医用物理学 第01章 刚体定轴转动

1、1-6 刚体的定轴转动 在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学在任何情况下形状和大小都不发生变化的力学研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或受外研究对象。即每个质元之间的距离无论运动或受外力时都保持不变。力时都保持不变。 实物不是实物不是质点质点，大小、形状对运动有影响，大小、形状对运动有影响. mi mjcrji刚体刚体理想理想超越现实超越现实，但，但也要也要向现实妥协向现实妥协现实太残酷，能现实太残酷，能力之内模拟现实力之内模拟现实生活更是妥协的艺术生活更是妥协的艺术 艺术人生艺术人生=妥协人生妥协人生 =谈判的人生谈判的人生 =权衡的人生权衡的人生 =选择的人生选择的人生物体是个物体

2、是个软物质软物质，咋办？，咋办？ -弹性力学弹性力学理论物理走向应用物理、工程物理理论物理走向应用物理、工程物理科学需要妥协科学需要妥协刚体的平动，可以用质刚体的平动，可以用质心的运动来代替心的运动来代替AA A BB B 刚体运动的两种基本形式刚体运动的两种基本形式平动平动-刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平刚体运动时，刚体内任一直线恒保持平行的运动。各点运动完全相同行的运动。各点运动完全相同平动平动 和和 转动转动转动转动：对：对点点、对、对轴轴定轴转动定轴转动：各质元均作圆周：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。不动的直线（转轴）上。O转轴

3、转轴OO刚体的一般运动刚体的一般运动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动蔡斯勒斯定理：蔡斯勒斯定理： 刚体的任一位移，总可以表示为：一个随质心的刚体的任一位移，总可以表示为：一个随质心的平平动动加加上绕质心的上绕质心的转动转动。转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向PX各质元的线速度、加速度一般不同，各质元的线速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述刚体整体的运动描述刚体整体的运动用角量最方便用角量最方便。一、刚体定轴转动的运动描述一、刚体定轴转动的运动描述QP XXQP XX 角速度方

4、向规定为沿轴方角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。向，指向用右手螺旋法则确定。rv vr加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反dtd 22dtddtddtd比较比较：221 mvEk 二二 、刚体的转动动能、刚体的转动动能 转动惯量转动惯量222ki2121E iiiirmvm 221 JEk 刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。速度平方乘积的一半。2222221)(21)21( JrmrmEiiiiik 刚体对给定轴的转动惯量刚体对给定轴的转动惯量(moment of iner

5、tia) iiirmJ)(2 Mimr质量元的动能质量元的动能刚体的动能刚体的动能刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。到转轴的距离平方的乘积之总和。对于质量元对于质量元连续分布连续分布的刚体，转动惯量的微元：的刚体，转动惯量的微元：其中其中r是质量元到转轴的距离。是质量元到转轴的距离。与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：对于对于离散型离散型分布的刚体，其转动惯量为分布的刚体，其转动惯量为 iiirmJ)(2 dmrrmJVniiin212limMimrdmrdJ2整体的转动惯量可写成整体的

6、转动惯量可写成*刚体的质量刚体的质量 m*质量的分布质量的分布 r*转轴的位置转轴的位置 rdldmdsdmdVdm质量为质量为线分布线分布质量为质量为面分布面分布质量为质量为体分布体分布其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。注注意意只有只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，的刚体，才能积分才能积分计算出刚体的转动惯量计算出刚体的转动惯量 dmrJ2例例1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：

7、细圆环解：细圆环dldmRdlLCdlRdmRJ222222mRRRdlRL又解又解:222mRdmRdmRJ J J是可加的，所以若为是可加的，所以若为薄圆筒薄圆筒结果相同。结果相同。-化整为零化整为零 微元微元dl-积零为整积零为整-微元微元 dm不计环的粗细不计环的粗细不计环的厚度不计环的厚度记典型结果记典型结果例例2 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄的薄圆环圆环-微元微元dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR40

8、3212 可见，转动惯量与可见，转动惯量与 l 无关。所以，无关。所以，实心圆柱实心圆柱对其轴的转动惯对其轴的转动惯量也是量也是mR2/2。2221mRJlRmQlrdr 2ZOrdr思考：思考：微元有多大微元有多大？例例*. 求一质量为求一质量为m的均匀实心球对其一条直径的均匀实心球对其一条直径 为轴的转为轴的转动惯量。动惯量。解解： 一球绕一球绕Z轴旋转，轴旋转，离离 球心球心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为的薄圆盘。其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动

