连续函数的运算与性质PPT学习教案

1、会计学1连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质2021-12-13函数与极限2/26定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xxxxxxcsc,sec,cot,tan故故.在在其其定定义义域域内内连连续续第1页/共26页2021-12-13函数与极限3/26定理定理2 2例如例如,上单调增加且连续，上单调增加且连续，在在2,2sin xy，上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故1 , 1arcsin xy上

2、上单单调调减减少少且且连连续续，在在同同理理1 , 1arccos xy上单调且连续。上单调且连续。在在,cot,arctan xarcyxy .),(|)()(1（或单调减少）且连续（或单调减少）且连续上单调增加上单调增加对应的区间对应的区间也在也在的反函数的反函数减少）且连续，那么它减少）且连续，那么它上单调增加（或单调上单调增加（或单调在区间在区间如果函数如果函数xyxIxxfyyIyfxIxfy 第2页/共26页2021-12-13函数与极限4/26定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000000 xgfufxgfuufuxgxxxxxx 则有则有连续连续在点在点

3、函数函数若若证证,)(0连续连续在点在点uuuf .)()(, 0, 000成立成立恒有恒有时时使当使当 ufufuu,)(lim00uxgxx 又又,0, 0, 00时时使当使当对于对于 xx反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第3页/共26页2021-12-13函数与极限5/26.)(00成成立立恒恒有有 uuuxg将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使当使当 xx)()()()(00ufufufxgf .成立成立 )()(lim00ufxgfxx ).(lim0 xgfxx 第4页/共26页2021-12-13函数与极限6/26意义意义1.极限符号可

4、以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xgu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解0)1ln( xxx第5页/共26页2021-12-13函数与极限7/26例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 01 xxex0ln1 xaxax第6页/共26页2021-12-13函数与极

5、限8/26.)(,)()(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxgfyuuufyuxgxxxgu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy第7页/共26页2021-12-13函数与极限9/26三角函数及反三角函数在它们的定义域内三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的是连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且

6、连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内内单单调调且且连连续续在在 第8页/共26页2021-12-13函数与极限10/26定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间. .第9页/共26页2021-12-13函数与极限11/26

7、 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意1 注意注意2 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第10页/共26页2021-12-13函数与极限12/26例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解

8、解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx第11页/共26页2021-12-13函数与极限13/26定义定义.)()()()()()()(,),(值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI0000 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在. 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0

9、上上在在 ; 0min y, 1max y 函数在闭区间上连续的定义函数在闭区间上连续的定义.第12页/共26页2021-12-13函数与极限14/26定理定理7 7( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数 在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最 小值小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若第13页/共26页2021-12-13函数与极限15/26xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 注意注意: :1.若区间

10、是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立. 第14页/共26页2021-12-13函数与极限16/26定义定义.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx .),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf 第15页/共26页2021-12-13函数与极限17/26ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定理定理 9(9

11、(介值定理介值定理) )设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf )( 及及 Bbf )(, , 那那么么，对于，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数 C，在开区间在开区间 ba, 内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 Cf )( )(ba . . xyo)(xfy 第16页/共26页2021-12-13函数与极限18/26几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb

12、)()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点与水平直线与水平直线连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 第17页/共26页2021-12-13函数与极限19/26推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例5 5.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 0

13、2)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm第18页/共26页2021-12-13函数与极限20/26例例6 6.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第19页/共26页2021-12-13函数与极限21/261.连

14、续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立 2.四个定理四个定理第20页/共26页2021-12-13函数与极限22/26思考思考题题2.下下述述命命题题是是否否正正确确？

15、如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(ba内内必必有有零零点点. 1.设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试试研研究究复复合合函函数数)(xgf与与)(xfg的的连连续续性性. 第21页/共26页2021-12-13函数与极限23/26思考题解答思考题解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上处处处处连连续续)(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上处处处处连连续续)(xfg0 x是它的可去间断点是它的可去间断点1,0( )0,01,0 xf xxx 1.第22页/共26页2021-12-13函数与极限24/26不正确不正确.例函数例函数 0, 210,)(xxexf)(xf在在)1 , 0(内连续内连续,. 02)1()0( ef但但)(xf在在)1 , 0(内内无无零零点点. 2.第23页/共26页2021-12-13函