2019年浙江省高中数学竞赛试卷

1、2019 年浙江省高中数学竞赛试卷 说明：本试卷分为 A 卷和 B 卷：A 卷由本试卷的 2 2题组成，即 10 道选择题，7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题；B 卷由本试卷的前 20 题组成，即 10 道选 择题，7道填空题和 3 道解答题。 一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号 填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分） 4 丄.4 丄 .2 2 1. 化简三角有理式C0S X Sin6 X Sin 2XC0S 2X的值为（A ） sin x+cos x+2sin xcos x A. 1 B. sinx cosx

2、 C. sin xcosx D. 1+sin xcosx 解答为 A。 分母=（sin2x cos x）（sin4 x cos4x-sin2 xcos2 x） 2sin2 xcos2 x =si nx co s2ixn cos 2. 若 p:（ x2 x 1）、x 3 _0, q : x _ -2，则 p 是q 的（ B ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解答为 B。p 成立二x_-3，所以 P 成立，推不出 q 一定成立。 3. 集合 P=xx R,x+3 + x + 6 =3，则集合 CRP 为（ D ） A. xx 3 B. xx3

3、C. xx 6,或 x 3 D. xx 6,或 x 亏3 解答：Do 画数轴，由绝对值的几何意义可得 -6 乞x-3， P =x 6 兰x 兰一3,CRP =x x v6,或 x a3。 4. 设 a,b 为两个相互垂直的单位向量。已知 缺，OQ=b ，OR=ra +kb. 若厶 PQR 为等边三角形，则 k，r 的取值为（C ） 1 - 3 2 -1药 r : 解答.C. PQ = |QR P,RC:2 解答： x 兀 DO函数f （x）二cos为偶函数，在（0，）上, f （x） =cosx为减函 1 1 而 |oge二|ogeog：e 1 log e 二 即.r2 (k _1)2 = .

4、 (r -1)2 k2 =、2, 解得 r=k= 1 3。 2 5. 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB=、2BB，则 CA 与 GB 所成的角的大 小是(C ) A. 60 B.75 C. 90 D . 105 解答：C。建立空间直角坐标系，以 A1B1所在的直线为x轴，在平面AIB1C1 上垂直于AIB1 的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴。则A1G，2,0,0), C1-2 A6,0), C2 A6,1), 2 2 2 2 6. 设 a?，分别为等差数列与等比数列，且 ai J =4,a 厂 b4 =1，贝 U 以 下结论正确的是（ A ） A. a2 b2 B. a3 ：

5、b3 C. a5 b5 D. a6 b6 解答：AO 设等差数列的公差为 d，等比数列公比为 q,由 ai =bi =4,a4 =b4 =1，得 d=-1,q= - 2 3厂 32 編 =2,b3 =4; a5 = 0,b5 ; a -1,b6 : 2 4 7. 若 R ,则（2x）15的二项式展开式中系数最大的项为（ D ） A.第 8 项 B.第 9 项 C.第 8 项和第 9 项 D.第 11 项 29 32 解答：D. Tr Cis2r,由 Tr Tr 1，T乞 Tri r ，r=10，第 11 项最大。 3 3 x 111 设 f(x)二 cos：， a f (log e ),b =

6、 f (log),c = f (log 1 2)，则下述关系 5 兀 e e兀 B(0,0,1) , CAI 二 6 -/2 ：./6 得 a2 - 3, b2 = 23、2; a3 8. 式正确的是（ D ） A. a b c B. b c a C. cab D. b a c ,log 1 1 二 2log e 1 log 2log e : : 0 ： 5log e 二 5 5 4 9.下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ C ） 解答：C.根据题意，该立体图为圆柱和一个 1/4 的球的组合体 10.设有算法如下： 如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是（ B ） A. 14

