【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第八讲分数的简便计算(一)通用版(含答案)

1、分数的简便计算(一)在学习了分数以后，我们所遇到的计算大多数都是分数间的计算或者是分数和小数的混合 计算，在计算过程中，是将小数转化为分数还是将分数转化为小数，若都是分数，是用假分数 还是用带分数，这些都会让学生很纠结，总结了几个小技巧：1、一般情况下，在加法和减法中，用小数计算比较方便，在乘除法中，用分数比较方便，并 且要将除法转化为乘法，先约分，再计算；2、在加减法中，若分数转化为小数时是一个循环小数，那就将整个式子都转化为分数再进行 计算；3、计算过程中，根据式子的特点再判断是用假分数还是带分数，要能够随机应变 常规的简便计算：1、分组凑整使部分的和、差、积、商成为整数、整十、整百、整千

2、，使得计算简便例：；1211232112+ + + 1222+ + + + + ：33：333+ + + + + + +4414444因为是道例题，为了便于学生理解，只截取了题目的一部分，数字较小，很多学生觉得直 接硬算就可以了，当然了，这也是一种方法，在这里，我们就要结合之前讲过的内容思考一下， 能不能简便计算呢？仔细观察会发现分母为1的数和为1,分母为2的数和为2,分母为3的数和为3,分母为 4的数和为4,能发现这个规律这道题目就很简单了，原式= 1+2+3+4=10,这道题懂了之后 我们来看一下这道题完整版的。 1 2 1 1 2 3 2 1 - I 112 I - I 1995 I -

3、 111222333331995199519951995= 1+ 2 +3+ HF 1995=(1 + 1995) x 1995 2 =998 x 1995 二(1000 2) x 1995 =1000 X1995 2 X1995 =1995000 - 3990 =1991010 2、加补凑整通过“借数”、“拆数”凑整的方法。44444例： 一 -1 ' +'.50555这道计算题中既有真分数又有带分数， 很多学生都会觉得第一步应该先把带分数换成假分 数，然后再去考虑怎么简便计算，这是没有必要的。我们仔细观察这个式子的特点，就会发现每一个数都可以转换成一个整数和 y的差，然后通

4、过加法交换律和加法结合律就能很容易的算出最终结果，详细过程如下：4 ,44 2 44-F9- +99- +999- + 9999- 5 o555=(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) - 1 X 5=Hill -1=lino3、数值原理法把能凑成整数的部分先计算，再把得到的结果和其它数进行计算。,44444例： + 乙，丁.5oo55还是上道例题，除了上述计算方法之外，我们来研究一下如何用数值原理法解决，详细计 算过程如下：4.4444-+9- +99- +999- -F9999-o 551 4444= 7+ 9+R+ 99+r+999+ 下+ 9999 + -5 555

5、54=9 + 99 + 999 + 9999 + - X5= 10 + 100 十 1000 + 10000 - 4 + 4=11110 4、分数乘除约分法在分数乘法与分数除法中，先把原式改写成乘法形式，把能够约分先约分，再计算。igg7例：. " _.iyyo在这里首先要强调一点，除法没有分配律，这道题错误率极高，很多学生的计算如下:1997f1997、= 1997-1997 + -1Hn凸 /=1997=期？ +生瓯577砺=1+1998= 1999这道题其实并不难，主要考察的就是带分数与假分数的转化，正确计算过程如下:9199719974.旃=1997 +1997X1998 +

6、 1997= 1997 4-19981997 X (1998 + 1)= 1997 +19981997x199919981998Tf妆 X199919981999分数计算中，掌握了这些只能算是入门，还需掌握分数简便计算常考的三种方法：裂项、 换元和通项归纳才行。一、裂项分数裂项简单来说就是发现规律，然后利用运算律进行简便计算，其重点是要能够发现规 律，很多情况下规律并不容易找到，需要先对式子进行适当的变形，或者先计算一部分，使得 规律简单点。1、“裂差”型适用于分子是1,分母可以写成两个因数或多个因数乘积的分数，若c =值乂匕，则1 = 与c aXb（口 V力，将比较小的数写在前面）.（1）分

7、子是1,分母可写成是两个因数乘积的分数,公式:1 _1_ 12 _ 1153X35-3父(彳 5J 2 X 1513'(2)分子是1,分母可写成是三个因数乘积的分数，一一口 J JixS + l)xS + 2)2 Mx D W+l)x5+2)例：一一 二I _ 1 ” M _ I I _ 1方忑一荻3= 2Xl6-12j = 2Xl2 = 24;(3)分子是1,分母可写成是四个因数乘积的分数，公式：1_ 1 r 11n X (n + 1) X (n + 2) X (n + 3) = 3 L n X (n +1) X (n + 2) - (n + 1) X (n + 2) X (n +

8、3)1 = i _ i x= Lx(±_n = j_.注：当分母是多个因数乘积时，要满足相邻两个分母上的因数要“首尾相连” 因数的差是一个定值。2、“裂和”型j + 6 _ab1+ = x &。X &b1-1, a4上7a X & a例：” :10_ 3 + 5 _工+上=3X53X5533X5；公式一、u? + 接 _r + 1= a X6 aXba b6 + aaXb有 13例：6_ 22 + 3222 , 322X32X32=3 +3 _132x32 6,且分母上几个练习题、常规的简便计算八JI I 11 /2222 /333 1仁+ w一彳+而)+ b

9、 + w + 5 +而彳一+而)+(2) 1993 77 1992 + 1991 彳1990 彳 + + 1 5&jTJ七 J(3)199719971998 19971111111112_6-12_20_30_42_56-72-90(5)： +111115 + 35 + 63 + 99 + 143 + 195,19 , 29 , 9701 , 9899203097029900参考答案、常规的简便计算9 -U 1 -2+ J/ 8 -O 1 -2+ 1819 f I+±20一A十3 -5一 3 -4 /H%+2-5+2-4十2 -3一tu/120+1 -4+1 -3+1 -2=

10、£ + ；父 0 + 2) + 1 M 1 + 2+M + + 1 X (1 + 2 + 3 + 19) £»c t'XWi，=1+ ：X0+2) x24-2 + ix(l+3)x3-?2 + -F X (1 + 19) X19 -?22 CJ42()12319=+ |- - +-I- 2222_ (1 + 19) X 19-2二 2=95解法一1993 J - 19921 + 19911 - 1990 ： + + 1J ； 上J£O上J1993 十1990+-1992 + 引 + 11991 + 歹.+ 1 + *111nlqHHl+弓一0一可

11、tjWJ/I 1.112 - 3 + 2 - 3 + "+ 2 - 3=1993 + J 1992 - 1 + 1991 + ； 1990 -巳J巳=(1993 - 1992 + 1991 - 1990 + + 1 0) +(1 -F HF 1)=、-+997个U X 9971 X 997=997 + 997 X997=997 + 二一=997 + 166 不=1163()19911 - 1990 TF(2)解法一19931 - 1992+ 1991 - 19905+ + 119931 - 1992 1 =11 X (1993 - 1) 4-2 + 1=L、x (1992 + 2 十1)=11 x (996 + 1)7-=-X 9976_ 6979=61()g7 1997 湍 2199719971997 +1998 19971997=1997 9 1997 + 西函 2 1997199719981199811v 199719982121To2X312 12 - 20+ 3x41 1()130 14X5425615X67216X71901+ 7X8+ 8x9+19X10