9、惯量：YXZORrdZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21YXZORrdZZ典型转体的转动惯量要熟知典型转体的转动惯量要熟知例例3、求长为、求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标122222/mLdxxJLLC 3202/mLdxxJLA xdxdm= dx dmrJ2A，C两轴平行，相距两轴平行，相距L/2；ACJmLmLmLLmJ222231411212推广推广：若有任一轴与过质心的轴平：若有任一轴与过质心的轴平行

10、，相距为行，相距为d，刚体对其转动惯量为，刚体对其转动惯量为J，则有：，则有： JJCmd2。这个结论称为这个结论称为。MCAd质心对质心对A轴的轴的转动惯量；转动惯量；JC ：对质心：对质心C轴轴的转动惯量；的转动惯量；JA表示相对通表示相对通过棒端的轴的过棒端的轴的转动惯量转动惯量 利用平行轴定理，规则物体及其组合的转动利用平行轴定理，规则物体及其组合的转动惯量就容易求了惯量就容易求了ABX32mLJAxdxC122mLJC 例：右图所示刚体对经过例：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？惯量如何计算？(棒长为棒长为L、球半径为球半径为R）2131

11、LmJL252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJ22221)(5231RLmRmLmJJJooLLmOm分析：棒的：分析：棒的：J1球的：球的：J2=对球心轴的对球心轴的+质心质量对垂直轴的质心质量对垂直轴的均匀圆环均匀圆环薄圆筒薄圆筒均匀圆盘均匀圆盘实心圆柱实心圆柱均匀细棒均匀细棒均匀球体均匀球体均匀球壳均匀球壳典型形状物体的转动惯量典型形状物体的转动惯量三、转动定律三、转动定律2FrMMzsin2rFMz作用在刚体上的轴的力矩作用在刚体上的轴的力矩F1的作用由于的作用由于 Z 轴的固定而相应地抵消了轴的固定而相应地抵消了分析转动运动与力矩之间的关系分析转动运动与力矩之间的关系只

12、要讨论只要讨论转动平面内转动平面内的力的力就可以了就可以了Z2FrPO转动平面转动平面1FFiiiiamfF iiiiiiamfF sinsin2sinsiniiiiiiiirmrfrFiiiiiiiiiiirmrfrF)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边将切向分量式两边同乘以同乘以 ,变换得变换得irJJMiiirm)(2-刚体转动定律刚体转动定律内力内力外力外力约定：力都在转动平面内约定：力都在转动平面内刚体内任意质元的运动：刚体内任意质元的运动：切向分量：切向分量：刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，作用于刚体

13、上的合外力矩刚体绕定轴转动时，作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。m反映质点的反映质点的平动惯性平动惯性, J反映刚体的反映刚体的转动惯性转动惯性. 与与地位相当地位相当amFJMJM（矢量，瞬时关系）（矢量，瞬时关系） 刚体转动定律是牛顿第二定律在刚体刚体转动定律是牛顿第二定律在刚体转动运动上的体现转动运动上的体现转动定律应用举例转动定律应用举例例例4 一个质量为一个质量为M、半径为、半径为R的定滑的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端绳的一端固定在滑轮边上，另

14、一端挂一质量为挂一质量为m的物体而下垂。忽略的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体轴处摩擦，求物体m由静止下落高由静止下落高度度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。mgMmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：mg解：解：RamaTmgm :对221 MRJJTRMM：对 例例5*、一个飞轮的质量为、一个飞轮的质量为69kg，半径为，半径为0.25m,正在以每分正在以每分1000转的转速转动。现在转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为而最后停下来。摩擦系数为0

15、.2。求闸瓦对。求闸瓦对轮子的压力轮子的压力N为多大？为多大？F0解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度t020rad/s9 .20s5 0 rad/s7 .104min/ r1000t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。2mRJNRRfMr2mRNR mRN 0Nfr 例、一根长为例、一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端有的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角角时的角加速度和角速度。

16、加速度和角速度。解：求解：求下摆下摆 角时的角时的角加速度角加速度棒下摆为加速过程，外力矩为重棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力对O的力矩。的力矩。 棒上取质元棒上取质元dm,当当棒处在下摆棒处在下摆 角时角时，该质量元的重该质量元的重力对轴的元力矩为力对轴的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 重力对整个棒的合力矩为重力对整个棒的合力矩为 coscosmgLgL2122 LgmLmgLJM2cos331cos212 LdlgldMM0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 代入转动定律，可得代入转动定律，可得变（加）速转动变（加）速转动

