固体物理基础答案吴代鸣复习课程

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为 a 和 c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2若晶胞基矢 a,b, c 互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。解：a,b, c 互相垂直，可令a ai ,bbj , cck晶胞体积 va (bc )abc倒格子基矢：b12c)2(bj ck )2(bivabcab22 (c a)2(ck ai )2jvabcbb322(ai bj )2(a b)abckvchklGhb1kb2 lb32 ( ijk )而与 （ hkl ）晶面族

2、垂直的倒格矢abc( h ) 2( k ) 2( l ) 2G2abc故（ hkl ） 晶面族的面间距d2G22( h) 2( k ) 2( l ) 2abc1( h ) 2( k )2( l ) 2abc只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除3若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5 个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。4试求面心立方结构的（111）和（ 110）面的原子面密度。解：（111）面

3、平均每个（ 111）面有 3 13 12个原子。62（ 111）面面积 12a( 2a) 2( 2 a)22 a3 a3 a222222所以原子面密度(111)243 a 23a 2（110）面2112 个原子。平均每个（ 110）面有 424 2（ 110）面面积 a 2a2a 2所以（ 110）面原子面密度(110)222a2a 25设二维矩形格子的基矢为a1ai , a22aj ，试画出第一、二、三、布里渊区。解：倒格子基矢：b12 (a2a3 )2x2ai x2 i (a3xk )va 2aab22 ( a3a1 )2xaxj2j1 2j1 b1 jva 2a2a2 a2所以倒格子也是

4、二维矩形格子。b2 方向短一半。最近邻 b2 , b2 ;次近邻 b1 , b1 ,2b2 , 2b2 ;再次近邻 b1b2 , b1b2 ,b2b1 , b2b1 ;再再次近邻 3b2 , 3b2 ;做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是2 块梯形和2 块三角形组成；第三布里渊区是2 对对角三角和4 个小三角以及2 个等腰梯形组成。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除6六方密堆结构的原胞基矢为：a11 ai3 aj22a21 ai3 aj22a3ck试求倒格子基矢并画出第一布里

5、渊区。解：原胞为简单六方结构。原胞体积：v a1 (a2a3 )1 a(i3 j ) 1 a( i3 j ) ck 221 a(i3 j ) 1 ac( j3i )221 a 2c(i3 j ) ( 3ij )43 a 2 c2倒格子基矢：b12 ( a2a3 )2 1 a( i3 j ) ck 2 (i3 j )v23a3 a 2c2b22a1 )213 j )23 j )( a3 cka(i( iv2a3 a 2c2b32 (a1a2 )2kvc由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意： 倒格子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近

6、邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。7略只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除8、证明一维 NaCl晶体的马德隆常数为2ln 2证明：任选一参考离子 i ，则左右两侧对称分布，令 r ijaj a；这里 a为晶格常数（正负离子最近距离）那么，有：11111.;aj2j1234其中，异号为；同号为 .利用展开式： ln(1x )xx 2x 3x 423.4令 x1，得：l

7、n2111123.2 ln 24er9、若离子间的排斥势用来表示， 只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数和应如何决定。解：设最近邻离子间距离为r ，则 r ijaj r （以 i 离子为原点）r ij/e2，（最近邻， r ijr ）e40r ij()u rije2，（最近邻以外）40r ij总相互作用能为：UNe2N1e r /0 r24j ( i)aj最近邻UN4e2Z e r /；.( 1)20r其中 为最近邻离子数Z由平衡条件：U0；得：rr r 0e2Z e r 0 / .(2)40r 02得： UNe 21 .(3)2 40 r0r 0结合能 Ec

8、U( r 0 )只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除对于 NaCl等离子晶体：K12U.(4)9Nrr 2rr 00K12e21Ze r 0 /.( 5)18r040r 032将( 2)代入( 5)得：K12e2e21 .(6)18r 040r 0340r 02e 2r 0.(7)2 e 2720 r 04 K由( 2)得：4e 2e r0 /.(8)0r 02Z10、如果 NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。解：总相互作用能UNe2B.(1)24 0rr nUNe2nB0.( 2)r2 40r02r

9、 0n 1r r 04 0nB1得：r 0n1.('e2.2 )e2n 1由( 2)得：B40n r0.( 3)代入得： U r0 )N e214)( 3)(1)(8 0 r 01.(n当电荷由变为 2 时，由( 2' )和( 4)可知：eer0( 2e)141nr 0( e)( 2)nU e4n1U e)(11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除解：在简谐近似下：1( xij0uij)U01uij2U4 i jij2 i j第n个原子的运动方程：md 2unU1un

10、(ij uij2 )dt 2un4ij右边1(inu2u2)4 uninnj nji ( n)j ( n)1(in( u u )2nj( u u )2 )4 un i ( n )nijnj ( n )1(in(u u )nj( u u )2nijni ( n)j (n )i ( n )in ( uiun )pp(un pun p2un )设unAei ( t naq)代入上式得：m 2Aei ( tnaq)pp( Aei (t ( n p)aq)Aei ( t( n p)aq)2un )整理，得：22p( 1cos paq)mp12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数

11、交错地等于1 和2 ，试求格波的色散关系。解：md 2un1( n 1un )2( nun )dt 21 n 12 n( 12 )unmd 2n2( unn )1( un 1n )dt 22un1un 1( 12 ) n只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除试探解：u nAei ( naqt);代入方程，得： m 2ABeiaq2B(1m 2B1Ae iaq2A(12 )B(12)m 2(eiaq2)10e iaqm2()2121经计算，得：nBei ( naqt )12 )A2222 cos aq21212113、已知一维单原子晶格的格波色散关系为m2( q )2(1 c

12、os qa)M试求： (1)格波的模密度 g();(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。解：一维时，模密度g( )ldq ( q )2M由色散关系，得： cos aq12;22 d2 a sinaqdqMddqaMM21 /224M4 2lm( q)g( )2(q )d ( q)21 / 20a M 2(q )2M4( q)M42laMM21 / 224M4 2Em晶格热容： Cg()dTTexp(/ k BT ) 10略去4项，（因为低温，1）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除Cm ldaMT 0e kBT1MlMdaT 0e k BT1( 因为低温，频率低的占主要，所以上限可以近似为无穷大 )lM k 2Tx 2exdxBa0 ( ex1)22经计算，上面积分3Clk2BMT3a14、将 Deby