非惯性参考系习题解答

1、第三章_非惯性参考系_习题解答_By XuJiesin（、z、I ：）sin（二-:二 /2）-sin（*，）=（sin ： cos -cos:cos:cos： sin -）3.1、一船蓬高4m，在雨中航行时，它的雨蓬庶着蓬的垂直投影后 2m的甲板；但当停航时， 甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m处。如果雨点的速率是 8 m/ s。求船航行的速率u解：由题意设雨的绝对速度为 V,雨的相对速度为 V',船航行的速度为 U,数据如图所示。则有 v = v' vb在速度三角形 AABC中，正弦定理：uVv'sin（、.1：,） sin（二-：-二 /2） sin20.一 4

2、221由图中数据知：cosa =, sin a =,=尸42 22542 225cos已知雨的绝对速率 v =8m/s 代入前面数据可得：u = （sin ： cos ： cos ： sin ：） = 8 cos 二（-125 5-.523、，-,）m/s = 8m/s、5 53.2、河的宽度为d ,水的流速与离开河岸的距离成正比。岸边水的流速为0，河中心处水的流速为c,河中一小船内的人，以相对于水流恒定的速率u ,垂直于水流向岸边划去。求小船的航行轨迹和抵达对岸的地点。解：建立如图坐标系o-xy，取小船的出发点为 x0。 x轴垂直于河岸，y轴平行于河岸因河流中心水流速度为c,水的流速与离开河

3、岸的距离成正比所以水流速度vt为:河的左侧（0 Sx三'）水流速率为：vt =奕乂2d河的右侧（d 4 x菱d ）水流速率为：vt =卖（d - x）2d由速度变换关系知：v =vt , u = xi , yj = vt jui小船位于河岸的左侧内（0 < x0 <）：2x =u2cy = vt = 一 xd河岸河岸x 2c dtxx dx =x0 ddx(0 三 x, x()£ d)2t2cxdtJ d解得 y = £ x2 - x02ud ud小船位于河岸的右侧内( < x0 M d)：2t .t积分有q ydt = o2cxdx udx =u

4、峪(d -x) dt t2cx 2c dt x 2c积分有 ydt = (d -x)dt =(d -x) dx =(d -x)dx00 dx0 ddxx0 udc22 d解碍 y = _(x0 d) (x d) , ( z 苴 x, x0d )所以小船的航行轨迹为：c 2 c 2 cdy=x 后冷 ，(x, x <-)c22 dy =扁(、0 d) -(x -d),(侦x,x° Md )若小船位于河岸的左侧内（0<乂0<9）,当抵达河的中心时有：x = d22ud2 x0cd那么y1 :cd4u若小船位于河的中心（x0=d）,当抵达河岸时,2所以小船位于河岸的左侧内

5、（0壬x0去d）,当抵达河岸时，y = y+y2 =凶x0222u ud若小船位于河岸的右侧内（dx0d）,当抵达河岸时，x=d，那么y=£（x°d）22ud cd右小船从河序的左侧出发，x0 = 0 ,那么y=2u3.3、一圆盘以匀角速度 £绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质点M沿圆盘上的弦，以恒定的相对速度运动，如图所示。已知该弦离盘心的距离为b。求在以地面为参考系时，质点M的速度和加速度（表示成质点M离弦中点的距离 x的函数）。解：在圆盘上建立如图所示的随盘转动的直角坐标系。-xyz,地面为惯性系。则:vM =v' Vo，r'=v'

6、， r'=ui 、k (xi bj)=(u _ b)i xj* dv d m""一aM-vM = uj k (u7b)i xjdt dtf "2xi(2 u- 2b)j或利用aM =a'+ao+缶x r'+缶x (切x r')+2胆x v'可直接求出。3.4、一飞机在赤道上空以速率1000km/h水平飞行，考虑到地球的自转效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系，不随地球转动的坐标系)的速率：(i) 向北飞行(ii) 向西飞行(iii) 向东飞行。已知地球半径为 6370km解：建立如图所示的直角坐标系 0 - xyz