17、ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgL cos21 0021dJdmgL cos22121 JmgL sinLgJmgL sinsin3 dJMd 231mLJ 解：求下摆解：求下摆 角时的角速度角时的角速度四、四、 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能 21 MdW力矩做功是力做功的力矩做功是力做功的角量表达角量表达.FrPOdrd Z力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 MdtdWp rdFW对比：对比：1、力矩的功、力矩的功MdrdFdsFsdFdWcos力矩的元功MddWVFP力的瞬时功率力的瞬时功率MrFFFrdds,cos,宏观角位移的功：宏观角位移的功

18、：2、动能定理、动能定理ddJdtdddJdtdJM 2121 dJdM21222121 JJ 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量的功等于刚体转动动能的增量。21222121JJW21222121mvmvW对比：对比：dtdJJM iiiiphmgghmE 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和势能之和.mhmmgEiip CpmghE mhmhiicCChim POihh3、刚体的重力势能、刚体的重力势能 结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能零点的高度，

19、结论：刚体的重力势能决定于刚体质心距势能零点的高度，与刚体的方位无关。即计算刚体的重力势能只要把刚体的质量全与刚体的方位无关。即计算刚体的重力势能只要把刚体的质量全部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平动或转动）若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功,其他非保守内力不做功其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒则刚体在重力场中机械能守恒.常常量量 CmghJE221 即如果合外力不做功，非保守内力也不做功，即如果合外力不做功，非保守内力也不做功，或二者的功的代数和为零，或二者的功的代数和为零，机械能守恒定律

20、机械能守恒定律.4 4、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律质点系质点系功能原理对刚体仍成立功能原理对刚体仍成立：W外外+ W内非内非=（Ek2+Ep2） （Ek1+ Ep1）若若W外外+ W内非内非=0， 则则Ek +Ep =常量。常量。 即刚体的重力势能和刚体的转动动能相互转化、即刚体的重力势能和刚体的转动动能相互转化、总和不变。总和不变。五、刚体的角动量定理和角动量守恒定律五、刚体的角动量定理和角动量守恒定律 1、质点的角动量、质点的角动量vmrprL角动量的角动量的大小大小为为sinsinmrvrpL方向方向满足右手螺旋法则满足右手螺旋法则 单位是千克

21、平方米每秒单位是千克平方米每秒(kgm2/s) mv O rzxy2 2、 刚体的角动量刚体的角动量以角速度以角速度 绕绕OZOZ轴旋转的刚轴旋转的刚体，现将刚体分割成许多质体，现将刚体分割成许多质元元nimmmm21,im对对Z Z轴的角动量轴的角动量iiiivrmL质点的角动量质点的角动量prLiv iriiiivrmL方向沿方向沿Z Z轴轴M Mimr ri iZ Z质元的角动量质元的角动量JLziiniizvrmL1)(2iiizzrmLL刚体对刚体对Z Z轴的角动量轴的角动量刚体对刚体对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量2iirmJ类比质点的动量类比质点的动量M Mimr ri iZ Z

22、iiiivrmL刚体总角动量刚体总角动量 大小：大小：L质元的角动量质元的角动量m vp=3 3、角动量定理、角动量定理dtdJJMZ) 1 (JddtMZ设设 时间内，刚体角时间内，刚体角速度由速度由21tt 211221JJdtMttZ对对(1)式两边积分式两边积分FZMZ-角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式-角动量定理积分形式角动量定理积分形式mdvFdt 对应1221vmvmdtFtt对应 (1) (1) 角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩定角冲量又叫冲量矩，故此定理又叫冲量矩定理。它与质点的动量定理存在类比关系：理。它与质点的动量定理存在类比关系：1221vmvmdtFtt定

23、轴转动的定轴转动的角动量定理角动量定理：定轴转动的刚体对轴的角动量定轴转动的刚体对轴的角动量的增量，等于对同一转轴合力矩的角冲量的增量，等于对同一转轴合力矩的角冲量1221JJdtMttz角冲量角冲量讨论：讨论：1221vmvmdtFtt对应角动量的增量角动量的增量(2(2）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要靠施以）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要靠施以角冲量。角冲量。对角动量大的物体则要施以大的角冲量。于是对角动量大的物体则要施以大的角冲量。于是对不同物体的转动，施加不同的冲量矩。对不同物体的转动，施加不同的冲量矩。1221JJdtMttz小角冲量，小角冲量，J小，大转动小，大转动大角

