数字信号处理第5章 数字滤波器的结构

1、第五章第五章 DF的结构的结构5.15.1离散时间系统结构的离散时间系统结构的表示方法表示方法1、按信号性质分：模拟滤波器(AF) 数字滤波器(DF)2、按幅频特性分：低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)、带阻(BS)、全通幅频特性的表示：幅频特性的表示：)(jeH求幅频特性的方法：1 1、直接给出系统函数、直接给出系统函数H(Z)；2 2、给出单位抽样响应、给出单位抽样响应h(n), , 通过通过Z Z变换变换Z h( (n)求出求出H( (Z) )；3 3、给出零、极点、给出零、极点zk、pk， 得系统函数：得系统函数：)()(jezeHzHj)()()(kkpzzzzH低通低通高通高

2、通带通带通| )(|jeH0 c 2 3 4 | )(|jeH| )(|jeH理想滤波器幅频特性理想滤波器幅频特性0 c 2 3 4 0 c 2 3 4 带阻带阻全通全通| )(|jeH| )(|jeH0 c 2 3 4 0 2 3 4 1、按结构分：、按结构分： a、递归式、递归式 b、非递归式、非递归式2、按单位抽样响应、按单位抽样响应h(n)分：分： a、IIR：无限冲激响应：无限冲激响应 b、FIR：有限冲激响应：有限冲激响应下一页下一页(至少有一个ak!=0)从差分方程可以看出，响应从差分方程可以看出，响应y( (n) )不仅与不仅与n时刻及时刻及n以前以前时刻的输入信号有关，而且与

3、时刻的输入信号有关，而且与n以前时刻的输出信号有以前时刻的输出信号有关，也就是结构上存在着输出信号到输入信号的关，也就是结构上存在着输出信号到输入信号的。 此时此时的输出信号仅的输出信号仅与输入信号有关。与输入信号有关。 MkkNkkknxbknyany01)()()(Mkkknxbny0)()(h(n)是无限长的是无限长的h(n)是有限长的，系统必然是稳定的。是有限长的，系统必然是稳定的。系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件： mnh)(Mkkknxbny0)()(MkkNkkknxbknyany01)()()(用计算机编程用计算机编程通用或专用的通用或专用的DSPDSP； 专用的滤波器；

4、专用的滤波器； 专用的专用的FFTFFT处理器；处理器；1 1、差分方程：、差分方程：2 2、系统函数：、系统函数：3 3、方框图：、方框图：MkkNkkknxbknyany01)()()(对差分方程两边作对差分方程两边作z变换，变换，系统特性由系统特性由ak,bk决决定定NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(方框图：方框图：单位延迟器：单位延迟器：差分方程：差分方程：加法器：加法器：常数乘法器：常数乘法器：x1(n)x2(n)x1(n)+ x2(n)x(n)ax(n)ax(n)x(n-1)Z-1在方框图表示中，一个加法器可以有任意多个输入量，在方框图表示中，一个加法器可以有任

5、意多个输入量，但实际中，一个加法器一次只能对两个数值进行运算但实际中，一个加法器一次只能对两个数值进行运算 MkkNkkknxbknyany01)()()(例：由差分方程画方框图例：由差分方程画方框图y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+b0 x(n)+b1x(n-1)x(n)y(n)Z-1x(n-1)b0b1a2a1Z-1y(n-1)Z-1y(n-2)信号流图：信号流图：x1(n)x2(n)x1(n)+x2(n)ax(n)ax(n)Z-1x(n)x(n-1)x1(n)x2(n)x1(n)+ x2(n)x(n)ax(n)ax(n)x(n-1)Z-1信号流图：信号流图：例：例：)() 2

6、() 1()(021nxbnyanyanyx(n)b0a2a1y(n-1)y(n-2)a1y(n-1)a2y(n-2)a1y(n-1)+a2y(n-2)y(n)z-1z-1在信号流图中，每个基本的运算单元形成有向在信号流图中，每个基本的运算单元形成有向，将各，将各连接起来形成一个网络。连接起来形成一个网络。各各节点节点的变量值等于该节点所有输入信号之和；的变量值等于该节点所有输入信号之和；输入信号输入信号x(n)的节点称为的节点称为源节点源节点，输出信号，输出信号y(n)的的节点称为节点称为汇节点汇节点；每一每一支路支路的输出信号等于该支路的传输函数与输的输出信号等于该支路的传输函数与输入信号

