关于“二次型”的教学体会

1、关于关于“二次型二次型”的教学体会的教学体会厦门大学数学科学学院厦门大学数学科学学院 杜妮杜妮20102010年年4 4月于三明学院月于三明学院一一. . 1 1、二次型与相伴矩阵、二次型与相伴矩阵 nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaaxx ax111211212222121212(,) 定义定义这里这里a= =aknn, ,xkn1. .a称为称为f 的的相伴矩阵相伴矩阵. 数域数域k上上n元二次型元二次型 数域数域k上上n阶对称矩阵阶对称矩阵.注注 特别强调相伴矩阵写法的唯一性特别强调相伴矩阵写法的唯一性.1:12 2、惯性定理、惯性定理 122222111122221

2、 111(,)npppprrkkkkrrf xxxc yc ycyc yd zd zdzd z惯性定理惯性定理: : f (x1,xn)是是r上上n元二次型元二次型, 在在 非退化线性替换非退化线性替换x = cy, x = dz下下, 其中其中 则必有则必有p = k.0,0,1.iicdir注注： 此处强调通过此处强调通过非退化非退化的线性替换，联系习题的线性替换，联系习题：设实二次型设实二次型其中其中 证明证明 f 的正惯性指数的正惯性指数pk.22221211(,).,nkkk sf xxxyyyy1,(1).niijjjya xiks 3 3、正定矩阵的等价说法、正定矩阵的等价说法

3、定理定理: a =arnn, 则下列条件等价则下列条件等价: (1) a是正定阵是正定阵. (2) 对任意对任意0xrn1 , 有有xax 0. (3) 存在可逆阵存在可逆阵prnn, 使得使得pap = in. (4) 存在可逆阵存在可逆阵prnn, 使得使得a = pp. (5) a的正惯性指数的正惯性指数p = n. (6) a的所有主子式的所有主子式 0. (7) a的所有顺序主子式的所有顺序主子式 0. (8) a的所有特征值的所有特征值 0. (注明第九章中证明注明第九章中证明) 注：注：此处配合举例说明，使学生灵活掌握等价条件此处配合举例说明，使学生灵活掌握等价条件.定理定理:

4、设设a=arnn, a为半正定矩阵为半正定矩阵 a的所有的所有主子式主子式 0 .注注: 此处此处“主子式主子式”不能改为不能改为“顺序主子顺序主子式式”.强调与半正定矩阵判定条件的对比强调与半正定矩阵判定条件的对比 设设 f (x1,xn) = xax是是k上上n元二次型元二次型, 作作非退非退化化线性替换线性替换x=cy, 其中其中c是是k上的上的n阶可逆阵阶可逆阵, 则则f ( x1,xn ) = ycacy = g( y1,yn ).定义定义: a , bknn , b与与 a称为称为合同合同的的,如果存如果存在在n阶可逆阵阶可逆阵c, 使使b = cac.例例: 复数域上任一复数域上

5、任一n阶对称方阵阶对称方阵a, 必存在必存在n阶方阶方阵矩阵阵矩阵t, 使得使得a=tt且且r (t) = r (a).例例:设设 f 是实二次型是实二次型, 其相伴矩阵为其相伴矩阵为a, 若若|a|0, 证明证明: 必存在一组实数必存在一组实数 , 使使12,na aa12(,)0.nf a aa 例例:设设a是反对称阵是反对称阵, 即即a= -acnn, 则则a必合必合同于同于010100ss, s. 例例: 若若a是实反对称阵是实反对称阵, 则则a的行列式总是非负的行列式总是非负实数实数. 例例: 元素全是整数的反对称矩阵的行列式一元素全是整数的反对称矩阵的行列式一定是某个整数的平方定是

6、某个整数的平方. 定理定理:设设 是是n维欧氏空间维欧氏空间v上对称算子上对称算子, 则存在则存在v的的一组标准正交基一组标准正交基, 使使 在这组基下的矩阵是对角阵在这组基下的矩阵是对角阵.利用同构的思想，得到利用同构的思想，得到定理定理:设设a= arnn, 则存在正交阵则存在正交阵t, t-1at=tat为对角阵为对角阵, 且对角线元素为且对角线元素为a的特征值的特征值.定理定理:设设 是是n元实二次型元实二次型, 是是a的所有特征值的所有特征值, 则必存在则必存在正交线正交线性替换性替换 为正交阵为正交阵, 使使 f 的正惯性指数等于的正惯性指数等于a的正特征值个数的正特征值个数, f

7、 的负惯性指数等于的负惯性指数等于a的负特征值个数的负特征值个数, f 的秩等于的秩等于a的非零特征值的个数的非零特征值的个数.22211122(,)nnnf xxyyy1(,)nf xxx ax 1,n,xty t 例例: 设设a是是n阶实对称矩阵，阶实对称矩阵， 是是其所有特征值其所有特征值, 则对任意则对任意 , 都有都有例例:设设a,b是是n阶实对称矩阵，其特征值分别是阶实对称矩阵，其特征值分别是 则则a+b的特征值全落在的特征值全落在 中中.12.n12.n1rn 1.na 12.n11,nn 例例 设设a是是n阶正定阵，阶正定阵，b是是同同阶实对称矩阵，则必阶实对称矩阵，则必存在可逆矩阵存在可逆矩阵c，使得，使得其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.例例 设设a是是n阶正定阵，阶正定阵，b是是同同阶实对称矩阵，若阶实对称矩阵，若ab是实对称阵，则是实对称阵，则ab是正定阵的充要条件是是正定阵的充要条件是b的特征值全是大于零的实数的特征值全是大于零的实数.12,nnc acic bcdiag i 1a b 例例: 证明证明: n维欧氏空间维欧氏空间v的自伴随算子的自伴随算子 有有公共由它们的特征向量组成的标准正交基的充公共由它们的特征向量组成的标准正交基的充分必要条件是分必要条件是