四年级奥数——高斯求和

1、精选第1讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1 2 3 4 99 100 ？老师出完题后， 全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050 。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1100 299398 49525051。1 100 正好可以分成这样的50 对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（ 1+100 ）×100 ÷2 5050 。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“ 等差数列 ”的求和问题。若干个数排成一列称为 数列，数列中的每一个数称为一项，其

2、中第一项称为首项，最后一项称为 末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列 ，后项与前项之差称为 公差。例如：（ 1）1，2，3，4，5， 100 ；（ 2）1，3，5，7，9， 99；（ 3）8， 15， 22 ， 29 ， 36， 71；其中（ 1）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（ 2）是首项为，末项为，公差为的等差数列；（ 3）是首项为，末项为，公差为的等差数列；欢迎下载精选 等差数列的求和公式 ：和=（首项 +末项）×项数÷2。项数 =（末项 -首项）÷公差+1。末项 =首项 +公差×（项数-1）。对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中

3、间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例 1 123 1999 ？欢迎下载精选【思维拓展训练一】1、 11 12 13 31 ？2、3 711 99？例 2 （2+4+6+ +2012 ） -（ 1+3+5+ +2011 ）【思维拓展训练二】欢迎下载精选1 、（ 7+9+11+ +25 ） -（ 5+7+9+ +23 ）2 、 1+2-3+4+5-6+7+8-9+ +58+59-60例 3 求首项是 25 ，公差是3 的等差数列的前40 项的和。【思维拓展训练三】1 、求首项是34，公差是5 的等差

4、数列的前50 项的和。欢迎下载精选例 4 求所有加 6 以后被 11 整除的三位数的和【思维拓展训练四】1 、 100 以内所有加5 后是 6 的倍数的数的和是多少？2 、在 1 400 中，所有不是9 的倍数的数的和是多少？欢迎下载精选3 、求所有被7 除余数是 1 的三位数的和？例 5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12 厘米 2，边长是 1 根火柴棍。问：（ 1 ）最大三角形的面积是多少平方厘米？（ 2 ）整个图形由多少根火柴棍摆成？欢迎下载精选【思维拓展训练五】1 、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3 只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二

5、只球，将每只球各变成3 只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3 只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？例题 6 建筑工地有一批砖，码成如下图的形状，最上层2 块砖，第2 层 6 块砖，第3 层 10 块砖，依次每层都比它上面一层多4 块砖，已知最下一层2106 块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？欢迎下载精选【思维拓展训练六】1 、求从 1 到 2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。2 、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少？【课堂巩固训练题】1.计算下列各题：（1）246 200 ；欢迎下载

6、精选（ 2）17 19 21 39；（ 3）5 811 14 50 ；（ 4）3101724 101 。2.求首项是5，末项是93 ，公差是 4 的等差数列的和。欢迎下载精选3.求首项是13 ，公差是5 的等差数列的前30 项的和。4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求 100 以内除以 3 余 2 的所有数的和。欢迎下载精选6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？7 、 100 个连续自然数（从小到大排列）的和是8450 ，取出其中第1 个，第 3 个，第99 个数，再把剩下的 50 个数相加，和是多少？8 、把 210 拆成 7 个自然数的和， 使这 7 个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5 ，那么第 1个数和第6 个数各是多少？欢迎下载精选9 、把 27 枚棋子放入7 个不同的空盒中，如果要