7、入信号z变换的乘积，变换的乘积，( (支路的传输函数可能为常支路的传输函数可能为常数数( (即常数乘法器即常数乘法器) )、1 1或单位延迟或单位延迟z z-1-1( (将起点处的将起点处的节点信号延迟一个样本节点信号延迟一个样本) )。 当当已知一个系统的差分方程或系统已知一个系统的差分方程或系统函数时，可以画出它的方框图或信函数时，可以画出它的方框图或信号流图；反过来，当我们已知系统号流图；反过来，当我们已知系统的信号流图时，也要能够根据流图的信号流图时，也要能够根据流图写出它的差分方程或系统函数。写出它的差分方程或系统函数。 例：根据信号流图写出系统的差分方程例：根据信号流图写出系统的差

8、分方程1 b0 2b13 4a156x(n)y(n)z-1z-1首先写出各节点的值：首先写出各节点的值：w1(n)=x(n)， w6(n)= w1(n-1)= x(n-1)，w2(n)= b0w1(n)+ b1w6(n)= b0 x(n)+ b1x (n-1) ，w4(n)=y(n)， w5(n)= w4(n-1)= y(n-1)，w3(n)= w2(n)+ a1w5(n)= b0 x(n)+ b1x (n-1)+a1 y(n-1) ，则：则：y(n)= w4(n)= w3(n) （传输系数为（传输系数为1） y(n)= b0 x(n)+ b1x (n-1)+a1 y(n-1) 四、信号流图转

9、置定理：四、信号流图转置定理：方框图和信号流图都可以用不同的方式方框图和信号流图都可以用不同的方式重新重新组织组织，而不改变系统的系统函数。，而不改变系统的系统函数。：如果将信号流图中所有：如果将信号流图中所有支路的信号传输方向倒置，然后将该系统的支路的信号传输方向倒置，然后将该系统的输入信号输入信号x(n)和输出信号和输出信号y(n)的位置互换，使的位置互换，使源节点变成汇节点，汇节点变成源节点，则源节点变成汇节点，汇节点变成源节点，则该信号流图的系统函数不变。该信号流图的系统函数不变。 后面，都将采用信号流图表示法来分析数字滤波器后面，都将采用信号流图表示法来分析数字滤波器的结构。但的结构

10、。但要会要会进行进行这几种表示方法之间的转换。这几种表示方法之间的转换。 例：例：设一阶设一阶DFDF的差分方程为：的差分方程为：由差分方程画出系统的信号流图：由差分方程画出系统的信号流图： )() 1()(01nxbnyanyx(n)y(n)b0a1z-1x(n)y(n)b0a1z-1x(n)y(n)b0a1z-1转置后的信号流图所对应的差分方程仍然是原来的转置后的信号流图所对应的差分方程仍然是原来的不同的不同的运算结构运算结构性能不同：性能不同：所需所需存储单元数存储单元数和和运算次数运算次数不同不同M+1个延迟器个延迟器x(n-k)和和N个延迟器个延迟器y(n-k), 共需共需M+1+N

11、个存储单元，运算次数：个存储单元，运算次数：M+1次和次和N次。次。对于其它结构所需的存储单元和运算次数又不一样。对于其它结构所需的存储单元和运算次数又不一样。 MkkNkkknxbknyany01)()()(例如：例如：由由IIRIIR的差分方程的差分方程其中单元数影响系统其中单元数影响系统复杂性复杂性，运算次数影响，运算次数影响运算速运算速度度；另外在有限字长的情况下，不同的运算结构的；另外在有限字长的情况下，不同的运算结构的误差、稳定性误差、稳定性也不同，因此运算结构是非常重要的。也不同，因此运算结构是非常重要的。信号流图转置定理为产生一种新的结构提供了一信号流图转置定理为产生一种新的结

12、构提供了一种简便的方法。种简便的方法。5.2 IIR5.2 IIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构差分方程：差分方程：根据差分方程得出直接I型信号流图：MkkNkkknxbknyany01)()()(x(n)y(n) b0 b1 b2 bM-1 bM a1 a2 aN-1 aNz-1z-1z-1z-1z-1z-1x(n-1)x(n-2)x(n-M+1)x(n-M)y(n-1)y(n-2)y(n-N+1)y(n-N)左边的网络将输入信号逐左边的网络将输入信号逐级延时，各信号分别与系级延时，各信号分别与系数数bk相乘，再从下向上，相乘，再从下向上，依次把结果相加，组成依次把结果相加，组成M节延时网

13、络；节延时网络；右边的网络将输出信号逐右边的网络将输出信号逐级延时，再分别与级延时，再分别与ak相乘，相乘，再向上逐一相加，组成一再向上逐一相加，组成一个个N节的延时网络节的延时网络；最后将两个最后将两个和式相加，和式相加，就得到最后就得到最后的输出的输出y(n) 运算结构：运算结构：，由于结果中包含了输出的延时部分，因此它是一个，由于结果中包含了输出的延时部分，因此它是一个有有反馈反馈的网络，称之为的网络，称之为直接直接I I型型结构。结构。从信号流图可以看出，在计算下一个输出时，每个存储从信号流图可以看出，在计算下一个输出时，每个存储器的延时变量都要逐一变换，器的延时变量都要逐一变换，x(

