中心流形定理

1、中心流形定理中心流形定理的作用 当研究复杂的高维非线性动力系统分岔问题时 ,需要利用中心流形定理或李雅普诺夫方法降低系统维数 ,中心流形定理比用李雅普诺夫方法简单、明了 ,可以把一个对维动力系统在奇点附近的各种性态的研究简化为一个维 ()中心流形上的流的方程的研究 .线性系统按特征值的性质分为三类子空间l (1)稳定子空间Es(0) 设矩阵A共有ns个特征值，且实部都小于0。 这ns个特征向量构成一个ns维的子空间就是Es(0). )0(),(0sExtx0),(lim0 xtxt)0(0sEx l (2)不稳定子空间Eu(0) 设矩阵A共有nu个特征值，且实部都大于0。 这nu个特征向量构成

2、一个nu维的子空间就是Eu(0). )0(),(0uExtx0),(lim0 xtxt)0(0uEx l (3)中心子空间Ec(0) 设矩阵A共有nc个特征值，且实部都小于0。 这nc个特征向量构成一个nc维的子空间就是Ec(0).)0(),(0cExtx)0(0cEx (1)不变稳定流形 Ws(0),系统在状态空间的轨道运动被限制在Ws(0)上，且系统在状态空间的流xi= (ti,x)在t时沿着Ws(0)最终趋于平衡点(原点)(2)不变不稳定流形Wu(0),系统在状态空间的轨道运动被限制在Ws(0)是，且系统在状态空间的流xi= (ti,x)在t -时沿着Wu(0)将趋于平衡点(原点)(3)

3、不变中心流形Wc(0), 表示相切于非线性n维自治系统线性化向量场零特征值所对应的特征向量。)0(),(siiWxtx0),(limxtit)0(sWx)0(),(uiiWxtx0),(limxtit)0(uWx中心流形定理 设非线n维自治系统dx/dt=f(x)的平衡点是原点，在平衡点(原点)外对非线性n维自治系统线性化，其线性化系统的不变子空间分为不变稳定子空间Es(0)，不变不稳定子空间Eu(0),不变中心子空间Ec(0)，而其非线性n维自治系统的流形则分为稳定流形Ws(0)，不稳定流形Wu(0)和中心流形Wc(0),它们分别在平衡点(原点)和其线性化系统的不变子空间Es(0),Eu(0

4、),Ec(0)相切，并且Ws(0),Wu(0),Wc(0)的维数分别与Es(0),Eu(0),Ec(0)的维数相同，而且稳定流形Ws(0)，不稳定流形Wu(0)的存在是唯一的;只有中心流形Wc(0)在有些系统中可能不唯一，不唯一时可以任选其中一个当作中心流形 Wc(0)来处理。 对于非线性系统dx/dt=f(x), 假设f(x)=0是平衡点，f(O)=0,同时令A=Df(0) 假设A有k个特征值实部为0，k-n个实部为负，另x=(u,v) 有 u=Cu+g1(u,v)=f1(u,v) v=Bu+g2(u,v)=f2(u,v) 则中心流形Wc=(u,v)|v=h(u),h(O)=0,Dh(O)=

5、0 将v=h(u)代入u=Cu+g1(u,v)=f1(u,v) 可得u=Cu+g1(u,h(u) , uRk定理4： 若系统u=Cu+g1(u,h(u),uRk的原点是稳定(渐近稳定，或不稳定)的，则原非线性系统dx/dt=f(x) 的原点也是稳定(渐近稳定，或不稳定)的。 该定理说明，非线性系统在平衡点的稳定性可通过降维为线性系统来判定。例：已知某一非线性系统的状态方程为 du/dt=uv+au3+buv2 dv/dt=-v+cu2+du2v 应用中心流形定理进行分析。 解：令du/dt=uv+au3+buv2=0 dv/dt=-v+cu2+du2v=0 可得平衡点为(0,0)及平衡点的线性

6、化矩阵为 可求得A的特征值为0，-1，特征向量为1,0T,0,-1T 则对应的子空间为Ec=(1,0)T ,Es=(0,-1)T 1000A则非线性系统的中心流形为 Wc=(u,v)|v=h(u),h(O)=0,Dh(O)=0 设 可得 有v=h(u)=cu2+O(u4) 当(a+c)0时，系统的零解不稳定 )()()()()(2223uhducuuhubuhauuuhdtudh332210)(uuuuhc24310, 0)()()(533uOucabuvauuvdtudh李雅普诺夫第二方法 对于任一非线性动力学电路系统的微分方程 满足：1.存在一个定正函数dV(x) 2.方程的全导数为 常负

7、函数或恒等于零 则方程描述的微分动力学电路系统的零解是稳定的。)(xFdtdxdtdV李雅普诺夫函数稳定性总结V(x)V(x)结论正定(0)负定(0)半负定(0)且恒不为0渐近稳定正定(0)半负定(0)且恒为0稳定但非渐近稳定正定(0)正定(0)不稳定正定(0)半正定 (0)且恒不为0不稳定已知某三维非线性系统的状态方程为 u=-v+u v=u+ v w=-+u2+v2+g(u,v, ) 求其平衡点的稳定性 解：设w=h(u.v)是三维非线性系统的一个中心流形，则有 可令w=h(u,v)=h2(u,v)+h3(u,v) 可有 令h2=au2+2buv+cv2,代入方程中可得 a=1,b=0,c=1),()()(22vugvuhvhuvhuhvuh2222)()(vuhuvhvuh 从而有h2=u2+v2 w= h2=u2+v2+h3(u