7、 ,使飞机位于则 =k ： 7.29 10%ad /s(k)飞机位于赤道上空以速率1000 km / h水平飞行，则 v' = 1000km/h ： 2.78 1 02m/sr' = r'i =6.37 106m(i)v =v'也 f、r' =v'f r'(i)向北飞行，那么 v'=v'kv=v'r'=2.78 102m/s(k) 7.29 10%ad/s(k) 6.37 106m(i )_2_:2.78 10 m/s(k) 464.37m/s(j)所以 v = .,(2.78 102)2 (464.37)

8、2m/s ： 541m/s(ii) 向西飞行，那么v' = v'jv =v' ，r' = -2.78 102m/s(j) 7.29 10*ad/s(k) 6.37 106m(i)_2：-2.78 102m/s(j) 464.37m/s(j) ： 186m/s(j)(iii) 向东飞行，那么v'=v'j'S.v=v' r'=2.78 1 02m/s(j) 7.29 10%ad/s(k) 6.37 106m(i) 2:2.78 10 m/s(j) 464.37m/s(j) : 742m/s(j)a'及质点对楔子斜面的压

9、力F3.5、一契子，顶角为 口，以匀加速度 &0沿水平方向加速运动。质量为 m的质点沿楔子的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于楔子的加速度 解：建立如图所示的直角坐标系附着在楔子上。在0 -xyz中的受力分析如图所示。则有：FN j mgcos： j mA sin ： j =0(1)mgsin ： i -ma3 cos i = ma' (2)由(1)式可求得：FNj =m(gcos +aosina)j所以质点对楔子斜面的压力F - -FN - -m(gcos：£，a0 sin ：) j由(2)式可求得：a'= (gsina-a0cosa)i3.6、一缆车，以

10、大小为 a°,与地平线成«角的匀加速度上升，缆车中一物体自离缆车地板高度h处自由下落。求此物体落至地板处的位置。解：建立如图所示的直角坐标系 0 xyz附着在缆车上取物体开始落的位置为原点。质点运动的平面为0-xy受力分析如图示。设质点自由下落到地板的时间为 t,则有:x方向:y方向:12(g a°sin 一 )t 21. 2a。cos _：、t2_ha0 cos 二 ,一一，联立求得y = 一一0，即物体落到初始位置在地板的投影点后面ga0 sin 气ha0 cos： 小处。g a0 sin 气3.7、一单摆摆长为l，悬挂点0'在水平线上作简谐振动：x

11、= asin pt。这里x是悬挂点离开水平线上的固定点 0的距离，如图，开始时摆锤铅直下垂，相对于0'的速度为零。证明2单摆此后的微小振动规律为0 =羿 (sin pt -sinkt)，式中k2 =g解：以0'点为极点，竖直向下为极轴，受力分析如图所示。因 x = asin pt ,所以 x = ap cos pt , x = -ap2 sin pt 2当 9 角度很小时，有 sin8 &6 , cos =1 2sin 2 &1 一一22由牛顿第二定律，在横向有：mxcos。mgsin =ml6代入 x , sinB , cos0 可得：吕+ge"si

12、n pt = 0l l=0的通解为:3 =Acos(. |Rt +8),式中A ,中为积分待定常数2-sin pt =0的特解为 = Beipt的虚部，代入有:222Bp曾+g b" 一丑武=0 ,解得：B =二，故特解为缶=二sin ptiig - p ig - p i2所以g.-3 sin pt = 0的通解为：l l- *= Acos( gt ) ap 2 sin pt i g - p2i-A. ：sin(. 'gcospt代入初始条件，t=0时，0 =0, " = 0可得：平=兰，A= 叩2 U2 g - p i ' g所以有：0 = ap 2 (s

