基本初等函数经典总结

1、第十二讲基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则： （1） ar asar s ；（ 2） arsars ；（ 3） abrar br ；mn a m ；m1a , n 奇（4） a n（5） a n（ 6） n a nna m| a |, n 偶2). 指数函数：形如ya x (a0且 a1)指数函数0<a<1a&g

2、t;1图象表达式ya x定义域R值 域(0,)过定点(0,1)单调性单调递减单调递增2.对数函数1）对数的运算：1、互化： abNb log a N2、恒等： alog a NN3、换底： loga blog c blog c a- 1 -推论 1log a b1推论 2 log a b log b c log a clog balog a mnnlog a b (m0)推论 3bm4、 log a MNlog aMlog a NMlog a Nlog a Mlog aN5、 log a M nnlog aM2）对数函数：对数函数0<a<1a>1图象表达式ylog a x定义

3、域(0,)值 域R过定点(1，0)单调性单调递减单调递增3.幂函数一般地，形如yxa （ aR ）的函数叫做幂函数，其中a 是常数1)性质：(1) 所有的幂函数在 (0,+ )都有定义，并且图象都通过点 (1,1);- 2 -(2) 如果 ，则幂函数图象通过（ 0， 0），并且在区间 0,+ )上是增函数；(3) 如果 ，则幂函数在区间(0,+ )上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当 x 趋于 +时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。四：典型例题考点一：指数函数例 1已知 (a22a5) 3x( a22 a 5)1x ，则 x 的取值范围是 _

4、分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解： a 22a5(a1)24 41 ，函数 y(a22a5) x 在 (， ) 上是增函数， 3 x1x ，解得 x1 x 的取值范围是1， 44评注： 利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论例 2函数 y a 2x2a x1(a0且 a1)在区间 11， 上有最大值14，则 a 的值是 _分析：令 ta x 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围解：令 tax ，则 t0，函数 y2 xx22 ，其对称轴为 t1 a2a1 可化为

5、y (t 1)当 a1时， x11， ， 1 a x a ，即 1 t a aa当 ta 时， ymax(a 1)2214 解得 a3 或 a5 （舍去）；当 0a 1 时， x11， ， a a x 1 ，即 a t 1 ，aa112 t12 14，时， ymaxaa解得 a1 或 a1 （舍去）， a 的值是 3 或 1 353评注： 利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法， 整体代入等例 3求函数 y16 x 2 的定义域和值域解：由题意可得16x 2 0，即 6 x 2 1 ， x2 0 ，故 x 2 函数 f ( x) 的定义域是，2 - 3 -令 t 6 x

6、2，则 y1 t ，又 x 2 ， x2 0 0 6 x 2 1 ，即 0 t 1 0 1 t 1 ，即 0 y 1 函数的值域是0，1 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响x23x 2例 4 求函数 y 1的单调区间 .3分析这是复合函数求单调区间的问题u,u x2-3x+2 ，其中 y 1u可设 y 1为减函数33 u x2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间 ( 即减减增 ) u x2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间 ( 即减、增减 )解：设 y13u,u x2-3x+2,y关于 u 递减，当 x(- ， 3 ) 时， u 为减函数，2 y 关于 x 为增函

7、数；当x 3 ，+ ) 时， u 为增函数， y 关于 x 为减函数 .2考点二：对数函数例 5 求下列函数的定义域（ 1） y=log 2 （x2 -4x-5 ）;（ 2） y=log x+1 （ 16-4x）（ 3） y=解： （ 1）令 x2-4x-5 0，得（ x-5 ）（ x+1 ） 0，故定义域为x x -1，或 x 5（2）令得故所求定义域为x -1 x0，或 0x 2- 4 -（ 3）令，得故所求定义域为 x x -1-，或 -1- x -3,或 x2说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零例 6比较大

8、小：（ 1） log0 71 3 和 log 0 71 8（ 2）（ lg n）1 7 和（ lgn） 2（ n 1）（ 3） log23 和 log53（ 4） log35 和 log64解： （ 1）对数函数 y=log 0 7x 在（ 0， +）内是减函数因为13 1 8，所以log0 71 3 log0 71 8（ 2）把 lgn 看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数 lgn 讨论若 1 lgn 0，即 1 n 10 时， y= （ lgn） x 在 R 上是减函数，所以（lgn ） 1 2（ lgn） 2；若 lgn 2在 R 上是增函数，所以（lgn

