FD到点G,使DG FD ,联结AG,求证：DE、AG互相平分.【难度】【答案】见解析.【解析】联结AD , EGQ DE/AF , DE=AF, 四边形AEDF是平行四边形，AE=DF, AE/DF, 又QDF=DG, AE=DG四边形ADGE是平行四边形，DE、AG互相平分.【总结】本题考查三角形全等与平行四边形的性质与判定的综合运用.【作业8】 如图，E、F分别是YABCD的边AD、BC的中点，且 AG=CH.求证：EF与HG互相平分.【难度】【答案】见解析.【解析】QAB

50、CD是平行四边形，AD = BC, ZA=ZC.又QE、F分别是 AD、BC中点， AE=CF,.AEGACHF ,同理可得： DEH0BFG,EH=GF, EG=HF, 四边形HEGF是平行四边形,EF与HG互相平分.【总结】本题考查了平行四边形的性质和判定方法的综合运用.60 , A的角平分线与B的角【作业9】 已知，平行四边形 ABCD中，AB 8, C 平分线相交于点 E , EF AB .求EF的长.【难度】【答案】EF 2 3 .【解析】Q四边形ABCD是平行四边形ZDAB + Z ABC=180°Q A的角平分线与 B的角平分线相交于点 E, ZEAB+Z EBA=180° +2=90° , AEB是直角三角形.Q ZC=60° ,/ABC=120° , Z ABE=60° ,/EAB=30° .在直角 EAB 中，EB=1aB=4, AE 4J3 ,2所以 EF 1AE 273 .2【总结】本题考查直角三角形与平行四边形的性质的综合运用.F分别在AC、AB两边上,【作业10】已知， ABC中，AD是 ABC的角平分线，点 E、 且