24、冲量，大角冲量，J大，小转动大，小转动4、角动量守恒定律、角动量守恒定律1221JJdtMttZ动量矩定理动量矩定理)0(ZZZMcJ若：若：0ZiM21JJ则则:类比：cvmii) 0(iF 若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。-定轴转动的定轴转动的角动量守恒定理角动量守恒定理： (1) (1)角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。体也成立。一般有三种情况：一般有三种情况：A A：J J不变，不变， 也不变，保持匀速也不变，保持匀速转

25、动。（常平架上的回转仪）。转动。（常平架上的回转仪）。讨论：讨论：B B：J J发生变化，但发生变化，但J J 不变，则不变，则 要发生改要发生改变。在体育运动常见。变。在体育运动常见。I. I. 演示实验演示实验D:D:实际中的一些现象实际中的一些现象艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合高！高！高！高！II、芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作III.当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速当滑冰、跳水、体操运动员在空中为了迅速翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。翻转也总是曲体、减小转动惯量、增加角速度。当落地时则总是伸直身体、增大转动惯量、使身当落地时则总是

26、伸直身体、增大转动惯量、使身体平稳落地。体平稳落地。C C：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，：开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。必引起另一部分朝另一反方向旋转。直升飞机后面的螺旋浆直升飞机后面的螺旋浆例例1 1）质量为）质量为M M、半径为、半径为R R的转台，可绕通过中心的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的竖直轴转动。质量为m m的人站在边沿上，人和转的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？地而言，人和转台各转动了多少角度？已知：已知：0,RmM求：

27、求：台人,解：以解：以M、m为研究对象为研究对象 0外力矩M故角动量守恒故角动量守恒+MXm) 1 (0台人JJ02122台人MRmR)2(2台人mMttdtmMdt002台人因人和台原来都静止故因人和台原来都静止故角动量角动量台人,（2）式）式dt积分：积分：若人和转台的角速度分别为若人和转台的角速度分别为+MXm人台ttdtmMdt002台人) 3(2台人mM)4(2 台人mMm4台mMM2人MX人台mAAm人台例题例题2 2）一木杆长）一木杆长 可绕光滑可绕光滑端轴端轴O O旋转。设这时有一质量旋转。设这时有一质量为为m m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入射入杆端并嵌入杆内，求杆偏

28、转的杆端并嵌入杆内，求杆偏转的角度。角度。已知：已知：vmlM,lMM+vm提醒：提醒：以后凡遇到质点与刚体的碰撞之类的问题，以后凡遇到质点与刚体的碰撞之类的问题，均要应用角动量守恒求解，而一般不能应用动量均要应用角动量守恒求解，而一般不能应用动量守恒求解。守恒求解。注意：注意：射入前后射入前后(即子弹与木杆的碰撞即子弹与木杆的碰撞)过程，以子弹和木杆组过程，以子弹和木杆组成的系统角动量守恒！而系统的动量不守恒。为什么？成的系统角动量守恒！而系统的动量不守恒。为什么？mlvL 1)31(222mlMlJL系统在子弹射入之后的角动量：系统在子弹射入之后的角动量：系统在子弹射入之前的角动量：系统在

29、子弹射入之前的角动量：)1()31(lmMmv)31(22mlMlmlv依角动量守恒定理：依角动量守恒定理：子弹射入之前子弹射入之前MM+O1ZLO2ZL解：解：此题可分为两个过程，此题可分为两个过程，(1) (1) 碰撞过程；碰撞过程；(2) (2) 上摆过程。碰撞上摆过程。碰撞过程以子弹和木杆组成的系统的角动量守恒。上摆过程以过程以子弹和木杆组成的系统的角动量守恒。上摆过程以子子弹、木杆和地球组成的系统机械能守恒。弹、木杆和地球组成的系统机械能守恒。碰撞过程(2) (2) 上摆过程：以上摆过程：以M M、m m、地球为研究对、地球为研究对象，以杆端为势能零点象，以杆端为势能零点初态的机械能初态的机械能22121lMgJE末态的机械能末态的机械能)cos1 ()cos1 (222mgllMglMgE依