四种命题间的相互关系

1、若若p 则则q逆否命题：逆否命题：原命题：原命题：逆命题：逆命题：否命题：否命题：若若q 则则p若若 p 则则 q若若 q 则则 p准确地写出否定形式是非常重要的，下面是准确地写出否定形式是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式一些常见的结论的否定形式. . 正面正面词语词语等于等于 大于大于小于小于是是都是都是正面正面词语词语全全至少有至少有一个一个能能P或或qP且且q不等于不等于 不大于不大于不小于不小于不是不是不都是不都是不全不全否定否定否定否定一个也一个也没有没有不能不能非非p p且且非非q q非非p p或或非非q q四种命题之间的关系四种命题之间的关系: :原命题原命题若若p则则

2、q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题若若q则则p互逆互逆互互否否互互否否互逆互逆观察与思考观察与思考？( )( )f xf x1 1）若若是是正正弦弦函函数数，则则是是周周期期函函数数。( )( )f xf x2 2）若若是是周周期期函函数数，则则是是正正弦弦函函数数。( )( )f xf x3 3）若若不不是是正正弦弦函函数数，则则不不是是周周期期函函数数。( )( )f xf x4 4）若若不不是是周周期期函函数数，则则不不是是正正弦弦函函数数。你能判断它们你能判断它们的真假性吗的真假性吗? ?( (真真) )( (假假) )( (假假) )( (真真) )2

3、）原命题：若）原命题：若a=0, 则则ab=0。逆命题：若逆命题：若ab=0, 则则a=0。否命题：若否命题：若a 0, 则则ab0。逆否命题：若逆否命题：若ab0,则则a0。(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？例子：例子：1）原命题：若）原命题：若x=2或或x=3, 则则x2-5x+6=0。逆命题：若逆命题：若x2-5x+6=0, 则则x=2或或x=3。否命题：若否命题：若x2且且x3, 则则x2-5x+60 。逆否命题：若逆否命题：若x2-5x+60，则，则x2且且x3。(真真)(真真)(真真)3) 原命题

4、：若原命题：若a b, 则则 ac2bc2。逆命题：若逆命题：若ac2bc2,则则ab。否命题：若否命题：若ab,则则ac2bc2。逆否命题：若逆否命题：若ac2bc2,则则ab。（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）想一想：想一想：由以上三例我们能发现什么？由以上三例我们能发现什么？结结 论：论：原命题与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（2 2）两个命题为互逆命题或互否命题）两个命题为互逆命题或互否命题, ,它们的真假性它们的真假性 没有关系。没有关系。（1 1）原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题

5、 一般地一般地, ,四种命题的真假性四种命题的真假性, ,有而且仅有而且仅有下面四种情况有下面四种情况: :真真真真真真真真真真假假假假假假假假假假假假假假假假真真真真真真练一练：练一练：判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，）一个命题的逆命题为真， 它的逆否命题不一定为真；它的逆否命题不一定为真；（对）（对）2）一个命题的否命题为真，）一个命题的否命题为真， 它的逆命题一定为真。它的逆命题一定为真。（对）（对）3）一个命题的原命题为假，）一个命题的原命题为假， 它的逆命题一定为假。它的逆命题一定为假。（错）（错）4）一个命题的逆否命题为假，）一个命题的逆否命题

6、为假，它的否命题为假。它的否命题为假。（错）（错）例题讲解例题讲解例例1：设原命题是：当：设原命题是：当c0时，若时，若ab,则则acbc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。并分别判断它们的真假。解：逆命题：当解：逆命题：当c0时，若时，若acbc, 则则ab.否命题：当否命题：当c0时，若时，若ab, 则则acbc.逆否命题：当逆否命题：当c0时，若时，若acbc, 则则ab.（真）（真）（真）（真）（真）（真）分析：分析：“当当c0时时”是大前提，写其它命题时应该保留。是大前提，写其它命题时应该保留。原命题的条件是原命题的条件是“

7、ab”，结论是结论是“acbc”。（真）（真）例例2 若若m0或或n0，则，则m+n0。写出其逆命题、。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出真假。否命题、逆否命题，并分别指出真假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且且” “或或”的的否定为否定为“或或” “且且”。解：逆命题：若解：逆命题：若m+n0，则，则m0或或n0。否命题：若否命题：若m0且且n0, 则则m+n0.逆否命题：若逆否命题：若m+n0, 则则m0且且n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假

8、。因为逆命题与否判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。等价。证明：一个三角形中不能有证明：一个三角形中不能有 两个角是直角两个角是直角已知：已知：ABC引例引例求证：求证：A、B、C中不能中不能 有两个角是直角有两个角是直角反证法的一般步骤：反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论

9、正确。 反设反设归谬归谬结论结论反反证证法法证：证： 假设假设 若若_时时,则则_, x2+y20与与 x2+y2=0矛盾矛盾, 若若_时时,则则_, x2+y20与与 x2+y2=0矛盾矛盾, 所以假设不成立所以假设不成立, 从而从而_成立。成立。x x、y y至少有一个不为至少有一个不为0 0 x x 0 0 x x2 2 0 0例例3 证明：若证明：若x2+y2=0, 则则y y 0 0y y2 2 0 0 x x =y=0 =y=0。x =y=0。反证法证明反证法证明证：证： 假设假设_或或_, 由于由于_时时,_, 与与 (x-a)(x-b)0矛盾矛盾, 又又_时时,_, 与与(x-

10、a)(x-b)0矛盾矛盾, 所以假设不成立所以假设不成立, 从而从而_。x=a x=bx=a (x-a)(x-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且且x b用反证法证明用反证法证明,若若(x-a)(x-b)0,则则x a且且x b.用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 1 1由于由于P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连结，连结OP，根据垂径定理的推论，

11、有根据垂径定理的推论，有 OPAB，OPCD，所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，这与垂都垂直，这与垂线性质矛盾。线性质矛盾。DPOBAC假设弦假设弦AB、CD被被P点平分点平分, , 证明证明: :连结连结 AD、BD、BC、AC, 因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ABCD是平行四边形，而圆内接平行四边是平行四边形，而圆内接平行四边形必是矩形，则其对角线形必是矩形，则其对角线AB、CD必是必是O的直径，这与已知条件矛盾。的直径，这与已知条件矛盾。证

12、法二证法二所以结论所以结论“弦弦AB、CD不被不被P点平分点平分”成立。成立。., 0:baba 那那么么如如果果用用反反证证法法证证明明例例 2 2bababa 或或者者则则或或者者不不大大于于假假设设,babababbbaabaababa 与与所所以以因因为为, 0, 0baba 所所以以矛矛盾盾这这些些都都同同已已知知条条件件,0证明证明: 用反证法证明用反证法证明: 若方程若方程ax2+bx+c=0 (a 0)有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根, 则则b2-4ac0.2. 用反证法证明用反证法证明:在在ABC中中,若若C是是 直角直角,则则B一定是锐角一定是锐角.演练反馈演练反馈总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所