7、4 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B （ 1）A=144，B=39，C=27:（ 2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3:（ 4） A=12，B=3，C=0。所以 A=3。 二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空 7 分, 共 49 分） 11. 满足方程 x-2009 - 2、x - 2010 x - 2009、2x - 2010二所有实数解为 2010 乞 2011。 解答 变形得、(x-2010 T)2 .( x -2010 1)2 =2二 0 - . x-2010 乞 1，解得 2010 x 2011。 A. 2n 4兀

8、 3B. C. D. 3 3 4 正视图：半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形 1 侧视图：半径为 1 的1圆 4 俯视图： 半径为 1 的圆 以及高为 1 的矩形 x x 12. x R,函数f （x） =2sin 3cos 的最小正周期为12:. 2 3 x x 解答 2 sin 的周期为 屈 3 c的周期为 6兀，所以函数 fx 的周期为 兀。1 2 2 3 13. 设 P 是圆 x2 y36 上一动点，A 点坐标为 20,0。当 P 在圆上运动时，线 段 PA 的中点 M 的轨迹方程为（x-10）2 y2 =9. 解答 设 M 的坐标为（x, y），设 P 点坐标为（x0, y0）,

9、则有 x =沧?20, - 2 2 =xo =2x-20,y =2y，因为 P 点在圆上，所以（2x-20） （2y） =36所以 P 点轨迹 为（x-10）2 y2 =9。 14. 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D,使得人。把厶 ABC 分成两个等腰三角 形，试求 ABC 的最小内角的取值范围为 30 x45 或 22.5x30. 解答女口图，（1）AD=AC=BD（2）DC=AC AD=BD B (1) (2) 在 （1） 中， 设最小的角为 x，则 2x90 得 x45 又 x+180-4x30 所以 30 x45； 在（2）中，设最小的角为 x,则 3x90 得 x30

10、又 180-4x22.5 所以 22.5x 1 a k k2 a2 k2 , 1 是 S ABC = ； AB AC 二 2 2a4 k(1 k ) (1 a2k2)(a2 k2) = 2a4 k 1 k 2 2 1 4 . a (k 2) a 1 k2 AC = 1 2a2k 1 + - 进而设 a 是一个正整数，证明: a 2 (n T)n (3n 1)。 4 （注x表示不超过 x 的最大整数） 证明 （1）考虑区域0 ： x _ n,0 : y _ m,且该区域上的格点为 nm 个。又该区域由区域 E:因此当t= - 14 分 月二(a 3)(8a2 3a 一 9) =0= a =3,a

11、 = 3 297 8 16 一 3 297 a T2, “r-（不合题意舍去），a* - 17 分 四、附加题： （本大题共有2小题，每题25分，共50分。） BD 21.设 D,E,F 分别为 ABC 的三边 BC,CA,AB 上的点。记一- = CA= AF AB 证明：SDEF_S ABC。 证明 BD * BF sin B BC BA sin B 由 BFD 二 S.ABC -a (1 - ). - 5 分 同理 S.DEC _ 所以, S.ABC ), S.ABC 10 分 S.DEF _ SABC - S.BFD - S.DEC - SAEF _ S A BC S A BC (1

12、一 )_ 1 (1 _ _ (1 _ J =（1-）（1- 1）（1 -）亠:小工:川，等号成立二=1或=1 或咐-1o -20 分 因此S.DEF亠 4：尸S ABC，等号成立，当且仅当， D 与 C 重合，或 E 与 A 重合，或 F 与 B 重合。 -25 分 22. （1 ）设a 0，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线 y = ax3过格 点（n, m），记1xEn对应的曲线段上的格点数为 N。证明: n m N 八 ak3厂二 k =1 - k=1 0 x n,0 :： y 乞 ax3,以及区域 F： 0 ： y 乞 m,0 ： x 辽 3 组成。 在区域 E 上，直线段x=k（kN ,1 _ k _ n）上的格点为ak3个, n 所以区域 E 上的 格点数为v ak3。 k 4 同理区