环境水力学ch2-2

1、环境水力学环境水力学 Environmental Hydraulics环境工程教研室 郑天柱回顾回顾一、瞬时源一、瞬时源1、集中源、集中源2、分布源、分布源一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散DtxeDtSMtxc424),(延伸分布源延伸分布源有限分布源有限分布源注意点：公式中的注意点：公式中的 x x应理解为应理解为计算点计算点P P距排放点距排放点的距离的距离；t t 应理解为应理解为距某一指定时刻的时段长距某一指定时刻的时段长。第三节第三节 若干定解条件下一维扩散方程的解若干定解条件下一维扩散方程的解建立坐标系建立坐标系, ,一维扩散方程为：一维扩散方程为：xtxcDtc,

2、 0,220,0, 00)0 ,(xcxxcxO 由于左边的红色染液是无限延伸的，所以染液只会沿x 方向扩散。误差函数误差函数dtezerfzt022)(性质：a)奇函数 b)()(zerfzerf1)(, 0)0(erferf余误差函数定义为余误差函数定义为dtezerfczt22)()(1zerf利用瞬时集中源一维分子扩散的结论求解。 在右端在右端x0的的浓度场，浓度场，可看成是各个可看成是各个d微元引微元引导的分浓度场的叠加。导的分浓度场的叠加。Odx-c0源分解，再叠加源分解，再叠加OxcPxOdx-c0 对于对于点而言，该点的实际浓度点而言，该点的实际浓度值是所有各个值是所有各个d扩

3、散至这一点的浓扩散至这一点的浓度之和。度之和。ODtxeDtScSddc4)(024deDtcdctxcDtx4)(0024),(单个单个d微元引导的浓度为：微元引导的浓度为：POdc0-xO积分求解：积分求解：-变量代换变量代换取则Dtxu4duectxcuDtx240),()4(120Dtxerfc)4(20Dtxerfcc浓度分布浓度分布cc0 xoc0/2扩散至t 时刻浓度初始浓度一维延伸源扩散演示)4(2),(0Dtxerfcctxc例题例题3：OC02=8 mg/LC01=10 mg/Lt=0 x例例3答案答案Lmgtxc/8),(02)/)(1024(2810)4(2),(502

4、010201LmgtxerfcDtxerfccctxc),(),(),(020102txctxctxc其中：2) 一维初始有限分布源一维初始有限分布源Odxc0zhh一维初始有限分布源浓度分布一维初始有限分布源浓度分布OdXc0zh hc设坐标原点在源的中间，则定解问题为：0,0, 00,0,022thxthxcthxhcctxcDtc解法（解法（1） 类似地，可通过变量代换求解，请同学们课后练习。DtxeDtScSddc4)(024deDtctxcDtxhh4)(024),(源分解，再叠加源分解，再叠加解法（解法（2）两个延伸分布源相减：两个延伸分布源相减：),(),(),(21txctxc

5、txc)4(12),(01Dthxerfctxc)4(12),(02Dthxerfctxc)4()4(2),(0DthxerfDthxerfctxc所以：所以：其中：讨论：讨论：)4()4(2),(0DthxerfDthxerfctxca)分布曲线关于分布曲线关于x=0 对称，且随着对称，且随着t 的增大，浓度分的增大，浓度分布渐趋平坦；布渐趋平坦； 设想用一张平面在设想用一张平面在x=0点把它们截开分为两半，点把它们截开分为两半，显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是显然不影响浓度分布。这种情况可用来表示一端是固壁的有限分布源的扩散。固壁的有限分布源的扩散。b)t0, |x|h, c=

6、c0；|x|h, c=0；满足初始条件。满足初始条件。二、时间连续源二、时间连续源1、一维扩散时间连续源、一维扩散时间连续源Oxc0 建立坐标系。建立坐标系。扩散方程为扩散方程为：xtxcDtc, 0,220, 0,0, 00),(txctxtxc0, 0, 0),(txtxc边界条件：求解方法之一：求解方法之一：)()(),(00fCDtxfCtxCDtxC0为恒定时间连续源的投放浓度。其中，无量纲变量tfCtC0tttDxt21)1(ftCtC20ddftC20 xfCxC0Dtx12200221)()(fDtCxxfCxCxxC2201dfdDtC22xcDtc0)12(220dfdtd

