复变函数第2讲

1、1 1.3 1.3 复数的乘幂与方根运算复数的乘幂与方根运算1、乘积与商、乘积与商,)sin(cos,)sin(cos212222211111iierirzerirz 设设;),sin()cos()sin)(cossin(cos)(212121212211212121 ierrirriirrzz则则因此因此121 21212Arg()Arg()Arg()| z z |= r r ,z z=z+z注意多值性注意多值性2)()()(2121zArgzArgzzArgxyO1z2z21zz2ArgzArgzArgz22ArgzArgzarg2Argzzk(0, 1, 2,)k 判断下列说法是否正确？

2、判断下列说法是否正确？几何解释几何解释(T)(F)3除法运算除法运算10z2211=zzzz2211=zzzz2211Arg = Arg + Arg zzzz2211=,zzzz2211Arg = Arg -Arg zzzz21(-)2211=i zrezr或者或者集合等式集合等式4例：已知正三角形的两个顶点为例：已知正三角形的两个顶点为1= 1,z2= 2+zi求三角形的另一个顶点。求三角形的另一个顶点。xyO1z2z3z33121-= (-)izzzz e13= (1+ )(+)22ii33-31+3=+22zi33+31-3=+22zi1-31+3=+22i52 2、幂与根、幂与根(2.

3、1)定义定义z的的n次幂：次幂：则有则有- 棣莫弗公式棣莫弗公式.(2.2) 定义定义z的的n次根：次根： 若有若有 w n=z,则称则称w为为z的的n次根，记为次根，记为 .nz.1nnzz 定义定义).sin(cosninrznn .sincos)sin(cosninin . 个个nnzzzz 6如何求如何求z的的n次根呢？次根呢？,inwewz 设设由由,iinnree 有有).(2,为为整整数数则则kknrn 2nn=，+ kinwzre即即)2sin2(cosnkinkrn k( ( 为为整整数数) ). .7当当k0，1，2，n1时，得到时，得到n个相异的根个相异的根：10(cos

4、sin)nwrinn1122(cossin)nwrinn112121()()(cossin)nnnnwrinn 1244(cossin)nwrinn8w48122442 cossin44 (= 0,1,2,3)k=+ i+k+k=(+ i)k（见见图图）xyo0w1w2w3w822i 1注注955(1+3 ) =2(cos+ sin)33ii例例2 2. .-1 =cos + sin+2+2 = cos+ sin (= 0,1)22ikkik555= 2 (cos+ sin).33i= 0=.=1i, k-i, k例例1.1031例例3 3. . 求求).2 , 1 , 0(,320sin32

5、0cos13 kkik 0sin0cos1:i 解解0121313= 1,= -+,= -.2222wwi wi即即3(1)1+ ;(2)-2+2 .练练习习题题：求求下下列列根根式式的的值值. .ii111.4 1.4 区域，单连通，多连通区域，单连通，多连通1 1、几个基本概念、几个基本概念0()0U z , = z | z - z .0z 以下设以下设D为一平面点集为一平面点集.000(,) =|0Uzz| z - z | 000(),()zD,U z ,U z ,D.12D-区域区域0z 内点内点外点外点(7) 边界边界 D的所有边界点组成的所有边界点组成D的边界的边界. .1z2zP

6、(5) 开集开集 若若D内的每一点都是内的每一点都是 内点，则称内点，则称D是开集是开集.(6) 闭集闭集 开集的余集开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。空集和整个复平面既是开集，又是闭集。D中任意两点可用一条全在中任意两点可用一条全在D中的曲线连中的曲线连接起来。接起来。(8) 连通连通D13(9) 区域区域非空的连通开集非空的连通开集.(10) 有界区域有界区域如果存在正数如果存在正数M，使得对于一切，使得对于一切D中的点中的点z，有有zM,则称则称 D为有界区域为有界区域,否则称为无界区域。否则称为无界区域。IRme00zz 表表表表示示示示右右半半复复平平面面, ,下下半半复

7、复平平面面. .例如例如102| -|Rz zR11|2 |z | zz | z -14|( )( )( ),tx tiy tt z zz点集点集称为称为z平面上的一条有向曲线。平面上的一条有向曲线。( ) tzz( )A z( )B z2、 简单曲线（或简单曲线（或JordanJordan曲线曲线) )若若x(t),y(t)是定义在区间是定义在区间 上的实值连续函上的实值连续函数，则称此曲线为数，则称此曲线为连续曲线。连续曲线。,15 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线. .简单曲线：简单曲线：1212,( )( )ttttzz简单闭曲线：简单闭

8、曲线：光滑曲线：光滑曲线：( ),( )x ty t存存在在、连连续续且且不不全全为为零零自身闭合的简单曲线。自身闭合的简单曲线。简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线( )( )zz 163. 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质(Jordan定理定理) 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边