13、in pt p Bsin*应t)g - p ig i3.8、一竖直放置的钢丝圆圈，半径为r ,其上套有一质量为m的光滑小环。今若钢丝圈以中=。0 ,小环的相对速率对变形：m(g +a)sin辟=du mu = m一 dt匀加速度a竖直向上运动，求小环相对于钢丝圈的速率 u和钢丝圈对小环的作用力大小 fn已知初始时刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角u =u°解：以O点为极点，竖直向下为极轴，建立平面极坐标系。受力分析如图，则有：径向：m(g a)cos ' -FN，= mu2 /r (1)横向：m(g a)sin = mu(2)初始条件：t=0时，中=甲0 , u =

14、u0(3)u du=m= m= mdt d- dt d- r d :分离变量： (g a)rsin :d = uduu2 +(g +a)rcos中 +C =0，代入有：C = 一1 u02 -(g +a)r cos%22所以 u =Mu。2 +2r(g +a)(cos% cos平)(负根舍去)2代入有 FN，= m(g +a)(3cos 平 一 2cos 平0) 0-r3.9、一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度 O绕固定的圆盘中心转动。有一质量 为m的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相对速率u向圆盘的边缘走动。试分别利用：(a)地面惯性系 (b)圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力。解：受力

15、分析如图示，左图为地面惯性系中人受力情况，右图为圆盘非惯性系中人受力情况r)mg地面惯性系中建立极坐标系，取圆心为原点，初始时刻人走的半径为极轴，方向er,eb那么相对速度：v' = u = uer，相对位移为：r' = r = rer ,角速度为：. = . 4(a)地面惯性系中，由受力图示分析可知：圆盘对人的作用力为：N fv = v，f，r，= u f，r = uq f 0 rer = uer f *dv dd ,a(uerre、(uerre? 0 (uer於)dt dt- dt,-22 -= re ue 厂rer = 2 ue" rer由牛顿第二定律知：N +

16、mg = 0 ,即 N =mge)22N f mg = f = ma = m(2，ue rer) = -m，rer 2m，ue_,所以圆盘对人的作用力为：N-m 2rer 2m ue mge,由于m,u,向，g都为常数，所以圆盘对人的作用力只跟r有关。(b)圆盘非惯性系中，受力分析如图所示，人匀速行走。所以有：N +mg = 0 ,即 N = mgqf-m，u - m (，r)=0即 f = 2m u m， (， r) = 2m e, uer m e, ( rer) = -m -2rer 2m ue所以圆盘对人的作用力为：N , f - -m 2rer 2m ue mge,由于m,u,饥g都为

17、常数，所以圆盘对人的作用力只跟r有关。3.10、半径为r竖直放置的光滑圆环，绕通过其圆心的铅直轴以恒定的角速度由转动。在此圆环上套有一质量为 m的小环，自=二/4处相对于圆环无初速地沿环下滑。问小环的 位置8为何值时，它的滑动将开始反向？这里 B是圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角。解：以圆环为参考系。受力分析如图所示。小环受到重力，大圆环的支持力，科里奥利力昆=2mv久=2m,r cose和惯性离心力F m x （切x r'） = m【2r sine 。在整个运动过程中只有重力mg和惯性离心力 R做功。对小环由动能定理有:2mgr（顶-C"）ds =】mv22即 mgr（；c

18、os ），i. m 2r2 sin cos du = §mv2开始反向时，v =0圣一上02 4g2即一-cos2cos 2g2解得：cos8 =g1±（1+写）=<2'r_2g 2g 2一 2r 一 2显然取cos。= -2，即6 =arccos（-2* -一2）时，小环开始反向运动。 r 2 r 23.11、一内壁光滑的管子，在水平面内绕通过其端点 。的的铅直轴，以恒定的角速度 与转动。 管内有一质量为 m的质点，用一自然长度为l,劲度系数为k的弹簧和管子的端点 。相连,设初始时质点到 O的距离为x =l且x = 0 。求质点在管中的运动方程及它对管壁的压

