量子力学的五大公设PPT学习教案

1、会计学1量子力学的五大公设量子力学的五大公设二.量子运动方程公设薛定谔方程22( , )( , ) ( , )2ir tV r tr ttm 薛定谔方程注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位等同于牛顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。 22( ) ( )( )2V rrEr 定态薛定谔方程定态含义作用在粒子上的势场是不随时间改变的。( , )( )iEtr tr e定态波函数 第1页/共23页（1）、在定态中，几率密度和几率流密度不随时间改变； 定态的性质： （2）、任何不显含t的力学量平均值与t 无关； （3）、任何不显

2、含t的力学量的测量概率分布也不随时间改变。 第2页/共23页三.算符公设。任意可观测的力学量，都可以用相应的线性厄米算符来表示。22nnAaAaA d在 态中测量力学量A2na四. 量子测量公设(平均值公设) ，将体系的状态波函数 用算符A的本征函数 （ ）展开 nnnnAAAAnnaad得到结果为 的几率是 测得结果在的几率 求A的平均值nAd2ad五.全同性原理公设（以后再学）第3页/共23页 若1，2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加= C11 + C22 + .+ Cnn + . (其中 C1 , C2 , . ,Cn ,.为复常数) 也是体系的一个可能状态

3、。 处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于2态,部分的处于n,. 第4页/共23页 （4）、通过归一化确定归一化系数Cn 2( )1nnCrd求解定态问题的具体步骤如下： （1）、列出定态Schrdinger方程 22( ) ( )( )2V rrErm （3）、根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得： 本征值： E1，E2，En， 本征函数： 1，2，n， （2）、求解S方程,写出通解 第5页/共23页对应于一个能量本征值，有两个本征态(p=0)除外，因此其能级是二重简并的。 12xxip xpxe22pHm22xpEm哈密顿量波函数能量第6页/共23页二.一维无限深势阱哈密顿量

4、0, 0, 2sin, 0nxxanxxaaa2222, 1,2,2nnEnma2222 0, 0 0dHm dxxxaxa 本征波函数本征能量第7页/共23页三、一维线性谐振子 线性谐振子的 Hamilton量： 222122pHmxm22222122dmxm dx 212( )nnnA He2 2/2()xnnA Hx e, x归一化系数1/22!nnAn1()2nEn, 2 , 1 , 0n本征波函数本征能量第8页/共23页厄密多项式的递推关系： 12( )nndHnHd11220nnnHHnH基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)的递推关系： 1111( )( )( )22

5、nnnnnxxxx已知H0 = 1, H1=2H2 = 2H1-2nH0= 42-2111( )( )( )22nnndnnxxxdx第9页/共23页四. 平面转子的能量本征值与本征态平面转子的哈密顿算符为：222222zlHII zli 平面转子的哈密顿算符本征值：相应的本征函数：2202mmEI 1( ), 0, 1, 2,2immem 对应于一个能量本征值，有两个本征态(m=0)除外，因此其能级是二重简并的。第10页/共23页五. 空间刚性转子的能量本征值与本征函数空间转子的哈密顿算符为：22lHI空间刚性转子能量本征值： 2(1)2ll lEI 能级是(2l+1)度简并的。 相应的波函

6、数为： ( , )lmY 0,1,2,;l 0, 1,ml 第11页/共23页例1：证明，在 本征态Ylm下， zl0 xyll证法一： , yzxl li l2222()()4yzxlll 由于在 本征态Ylm中，测量力学量lz有确定值， zl2()0zl222()04yxll2204xl欲保证不等式成立，必有： 0 xl 同理： 0yl 利用测不准关系第12页/共23页法二： , yzxl li l 1 , xyzll li1 ()y zz yl ll li*1 ()xlmy zz ylmlYl ll l Y di*11 lm y zlmlm z ylmY l l Y dY l l Y d

7、ii*11 ()()lm yzlmzlmylmY l l Ydl Yl Y dii*11lm ylmlm ylmmY l Y dmY l Y diiyymmllii0同理： 0yl 利用求平均值的方法第13页/共23页例2： 共同本征态Ylm下，求测不准关系：2,zll22()()?xyll 解： 222()xxxlll 222()yyylll由例1可知： 0 xyll2*2xlm xlmlY l Y d , xyzi ll l y zz yl ll l等式两边右乘 xl2 xy z xz y xi ll l ll l l ()yx zyz y xl l li ll l l2 y x zyz

8、y xl l li ll l l第14页/共23页22 xy x zyz y xi ll l li ll l l将上式两边在Ylm态下求平均：*2*2* lm xlmlm y x zlmlm ylmlm z y xlmiY l Y dY l l l Y diY l Y dY l l l Y d 2*2* ()xlm y xlmyzlmy xlmi lmY l l Y di ll Yl l Y d *2* lm y xlmylm y xlmmY l l Y di lmY l l Y d2yi l 22xyll2222xyzllll2222xyzllll将上式两边在Ylm 态下求平均：*22*22

9、()()lmxylmlmzlmYllY dYllY d 222* (1)lmlml lmY Y d222(1)l lm第15页/共23页*22222()(1)lmxylmYllY dl lm 22222(1)xylll lm22xyll22221 (1)2xylll lm则测不准关系： 222()xxxlll2yl 222()yyylll2yl 2222()()xyxyllll 2 241 (1)4l lm第16页/共23页例3：一电荷为e的一维线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿正x方向,其势场为： 221( )2V xmxe x求能量本征值和本征函数。 解： 定态Schrdinger方程：

10、Exexdxd)21(222222)2()(212222222222eEexdxd2exx2222eEE令第17页/共23页21222222Exdxd2221) () (, 2 , 1 , 0,)21(xnnnnexHNxnnE所求的解为： 222)(2122222)()(,2, 1 ,0,2)21(exnnnneexHNexnenE第18页/共23页例4 若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为 n，求： （1）距势阱内左壁 宽度内发现粒子的几率； （2）n取何值时，在此区域内找到粒子的几率最 大？ （3）当 时，这个几率的极限是多少？这个 结果与经典情况比较，说明了什么问题？例5 一约束在平面上沿一定半径绕 z轴（垂直平面） 转动的平面子，处于 态中，试确定在 此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几 率，并求平均值。 14n 2cosA 第19页/共23页2222, 1, 2,20, 0, 2sin, 0nnnEnm axxanxxaaa例4. 解：一维无限深势阱本征值和本征函数 442002sinaannnxxxdxaa距势阱内左壁1/4宽度内发现粒子的几率11sin422nn当 取最大值3n 1146当n趋于无穷时此值为1/4说明粒子均匀分布于势阱内和经典结果一致。第20页/共23页例5. 解：平面刚性转子体系