9、界的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域D ，如果如果D内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在D内，就称内，就称 D为为单连通单连通域域；非单连通域称为；非单连通域称为多连通域多连通域. .17 例例 |z|1是多连通区域。是多连通区域。1. 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞多连通区域的一个显著特点：内部含有洞 或裂缝或裂缝.2. 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部单连通，外部多连通分，内部单连通，外部多连通.3. 属于单连

10、通区域属于单连通区域D内的任何一条简单闭曲线，内的任何一条简单闭曲线，在在D内可以经过连续的变形而缩成一点内可以经过连续的变形而缩成一点.单连通区域单连通区域多连通区域多连通区域注注181.5 1.5 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性1 1、 复变函数的定义单值函数单值函数 f(z): 对于对于D中的每个中的每个z，有且仅有一个，有且仅有一个w与之对应。与之对应。多值函数多值函数 f(z):对于对于D中的每个中的每个z，有两个或两个以上，有两个或两个以上w与之与之对应。对应。19zxiy ( ): wf z DG (,)(,)wuivu x yiv x y 定义集合定义集合函数值集

11、合函数值集合我们考虑我们考虑单值函数单值函数33323322323333() ()() ) (.zxiyxx iyx iyxxyx yyfiziy 例如：例如：202、 映射：映射： ABabf。f(z)是双射是双射f(z) 既是单射，又是满射。既是单射，又是满射。f(z)是满射是满射()f DG f(z)是单射是单射对于任意对于任意12,zz 12( )().f zf z 21Goxy(z)Douv(w)w=f(z)在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作：( )( )(wf zzDzwG w平平面面平平面面）的的映映射射( (变变换换).).的的原原象象。称称为为，而而映映象象

12、的的象象点点为为称称wzzw)( 定义域定义域函数值集合函数值集合zw=f(z)w22 . )1构成的映射构成的映射函数函数zw xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC 3、 两个特殊的映射两个特殊的映射:. ibawwibazz 的的点点平平面面上上映映射射成成平平面面上上的的点点将将23xyouvoiz321 iw321 iz212 iw212 ABCA B C ,11wz ,22wz .CBAABC . zwwz如如果果把把平平面面和和平平面面 重重叠叠在在一一起起, , 不不难难看看出出是是关关于于实实轴轴的

13、的一一个个对对称称映映射射o1w 2w 1z 2z 且是全同图形且是全同图形.2422) wz函函数数构构成成的的映映射射. . . 1 ,43, 1 1,21, 321321 wiwwwzizizz平面上的点平面上的点映射成映射成平面上的点平面上的点显然将显然将xyouvo 1z 2z 2w 3w1w3z25考察考察2wz的映射性质的映射性质. .记原象点记原象点izre，则象点则象点22.iwr e 因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，辐因此，象点与原象点相比，模是原来的平方，辐角是原来的二倍角是原来的二倍. .所以在该映射所以在该映射下下,2,2 .rr 又令又令zxiy2222()

14、2zxiyxyxyi则则22,2uxyvxy2wzuiv26.wz 2所所构构成成的的映映射射图示图示oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 272wz22xya2xybuavb2wz28xyouvoW 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形同一个长方形.291w =z例例1. 函数函数把把z平面上的曲线平面上的曲线1x 映成映成w平面平面解：原曲线的方程为：解：原曲线的方程为：1,xiyiy z211111-iyw =,z+ iy+ y记记,wuiv则则221,.11y

15、uvyy消去参数，得消去参数，得220.uvu于是象曲线方程为：于是象曲线方程为：11wz思考思考:曲线曲线在映射229xy的像是何图形?这就是象曲线这就是象曲线的实参数方程的实参数方程.这是一这是一个圆周个圆周什么曲线什么曲线? ?30 3 3、 复变函数的反函数复变函数的反函数定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为D,函数值集合为函数值集合为G, G中的每一个点中的每一个点w必将对应着必将对应着D中的点中的点.按照函数的定按照函数的定义，在义，在G上就确定了一个单值（或多值）函数，它上就确定了一个单值（或多值）函数，它称为称为w =f (z) 的反函数，也称为映射的反函

16、数，也称为映射w =f (z)逆映射逆映射.zD( )wf zwGwG() 1-zfwzD一一个个( (或或几几个个) )当它们都是单射时当它们都是单射时, ,称为称为一一对应一一对应. .314 4、 函数的极限函数的极限00000 ( ),(,),0,( )(0) ,0( ),( )lim( )( )，zzwf zzUzAzzf zAAf zzzf zAzzf zA 设设若若存存在在数数当当时时, ,有有则则称称 为为当当时时的的极极限限记记作作或或当当时时 定义定义uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进入入z0 的充分小去的充分小去心

