质点运动学()

1、力学力学(Mechanics)刚体的转动刚体的转动力学力学 经典力学经典力学狭义相对论狭义相对论质点运动学质点运动学运动与力运动与力动量与角动量动量与角动量功和能功和能刚体刚体力学力学质点质点力学力学 波波振动振动波动波动11.1 质点的运动函数质点的运动函数第一章第一章 质点运动学质点运动学(Kinematics of particles)1.质点质点(Material particles)适用情形：物体尺寸适用情形：物体尺寸 运动范围运动范围2.参考系参考系(Reference frames) object with no size(理想模型理想模型)建立在参照物上的坐标系建立在参照物上的

2、坐标系23.运动函数及位矢运动函数及位矢 (Position vector)rP(x,y,z)OXZYr位矢位矢(径矢径矢)ktzjtyitxtr)()()()(运动函数运动函数(运动方程运动方程)e.g.jgttvi tvtryx)()(22100斜抛运动斜抛运动(起抛点为坐标原点，起抛点为坐标原点，初速度为初速度为v0：)(),(),(tzztyytxx31.位移位移 (Displacement)()(trttrr t 至至 t+ t 内的内的位移位移XYZorS1.2 位移和速度位移和速度质点在一段时间内位置的改变叫做它在质点在一段时间内位置的改变叫做它在这段时间内的这段时间内的位移位移

3、。 S t 至至 t+ t 内的内的路程路程)(tr P1)(ttr P24)SI()(2ktj titr设设则在则在 t = 0 至至 t = 1s 内的位移内的位移)0() 1 (rrr)(mkj e.g.Notes: 位移是矢量，既有大小又有方向；位移是矢量，既有大小又有方向；,Sr但但SrddSI:国际单位制国际单位制(le Systme International dunits )52.速度速度 (Velocity)平均速度平均速度(Average velocity)：trv 瞬时速度瞬时速度(Instantaneous velocity)：trvt 0limtrdd XYZorS

4、P1)(tr P2)(ttr6tSvdd 瞬时速率：瞬时速率：平均速率：平均速率：tSv Notes:tr v trdd v 在曲线运动中，速度方向总在曲线运动中，速度方向总是沿着曲线的切向是沿着曲线的切向.ABABCv7一些速度大小值一些速度大小值(m/s)真空中光速真空中光速 3.0 108太阳在银河系中的运动太阳在银河系中的运动 3.0 105地球的公转地球的公转 3.0 104人造地球卫星人造地球卫星 7.9 103现代歼击机现代歼击机 9 102空气中声速空气中声速 3.3 102猎豹猎豹 2.8 10载流导线中自由电子的漂移载流导线中自由电子的漂移 10 4大陆板块运动大陆板块运动

5、 10 98e.g.质点的运动方程为质点的运动方程为x = t2 (SI)，求，求t = 1 s时，质点的速度时，质点的速度v0 .ttttt 220)(limt 2 m/s 2)1(0 vvttttt 20)()(2limttttxv2d)(ddd2 ttxttxt )()(lim0txvt 0lim9ttttx2d)(ddd2 思考思考若运动方程为若运动方程为x = t3，则速度如何？，则速度如何？233d)(dddttttxv 常用函数的导数常用函数的导数nx函数函数导数导数1nnxxsinxcosxlnx/1xcosxsinxexe10有关求导的基本法则：有关求导的基本法则：(1)xx

6、fcxxcfd)(dd)(d c:不为不为0常数常数(2)xxgxfxxfxgxxgxfd)(d)(d)(d)(d)()(d (3)xxgggfxxfd)(dd)(dd)(g(d ?,cos,sin,354 vttetxt若若思考思考11 ttvtxd)()(积分积分CtV )(原函数原函数问题问题1 如果质点的运动方程分别为以下表达如果质点的运动方程分别为以下表达式式: (1) x(t)=t4+10; (2) x(t)=t4-100;(3) x(t)=t4+49.99; (4) x(t)= t4-108; 则其则其速度表达式有什么关系？速度表达式有什么关系？在在X轴方向运动的质点，若已知其轴

7、方向运动的质点，若已知其速度随时间的关系速度随时间的关系v(t)，能否求出，能否求出任意时刻的位矢？任意时刻的位矢？问题问题212e.g.质点的速度表达式质点的速度表达式v(t) = 2t (SI)，求其运动方程。求其运动方程。Cttttx 2d2)(常量常量 C由初始条件确定。由初始条件确定。思考思考?)(,sin,)(2 txtettvt则则，若若131.3 加速度加速度 (acceleration)平均加速度：平均加速度：tva 瞬时加速度：瞬时加速度：tvat 0lim)SI()(2ktj titr设设则则trtvdd)(tvtadd)(e.g.tvdd 22ddtr )SI(2 k