9、）1 721，即 n 10 时， y= （ lgn）（ lgn） （ 3）函数 y=log 2x 和 y=log 5x 当 x 1 时，y=log 2x 的图像在 y=log 5x 图像上方这里 x=3 ，所以 log2 3 log53（ 4） log35 和 log64 的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥 ”，再利用对数函数的单调性即可求解因为 log 35 log33=1=log 66 log64，所以 log35 log 64评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2 中的说明得到结论例 7 已知 f （x） =2+log 3x， x 1， 9，求 y=

10、f（ x） 2+f （ x2）的最大值，及 y 取最大值时， x 的值分析 要求函数 y= f（ x） 2+f （ x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域解： f （ x）=2+log 3x， y= f （x） 2+f （ x2） =（2+log 3x） 2+2+log 3x2- 5 -=（ 2+log 3x） 2+2+2log 3 x=log 23x+6log 3x+6=（ log 3x+3 ） 2-3函数 f （x）的定义域为1，9，要使函数221x29y= f （ x）+f （ x ）有定义，就须1x，9 1x3 0logx13 6y=（ log

11、3x+3 ） 2-3 13当 x=3 时，函数y= f（ x） 2+f （ x2）取最大值13说明本例正确求解的关键是：函数y= f （ x） 2+f （ x2）定义域的正确确定如果我们误认为 1， 9是它的定义域则将求得错误的最大值22其实我们还能求出函数y= f（ x） 2+f （ x2）的值域为 6， 13例 8 求函数 y=log 0 5（ -x2 +2x+8 ）的单调区间分析 由于对函数的底是一个小于1 的正数，故原函数与函数u=-x 2+2x+8 （ -2 x 4）的单调性相反2 0，解 -x +2x+8 -2 x4， 原函数的定义域为（ -2， 4）又函数 u=-x 2+2x+8

12、=- （ x-1 ）2+9 在（ -2，1上为增函数，在 1， 4）上为减函数，函数 y=log 0 5（ -x2+2x+8 ）在（ -2， 1上为减函数，在 1， 4）上为增函数评析判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集考点三：幂函数例 9 比较大小：112（ 4）0.53 ,3 0.5 ,log 3 0.5（1）1.52,1.7 2（2）(1.2)3 ,( 1.25) 3 （ 3）5.25 1 ,5.261,5.26111解：（ 1） yx 2 在 0,) 上是增函数，1.51.7 ， 1.52 1.7 2（2） yx3 在 R 上是增函数， 1.21.25， (

13、1.2)3(1.25)3（3） yx 1 在 (0,) 上是减函数，5.25 5.26 ， 5.2515.26 1 ； y 5.26x 是增函数，1 2 ， 5.2615.26 2 ；- 6 -综上，5.25 15.26 15.262（4） 00.531，30.51， log 30.5 0， log3 0.50.5330.5例 10已知幂函数 yxm22m3（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点， 且关于原点对称，求 m 的值解： 幂函数 yxm22m3 （ m Z ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点， m22m 3 0 ，1 m 3 ； mZ ， ( m22m3)Z ，又函数图象关

14、于原点对称， m22m3 是奇数， m0 或 m 2 2 1例 11、求函数 y x 5 2x 5 4（ x 32）值域1解析： 设 t x 5 ， x 32， t 2，则 y t2 2t 4（ t 1）23当 t 1 时， ymin 321函数 y x 5 2x 54（ x 32）的值域为3，）点评： 这是复合函数求值域的问题，应用换元法五：课后练习1 、 若a 1在 同 一 坐 标 系 中 ， 函 数y=ax 和 y=log a x 的 图 像 可 能 是 （）ABCD2求值 4 0.0625 +61-（） 0- 3 33=483. 下列函数在,0上为减函数的是（）1 y x2 y x3 y x 2 y x3答案：- 7