17、邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中.32由于这种苛刻的要求给复变函数论带来由于这种苛刻的要求给复变函数论带来了许多美妙的结果，而这些结果是数学了许多美妙的结果，而这些结果是数学分析所不具备的。分析所不具备的。330z( ) zf zz的的极极限限. .1 ( ),1令令，于于是是 xkxikiykx f zxkxiki故故此此极极限限也也不不存存在在. .不仅如此，这一苛刻要求也给我们带来了不仅如此，这一苛刻要求也给我们带来了某些现在就可以感觉到的好处。某些现在就可以感觉到的好处。1.1.如果极限确实存在，则可以选择一个方向来确定

18、如果极限确实存在，则可以选择一个方向来确定 极限的值。极限的值。2.2.如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定如果方向不同，变化趋势也不一样，则极限一定 不存在。不存在。例如：当例如：当时时34相关性质相关性质00000 ( )( , )( , ), , , 1fu x yiv x yAuivxiyzz令令定定理理0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 则则定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转定理的重要意义在于将复变函数的极限问题转化为两个二元实函数的极限问题，这是在高等化为两个二元实函数的极限问题，

19、这是在高等数学中已经讨论过的问题。数学中已经讨论过的问题。35证明：证明：000000lim(), lim(,).xxxxyyyyu x yuv x yv 即即, ,0lim( ), zzf zA如如果果根根据据极极限限的的定定义义, ,有有00000,|()()|,xiyxiy 任任给给存存在在当当时时00 |()()|.uivuiv 22000()(),xxyy 即即当当时时00 |,|,uuvv 36反过来反过来022|( )|,lim( ).zzf zAf zA 即即000000lim ( , ), lim ( , ),xxxxyyyyu x yuv x yv 如如果果2200000,

20、()(),xxyy 则则任任给给存存在在使使当当时时0022|/ ,|/uuvv 而0000|( )| |()()| |.zui vvuuvvfAu00 |,zz 则则当当时时 有有37定理定理).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末设设与实变函数的极限性质类似与实变函数的极限性质类似.惟一性惟一性复合运算等复合运算等38例例2 2证证 (一一). 0 )Re()( 不不存存在在时时的的极极限限当当证证明明函函数数 zzzzf, iyxz

21、 令令,)( 22yxxzf 则则, 0),(,),(22 yxvyxxyxu , 趋趋于于零零时时沿沿直直线线当当kxyz 2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx 220)(limkxxxx 39)1(lim220kxxx ,112k , 值值的的变变化化而而变变化化随随k , ),(lim 00不存在不存在所以所以yxuyyxx, 0),(lim00 yxvyyxx根据定理一可知根据定理一可知, . )(lim0不存在不存在zfz证证 (二二),sin(cos irz 令令rrzf cos)( 则则,cos 40 , arg 趋趋于于零零时时沿沿不不同同的的射射线线当当 z

22、z .)(趋于不同的值趋于不同的值zf , 0arg 趋于零时趋于零时沿正实轴沿正实轴例如例如 zz, 1)(zf , 2arg 趋于零时趋于零时沿沿 z, 0)(zf . )(lim 0不不存存在在故故zfz415、函数的连续性连续的定义连续的定义:000 , lim( )() ( ) zzf zzfzfz如如果果那那末末我我们们就就说说在在 处处连连续续. . 连续的连续的三要素三要素:000( ) | | ( )()| 在 连续当时f zzzzf zf z （1） f(z)在在z0处有定义处有定义 （2）f(z)在在z0处有极限处有极限 （3）f(z)在在z0处的极限值等于函处的极限值等

23、于函数值数值4200000 3. ( )( , )( , )( ) = ( , )( , )(,)定定理理记记，则则在在+ +处处连连续续的的充充要要条条件件是是函函数数和和在在处处连连续续。f zu x yiv x yf zzxyu x yv x yxy由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题由此，复函数的连续性问题也转化为相应的实问题. .22 ( )ln(1)sin(). fxyixy：例例如如因因实实部部、虚虚部部皆皆为为初初等等函函数数，在在定定义义域域内内连连续续，故故此此复复函函数数在在相相应应的的区区域域内内处处处处连连续续。z本定理的证明可根据定理本定理的证明可根据定理1

24、 1立即得到立即得到. .相关性质相关性质43根据定理根据定理2 2和定理和定理3 3还可推得还可推得: :定理定理4. 1)4. 1)连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商( (分母不为零分母不为零) ) 仍是连续函数仍是连续函数. . 2) 2)连续函数的复合函数还是连续函数连续函数的复合函数还是连续函数. .2. 2. 在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数在曲线上是有界的连续的函数在曲线上是有界的. . 3.3.因一般复数不能比较大小，故实连续函数因一般复数不能比较大小，故实连续函数的最大、最小值定理，介值定理不再成立的最大、最小值定理，介值定理不再成立. .00lim( )(),.zzf zf zzC注注1.1.函数 在曲线 上 点处连续的意义是指( )f zC0z44特殊的特殊的:,)(2210nnzazazaazPw (1) 有理整函数有理整函数(多项式