8、tj2m/s2k14一些加速度值一些加速度值(m/s2)子弹在枪膛中的加速度子弹在枪膛中的加速度 5 105车祸瞬间的加速度车祸瞬间的加速度 1 103致人晕眩的加速度致人晕眩的加速度 7 10地球表面的重力加速度地球表面的重力加速度 9.8月球表面的重力加速度月球表面的重力加速度 1.7地球自转引起赤道上的加速度地球自转引起赤道上的加速度 3.4 102地球公转的加速度地球公转的加速度 6 103太阳绕银河系中心转动的加速度太阳绕银河系中心转动的加速度 3 101015两类问题两类问题(1)()(tvtr(求导求导)(2)()()0(tvtav(积分积分)(ta)()0(trr16 例例1-

9、11-1质点的运动质点的运动函数函数为为 x = 3+5t+6t2t3 (SI),则则t=0时，速度时，速度v0=； 加速度为零时，速度加速度为零时，速度v=. 解：解： v0=5 m/s v=17 m/s t=2s加速度为零时，加速度为零时，速度值是否极大？速度值是否极大？思考思考 v=dx/dt = 5+12t3t2 a=dv/dt=126t令令= 017例例1-2求：在任意位置求：在任意位置x处，船的速度和加速度处，船的速度和加速度解解：0d/dvtl 且且设在任意位置设在任意位置x处，绳长为处，绳长为llhOX0vx22hlx 则有则有18数理数理于是于是txvddtvadd船作何种运

10、动？船作何种运动？思考思考tlhlldd222220)(1xhvtxvxhxhxhdd)(12)( 22023202xvh19思考题思考题1：路灯下行人以速度路灯下行人以速度 v向右行走，向右行走，求其头顶的影子求其头顶的影子M沿地面移动的速度沿地面移动的速度vM。1hM2h211hhvhvM 答案：答案：思考题思考题2：距河岸距河岸(看成直线看成直线)500m处有一静处有一静止的船，船上的探照灯以转速止的船，船上的探照灯以转速n=1r/min转转动。当光束与岸边成动。当光束与岸边成60角时，光束沿岸角时，光束沿岸边移动的速度边移动的速度v为多大？为多大？ 答案：答案：69.8m/s20 例例

11、1-31-3质点做一维运动，其速度与时间的质点做一维运动，其速度与时间的关系满足关系满足v(t)=cos(t)(SI)，求其由，求其由0至至1s时刻所经过的位移。时刻所经过的位移。 解：解：ttvtx)d()(tt)dcos(Ct )sin()0() 1 (xxx0sin1sin )SI( 1sin10d)(ttvx)SI( 1sin0sin1sincos(t)d10t定积分定积分)()(d)(1221tVtVttvttV(t)为为v(t)的一个原函数的一个原函数21 例例1-41-4某物体的运动规律为某物体的运动规律为d dv/dt=/dt=k kv2 2t t (k k为常量为常量), t

12、=0t=0时时, v= =v0 0，求求v与与t t的函数的函数关系关系 解：解：tvvtktvv02dd0tkvtv2d/d22200tkvvv思考思考若若dv/dt=a(常量常量)，结果？，结果？22证：证：2ddkvtvxvvxkvv0dd0 例例1-51-5电艇在关机后，有电艇在关机后，有d dv/dt=/dt=k kv2 2(k k为常为常量量). 试证：电艇此后行驶距离试证：电艇此后行驶距离x时的时的速度为速度为 , 其中其中v0 0是电艇关机是电艇关机时的速度时的速度.kxevv02ddddkvtxxv2ddkvvxvkvxvdd23kxevv0kxvv0ln思考思考关机后行驶关

13、机后行驶x距离所需要的时间？距离所需要的时间？kxevv0kxevtx0ddtvxekxdd0txkxtvxe000dd提示提示01kvetkx241.4 匀加速运动匀加速运动 (自学自学)特点：特点： 为常矢量为常矢量aatvddtavdd若若t = 0时刻，速度为时刻，速度为0vtvvtav0dd0tavv0tavv025trrtvr0dd0tttav00d同理同理vtrddtvrdd若若t = 0时刻，位矢为时刻，位矢为0r20021tatvrr20021tatvrr26分量式分量式tavvtavvtavvzzzyyyxxx000221002210022100tatvzztatvyyta

14、tvxxzzyyxx速度的分量式速度的分量式位移的分量式位移的分量式271.5 匀加速直线运动匀加速直线运动 (自学自学)axvvattvxatvv220222100自由落体运动自由落体运动:2m/s 81. 9 gagyvgtygtv22221XvaxO(t = 0)(t)vgY(t = 0)( t )281.6 抛体运动抛体运动(projectile motion) (自学自学)加速度：加速度：gaxyo0vHL速度：速度：xxvv0gtvvyy0运动函数：运动函数：tvxx02210gttvyy位矢：位矢：jgttvi tvryx)(22100291.7 圆周运动圆周运动(circula