14、n-M)换成换成x(n-M+1)，x(n-M+1)换成换成x(n-M+2 2)等等，反馈网络中各存储单元的变量等等，反馈网络中各存储单元的变量也做同样的代换，因此，直接也做同样的代换，因此，直接I I型滤波器共需要型滤波器共需要M+ +N个存个存储单元。储单元。 直接直接II型：系统函数：系统函数：NkkkMkkkzazbzH101)(MkkkzbzH01)(NkkkzazH1211)()()()(12zHzHzH令：令：则：则：)()()(122nxknyanyNkkMkkknybny02)()(y2(n)是与是与H2(z)对应的中间序列，对应的中间序列，对于对于式，可以由差分式，可以由差分

15、方程和系统函数的对应关系直接得到方程和系统函数的对应关系直接得到 这个系统后，输出为：作为输入，经过以MkkkzbzHny01)()(这个系统后，输出为经过NkkkzazHnx1111)()(信号通过信号通过 这样一个系这样一个系统时相当于先通过统时相当于先通过h2(n)，再通过，再通过h1(n)，这是时域的表现形，这是时域的表现形式，写成系统函数形式：式，写成系统函数形式：对于对于式，式，可以从可以从LTILTI系统的特性考虑：结合律，系统的特性考虑：结合律，)(*)(*)()(*)(*)(1212nhnhnxnhnhnx)()()()(2)(11nyzHzHnxny)()()()(1)(2

16、2nyzHzHnxny Mkkknybny02)()(对于直接对于直接型，型，)()()(122nxknyanyNkk)()()(122nxknyanyNkk信号流图：信号流图：y(n)z-1z-1z-1 bM-1 b0 b1 b2 bMx(n) a1 a2 aN-1 aNz-1z-1z-1y2(n)Mkkknybny02)()( bM-1 x(n)y(n) b0 b1 b2 bM a1 a2 aN-1 aNz-1z-1z-1y2(n)z-1同时向右同时向右与与bk相乘，相乘，逐一向上逐一向上相加相加y2(n)沿中间的延时沿中间的延时链向下传输的过程链向下传输的过程中逐级延时，每延中逐级延时，

17、每延时一级向左与时一级向左与ak相相乘，再逐一向上累乘，再逐一向上累加，再与加，再与x(n)相加；相加；结结果果就就是是y(n)运算结构：运算结构：在下一个在下一个y2(n)向下传输之前，延时链中向下传输之前，延时链中N个存储个存储单元必须重新更换，再重复上述过程，因此直接单元必须重新更换，再重复上述过程，因此直接型结构只需型结构只需N个存储单元个存储单元。还可以从还可以从另外一个角度另外一个角度考虑，由直接考虑，由直接型得到直型得到直接接型结构，将直接型结构，将直接型的两组存储单元级联次型的两组存储单元级联次序互换再合并成一组。序互换再合并成一组。 这是实现这是实现N阶滤波器所需的最少延时单

18、元，所以阶滤波器所需的最少延时单元，所以又称又称典范型典范型。 比较：比较：I型型II型型 虽然直接虽然直接型所需的存储单元比直接型所需的存储单元比直接I I型型少，但它们共同的缺点是系数少，但它们共同的缺点是系数ak、bk与系统函与系统函数的零、极点关系不明显，所以对滤波器的数的零、极点关系不明显，所以对滤波器的性能控制作用不明显，调整起来比较困难。性能控制作用不明显，调整起来比较困难。 此外，直接型结构的极点对系数的变化此外，直接型结构的极点对系数的变化又过于敏感，因此系统的频率响应对系数的又过于敏感，因此系统的频率响应对系数的变化也很敏感，所以造成系统的变化也很敏感，所以造成系统的不稳定

19、不稳定及产及产生较大的误差，尤其当阶数生较大的误差，尤其当阶数N很大时，误差很大时，误差就更明显，因此要选用其它的结构。就更明显，因此要选用其它的结构。 把系统函数按零、极点因式分解因式分解 (M1+2M2=N，N1+N2=N )11211121)1 ()1 ()()1 (1)(2211122110110NkNkMkMkzzzpzbzbbzqAzazbzHkkkkkkkNkkkNkkk分子、分母中的一阶因式表示实根，qk为实零点实零点、pk为实极点实极点，二阶因式对应于系统的复共轭零、极点复共轭零、极点 把上式表示成M个实系数二阶基本节二阶基本节的形式： MkMkkkkkkkzHAzzzbzb

