连续函数的概念PPT学习教案

1、会计学1连续函数的概念连续函数的概念定义10( ),f xx设设函函数数在在点点的的某某邻邻域域内内有有定定义义 且且),()(lim00 xfxfxx)1(由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续00( )().f xxf x仅存在,而且其值恰为在点的函数值仅存在,而且其值恰为在点的函数值性的，换句话说连续就是指0( )f xx在点的极限不在点的极限不0( ).f xx则则称称在在点点连连续续第1页/共22页).0(0sgnlim0fxxx xxysgn 例如：处连续，处连续，在在0sgn)( xxxxf这是因为xyO第2页/共22页0,x 在在处处不不连连续续 这这是是因因为为).0(0

2、)(lim0fxfx 又如：函数,0( )(0),0 xxf xaax axyO第3页/共22页极限xxsgnlim0.不存在不存在由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,)2(.)()(0e e xfxf( )sgn0,f xxx 函函数数在在点点处处不不连连续续这是因为00(2),0 xxxx 注注意意到到式式在在时时恒恒成成立立 因因此此存在 0, 00|,xx 当当时时 有有这样就得到函数 f (x) 在点x0可改写为0 xx ，.ee 连续的定义连续的定义第4页/共22页,)()(0e e xfxf0( ).f xx则则称称在在点点连连续续连续性的另外一种表达形式.定义20

3、( ).f xx设设在在点点的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义如果0,x为为了了更更好好地地刻刻画画函函数数在在点点的的连连续续性性 下下面面引引出出,0 xxx 设设).()()()(0000 xfxxfxfxfyyy 对任意的存在 当时0,e e 0, 0,xx 第5页/共22页0:x则则函函数数在在点点连连续续的的充充要要条条件件是是)3(. 0lim0 yx应的函数(在 y0 处)的增量0(),xxy这这里里我我们们称称是是自自变变量量 在在处处 的的增增量量为为相相第6页/共22页为狄里克雷函数.证所所以以因因为为, 0lim, 1)(, 0)0(0 xxDfx).0(0)(lim

4、)(lim00fxxDxfxx ( )0.f xx 故故在在处处连连续续注意:上述极限式决不能写成. 0)(limlim)(lim000 xDxxxDxxx例1( )( )0,f xxD xx证证明明在在处处连连续续 其其中中( )D x第7页/共22页由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0类似于左、右极限，我们引进左、右连续的概念.要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说,有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点第8页/共22页定义300( )()f xxUx 设设函函

5、数数在在点点的的某某个个右右邻邻域域),()(lim()()(lim0000 xfxfxfxfxxxx 0( )().f xx则则称称在在点点右右 左左 连连续续很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续.点x定理4.10( )f xx函函数数在在点点连连续续的的充充要要条条件件是是：f 在)(0 xU 左邻域左邻域有定义，若的定义可得：第9页/共22页例2 讨论函数,0( ),0 xxf xxax 0.x 在处的连续性在处的连续性解 因为.0)(处左连续处左连续在在所以所以 xxf又因为又因为,)(lim)(lim00aaxxfxx),0(0lim)(lim00f

6、xxfxx 0 aaxyxyoxy 0 aaxy0 aaxy点击上图动画演示第10页/共22页0,( )0af xx当当时时在在处处连连续续；综上所述,0,( )0af xx当时在处不是右连续的；当时在处不是右连续的；所以,0a 当当时时，0.x 在在处处是是右右连连续续的的0.x 在在处处不不连连续续0a 当当时时，第11页/共22页定义400()()fxUx设设函函数数在在的的某某 空空心心 邻邻域域内内有有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:或不连续点.在该点不连续,那么

7、称点 x0 为函数的一个间断点第12页/共22页00(i);fxx在在点点无无定定义义或或者者在在点点的的极极限限不不存存在在等于f (x0).0(ii),fx在在点点有有定定义义且且极极限限存存在在 但但极极限限值值却却不不根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：1. 可去间断点: 若0lim( ),xxf xA 存存在在0 xf 在点在点而而0,(),f xA 无定义 或者有定义但无定义 或者有定义但0 xf则则称称是是的的一个可去间断点.第13页/共22页跳跃间断点：若跳跃间断点：若. 2,)(lim0Axfxx 0lim( )xxf xB 0 xf则则称称点点为为的的一一个个跳跳跃

8、跃间间断断,AB 都存在 但都存在 但0.xf则则称称点点是是的的一一个个第第二二类类间间断断点点注 x0 是 f (x) 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是点, 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断3.若 f 在点 x0 的左、右极限至少有一个不存在, 点.否有定义无关.第14页/共22页证因为)0(1)(lim0fxfx 0( )xf x 是是的的.一个可去间断点一个可去间断点例3处不连续，处不连续，在在0 x 0001)(xxxf试证函数试证函数所以并且是 的一个可去间断点.0 x ( )f x1xyO第15页/共22页00()( ).Ag xxF x 在在时时，恒恒为为的的一一个

9、个可可去去间间断断点点那么函数那么函数注0( ) ,g xxx 对对于于任任意意函函数数若若它它在在处处连连续续，1. 00,),()(xxAxxxgxF第16页/共22页0( )f xx义义在在点点的的值值为为),(lim0 xfxx那那么么它它就就在在点点例4 讨论函数1/10,e1( )0,0,xxf xx 在 x 0 处是否连续？若不连续，则是什么类型的2.若点x0是 的可去间断点,那么只要重新定( )f x x0 连续.间断点？第17页/共22页10011lim( )limlim0(0),e1e1yyxxxf xf 所以 f (x) 在 x 0处右连续而不左连续,从而不10011li

10、m( )limlim1(0),e1e1yyxxxf xf 解因为断点是跳跃间断点.连续. 既然它的左、右极限都存在，那么这个间第18页/共22页例510( )sinxf xx 试试问问是是函函数数的的哪哪一一类类间间断断解 因为由归结原理可知，xxxx1sinlim1sinlim00 与与均不存在，0( ).xf x 所以是的一个第二类间断点所以是的一个第二类间断点点？第19页/共22页若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I)(,为为正正整整数数nxycyn xysin 例如, 以及21xy 都是R上的连续函数；而函数是区间1,1 xx-1,1上的连续函数,在处的连续分别指右连续和左连续.数在该点连续是指相应的左连续或右连续.上的连续函数.对于闭区间或半闭区间的