15、r motion) vsoR线速度：线速度：tSvddRS S : 线位移线位移 : 角位移角位移t dd角速度角速度:Rv 1. 线速度与角速度线速度与角速度特点：特点：R302. 切向加速度与法向加速度切向加速度与法向加速度tvatt0limtvddtRd)d(R（ :角加速度）角加速度）tRdd22ddtR切向加速度反应了速度大小对切向加速度反应了速度大小对时间的变化率时间的变化率ta (tangential)na (normal)(tv)(ttvnv)(tv)(va31ttvatn)(lim0ttvt0lim)(v22RRv法向加速度反映速度方向改变法向加速度反映速度方向改变引起的速度

16、的变化率引起的速度的变化率思考思考利用利用jRiRr sin cos证明证明.) cos sin(ddjiRtrv) cos sin( ) sin (cosdd2jiRjiRtvaHints:32线量：线量：S 线位移线位移(弧长弧长)tSvd/d线速度线速度tvatd/d切向加速度切向加速度Rvan/2法向加速度法向加速度角量：角量：角位移角位移(rad)t d/d角速度角速度(rad/s)22d/dt角加速度角加速度(rad/s2)总结：圆周运动中的物理量总结：圆周运动中的物理量33线量与角量的关系：线量与角量的关系：RS Rv Rat2 Ran匀变速率圆周运动匀变速率圆周运动: (at为

17、常量为常量)tavvt02210tatvStSavvt2202t02210tt220234 例例1-61-6质点沿半径为质点沿半径为0.1m的圆周运动，其的圆周运动，其角位置角位置 =2+4t2 (SI)(SI)，则则t=2s时，时， an n=，at t=.解：解： 思路一思路一 (t) (t) at=R 思路二思路二 (t) S(t)at(t) at25.6 m/s20.8 m/s2何种圆周运动？何种圆周运动？思考思考 (t) an=R 2v(t) v an=v2/R35推广推广 一般的曲线运动一般的曲线运动ttteaavanatatvatdd切向单位矢量切向单位矢量( (与速度方向一致与

18、速度方向一致) )nnneaa2van质点所在处曲线的曲率半径质点所在处曲线的曲率半径法向单位矢量法向单位矢量( (指向曲线凹侧指向曲线凹侧) )36平面曲线曲率半径的求法：平面曲线曲率半径的求法： )1(232yy 对于对于y = f (x) 有有对于对于 有有 )()(tyytxxyxyxyx 2322)( y, y分别为分别为y对对x的一阶、二阶导数。的一阶、二阶导数。xx , 分别为分别为x对对t 的一阶、二阶导数，的一阶、二阶导数，y同理。同理。37解：解：60cosgat 例例1-7 物体作斜抛运动如图，在物体作斜抛运动如图，在A A点处速度点处速度的大小为的大小为v，其方向与水平

19、方向夹角成，其方向与水平方向夹角成3030 . . 则物体在则物体在A A点处的切向加速度点处的切向加速度at t= =，轨道的曲率半径，轨道的曲率半径 = =. .gvA30 2g 2van 30cosgan nav2 g23 gv3322 轨道最高点处的曲率半径轨道最高点处的曲率半径？思考思考381.8 相对运动相对运动(Relative Motion)设设O 系相对于系相对于O 系做平移运动系做平移运动O rOorr在在O 系中观察：系中观察：orO 点位矢为点位矢为ovO 系速度为系速度为O 系加速度为系加速度为oa运动描述的相对性运动描述的相对性39avr,在在O 系中有：系中有：a

20、vr,设质点在设质点在O系中有：系中有：则则orrrovvvoaaa以上关系仅当以上关系仅当| |0, a0, a0; CD: v0, a=0.各区间，各区间，何种运动？何种运动？思考思考484. 已知质点位矢的表达式为已知质点位矢的表达式为 (a、b为常量为常量)，则该质点作，则该质点作(A)匀速直线运匀速直线运动动.(B)变速直线运动变速直线运动.(C)抛物线运动抛物线运动. (D)一一般曲线运动般曲线运动. jbtiatr22解：解：trvdd(B)(B)v的大小随时间变化，但方向不变的大小随时间变化，但方向不变. .式中幂次改变，结果式中幂次改变，结果？思考思考)(2j biat495. 质点在质点在XOYXOY平面上运动平面上运动, ,加速度加速度 , ,初速度初速度 , ,则质点任意时则质点任意时刻的速度刻的速度 . .)(SI cosjtam/s330jivv解：解：j ttvcosd/dtvvtjtv0dcosd0tttjvv00dcos)SI()3(sin3jtiv思考思考若质点初位矢若质点初位矢 , 则任意时刻位矢则任意时刻位矢?ir50jtsin506. 质点作半径为质点作半径为R R的圆周运动，其速率的圆周运动，其速率v=ct=ct2 2 (c(c为常量为常量) )，则从，则从t=0t=0到到t t时刻