7、dftC0222ddfdfd0,; 1,0fxfx 经过变换，把扩散方程变成了经过变换，把扩散方程变成了常微分方程常微分方程，求解，求解该方程，满足边界条件该方程，满足边界条件2202121)exp(2)()4exp(AdAfAddf1121AA410DtxerfCC0,; 1, 0fxfx1、一维扩散时间连续源、一维扩散时间连续源Oxc0 建立坐标系。建立坐标系。扩散方程为扩散方程为：xtxcDtc, 0,220,0,0,00),(txctxtxc0, 0, 0),(txtxc边界条件：求解方法之二：求解方法之二：拉普拉斯变换拉普拉斯变换),(),(),(0pxcdtetxctxcLpt 把

8、x当作参变量，作c(x,t) 关于t的拉普拉斯变换。积分变换积分变换bjapdtetfpftfLpt0)()()(Laplace变换的性质： 1、线性运算：)()()()(2112211pfapfatfatfaL其中：apdtetfpftetfptat1)()()0()(0则若20)()()0()(padtetfpftattfpt则若220)()()0(sin)(pdtetfpftttfpt则若1)(1)()0(0)0()(tLdttttt则且若)0()0()0()0()()()()1()2(21)()()()(nnnnnnnnnfpffpfppfpdttfdLdttfd则对)(1)()(00

9、pfpdfLdftt则对pccDcpxdxcd0022),(),(),(0pxcdtetxctxcLpt作变换：变换为xtxcDtc, 0,220, 0,0, 00),(txctxtxcxDpxDpeAeAc21其中，A，A为积分常数。通解为：求积分常数求积分常数xDpeAcAx10，故时，要求当由边界条件，xDpeAcAx210，故时，要求当综合上述，令x 为离原点的距离，则有：pcApccxeAcxxDp010010可得：时，当浓度分布浓度分布4),(),(0011DtxerfccepcLpxcLtxcxDp 表示一维扩散、时间连续源情况下浓度的时空分布。表示一维扩散、时间连续源情况下浓度

10、的时空分布。静水中一维时间连续源扩散演示xDpepcc0若源点投入浓度非恒定若源点投入浓度非恒定 在每个d时间增量中， 处的浓度变化为dc0它引导的浓度分布为：)(40tDxerfcdcdcdOtdtDxerfcctxct)(4),(00若源点给定质量速率若源点给定质量速率dueuDxMtxcuxDt1402124),(dtDxtDMtxct)(4exp)(4)(),(202)(4xtDu这里当恒定时：M浓度分布曲线浓度分布曲线c/c0 xt1t2Ot1t2因因C(-x,t)=C(x,t)，只需考虑只需考虑x正方向即可。正方向即可。一维扩散、一维扩散、时间连续源时间连续源浓度分布浓度分布复习复

11、习瞬时源瞬时源集中源集中源分布源分布源一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散一维分子扩散DtxeDtSMtxc424),(延伸分布源延伸分布源有限分布源有限分布源410DtxerfCC)4()4(2),(0DthxerfDthxerfctxc连续源连续源一维分子扩散一维分子扩散)4(2),(0Dtxerfcctxc以污染源为原点，建立坐标系以污染源为原点，建立坐标系yxP(x,y,z)zm222zyxrO设排污管的排污口为空间设排污管的排污口为空间坐标原点，空间任一点坐标原点，空间任一点的坐标的坐标P P（x,y,zx,y,z) )。P P点至原点点至原点O O的距离是的距离是r r, ,管管道

12、开始排污的时刻为道开始排污的时刻为t t=0,=0,污污染物排放速率为染物排放速率为m(g/s)m(g/s). .微分方程为：微分方程为：)(222222zcycxcDtc式中：为分子扩散系数，m=常数。初始及边界条件：0, 0,0, 0, 00),(txctxtxc0, 0)0 ,(xxc三维扩散时间连续源的解法三维扩散时间连续源的解法引用三维扩散瞬时点源的结果4exp)4(),(2223DtzyxDtMtzyxc瞬时脉冲源引导的浓度分布4exp)4(23DtrDttmddc三维扩散时间连续源的解法三维扩散时间连续源的解法 令单位时间投放的质量为m且恒定不变，若把连续时间t看作许多时间单位dt组成，瞬时脉冲源mdt释放时刻t，讨论时刻是t,源释放至讨论时刻的时间间隔是t-t，所以对空间任意点P，由瞬时点源引起的浓度为：230223230)()(4exp)(8)