20、bAzH11221122110)(1)(Hk(z)为滤波器二阶基本节 x(n) h1(n) b01 h2(n) b02 hM(n) b0M y(n) A z-1 z-1 z-1 a11 b11 a12 b12 a1M b1M z-1 z-1 z-1 a21 b21 a22 b22 a2M b2M一系列二阶基本节的级联，每个基本节可以用直接一系列二阶基本节的级联，每个基本节可以用直接型结构实现型结构实现,这样所需的存储器（单位延迟器）的数目这样所需的存储器（单位延迟器）的数目可以减到最少：每一节只需可以减到最少：每一节只需2个，共个，共M节，共节，共2M个个。 在这种结构中，我们可以以不同的方式

21、将零、极点组合（因在这种结构中，我们可以以不同的方式将零、极点组合（因为为H(z)是由因子相乘得到），并按不同的方式将分子、分母的是由因子相乘得到），并按不同的方式将分子、分母的二阶因式组合，得到一系列的二阶基本节，每个二阶基本节的二阶因式组合，得到一系列的二阶基本节，每个二阶基本节的排列次序也可以不同，因此，排列次序也可以不同，因此，理论上理论上可以得到很多等效的系统可以得到很多等效的系统结构；但由于有限字长的误差影响，每个系统的性能是不一样结构；但由于有限字长的误差影响，每个系统的性能是不一样的，所以，在设计滤波器时，就存在的，所以，在设计滤波器时，就存在最优化最优化的问题。的问题。 由于

22、各零、极点是整个系统的零、极点，所以级联结构的由于各零、极点是整个系统的零、极点，所以级联结构的特点是调整系数特点是调整系数a1 1k、a2 2k、b0 0k、b1 1k、b2 2k只影响第只影响第k级零、极点，级零、极点，而不影响其它级的零、极点，所以可而不影响其它级的零、极点，所以可单独控制单独控制滤波器的各零、滤波器的各零、极点分布，这样对滤波器的性能调整很方便，也便于调整滤波极点分布，这样对滤波器的性能调整很方便，也便于调整滤波器的频率响应特性。器的频率响应特性。 表示若干一阶和二阶基本节网络与一个常数表示若干一阶和二阶基本节网络与一个常数B0之和，之和，M1+2 2M2=N 三、并联

23、型：三、并联型：将传输函数将传输函数H(z)展开为部分分式的形式展开为部分分式的形式，就得到并联型，就得到并联型的的IIR DFIIR DF的基本结构的基本结构： 121122111101011)(MkMkkkkkkkZaZaZbbZpBBZHMkkkkkZaZaZbbBZH1221111001)(统一表示成二阶基本节的形式：统一表示成二阶基本节的形式： x(n)a11Z-1B0b01y(n)y1(n)b11Z-1a21a1MZ-1yM(n)b1MZ-1a2Mb0M其中的二阶基本节网络也是用其中的二阶基本节网络也是用直接直接型型结构实现，并联型结构实现，并联型可以用调整可以用调整a1 1k、a

24、2 2k的方法来调整极点的位置，但不能像级联的方法来调整极点的位置，但不能像级联型那样单独调整零点的位置，因为并联型结构中每一基本节型那样单独调整零点的位置，因为并联型结构中每一基本节的极点是整个系统的极点，但二阶基本节的零点并不是整个的极点是整个系统的极点，但二阶基本节的零点并不是整个系统的零点；系统的零点；因此要准确传输零点零点时，应采用级联级联型结构，并联并联型结构中，各并联基本节的误差互相没有影响，所以误差误差比级联型的稍小稍小。 总结：总结：熟悉系统函数和信号流图的对应关系熟悉系统函数和信号流图的对应关系（零、极点，传输系数）（零、极点，传输系数） 结论：结论：同一系统函数可以用不同

25、的结构实现，同一系统函数可以用不同的结构实现，具体选择哪一种主要看系数具体选择哪一种主要看系数ak、bk对频响特性对频响特性H(ej )的影响。的影响。 作业：习题作业：习题5.1(a),5.3akbk直接型直接型的两种结构由差分方程和系统函数最常见的表达式直接得到，传输系数对应表达式中的系数，对应的系统函数是一个整体的单一的分式形式直接型直接型I型型II型型akbk ( )( )级联型级联型级联型：级联型：系统函数H(z)是几个分式的乘积乘积的形式每个分式中的分子分母如果写成多项式的形式，则多项式的系数即为传输系数，如果写成( )( )几个一阶因式乘积的形式，则是零极点，展开成多项式后，才是传输系数。并联型：并联型：系统函数H(z)是几个分式的和的形式每个分式对应一个基本节，分式中分子、分母多项式的系数是对应的基本节的传输系数并联型并