19、力Fn解：取。点为原点，建立附着在管子上的直角坐标系O-xyz。质点受到重力 mg ,管壁的压力FN，弹簧的张力Ft=-k（x-l）i,科里奥利力Fc = 2mC'e = -2m xj和惯性离心力= -m x何乂户）=m 2xi受力分析如图示，由牛顿第二定律知:若假定质点偏离平衡位置向 x轴正向移动,Fc mg N = 0Ft K = mxiH*即 N - -mg _ Fc = mgk 2m xj2二-k（x T）i m xi = mxi k 2 kl化间：x ,(- )x . .= 0mmk 2 一 k 2x+（o ）x= 0的通解为：Xi=Acos必切t+中），A,为积分待定常数。

20、 k 2 kl_设x+（-。）x -=0的特解为x2 = B，其中B为常数mmkl代入可得：x2=B=Jkm，所以 x +(2 _E)x +也=0 的通解为： x = x +x2 = Acos。 一缶21 + 中)+-2 m m. mk-mx = Ai k - - ,2 sin(, k - - .2<:) , mi m代入初始条件，t=0时，x=l, x" = 0可得：2.klm - l甲=2kn k=0,1,2., A=l =k _ m， k _ m，所以有x = 2l3N = mgk 2m l因弹簧振子的圆频率,所以上式又可写成:, m-cos、, r.)2 -，2t)N

21、= mgk 2mlsin、.12tj3.12、质量为m的小环套在半径为r的光滑圆圈上，若圆圈在水平面内以匀角速度 切绕其圆 周上的一点转动。试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程（以小环相对于圆圈绕圆心转过的角度 e为参量写出）。设圆圈对小环的作用力大/J：用FN表示，并可略去小环的重力。解：由于略去了小环的重力，所以在选取圆圈为参考系中，小环的受力如图所示，小环受到圆圈的作用力FN斜，科里奥利力 Fc = 2mv' - -2m，- -2m，rg小环相对O点的惯性离心力 E = m x (切k r') = -m 2renO相对A点有向心加速度，小环的惯性力：FO

22、= -m = m2reAO那么小环的运动学方程为：切向：FO sin(n 6) = mre，即 e _缶2 sin e = 0法向 Fn - Fc E - FO cos(n -8) = mrH2，即 Fn 2mor8 mo 2r+mo 2r cosH =m2dv F .一事头上，也可通过 v = Vo +v =(oxrAo+8x r°m , a = 求侍。 dt m3.13、 一质量为m的质点，位于光滑的水平平台上，此平台以匀角速度占绕通过平台上一定点O的铅直轴转动。若质点受到O点的吸引力F = -m 2r作用，这里r是质点相对于 O点的径矢。试证明：质点在任何起始条件下，将绕 O点

23、以角速度£作圆周轨道运动。证明：水平台以匀角速度S绕通过平台上一定点 O的铅直轴转动。取水平平台为参考系。水平平台光滑，质点受到重力mg、平台的支持力 Fn和O点的吸引力F = -m2r以及惯性离心力F ' = m，2r。 质点在竖直方向上没有离开水平平台，有：m& + Fn = 0，在水平方向F + F ' = 0所以质点相对水平平台静止，故小球绕O点以角速度 £作圆周轨道运动。或者利用v * F =0证明。3.14、 一抛物线形金属丝竖直放置，顶点向下，以匀角速率切绕竖直轴转动。一质量为m的光滑小环套在金属丝上。写出小环在金属丝上滑动时的运动微分

24、方程。已知金属丝构成的抛物线方程为x2 =4ay,这里a为常数。解：如图，取顶点为原点，建立直角坐标系O-xyz附着在多属丝上。在 O -xyz中，小环受到重力 mg = -mgj ,科里奥利力 Fc =2mv' - -2m v'k ,惯性离心力Fo = m,，(, xi) = m,，2xi ,金属丝的作用力Fn FnJ . FNyj FNzk由牛顿第二定律可得：x方向:-FNxi +Fo=mxi,即 FNx=m(切2xx)(1)y方向：FNyj 一mgj =myj，即 FNy=m(g+y) (2)z方向：Fk+Fc =mZk =0 ,即 Fnz =2mcov，=2m仁q

25、9;X + y (3)又金属丝构成的抛物线方程为x2 =4ay，求一阶导化简得：我=兰=tg0 =丞dx 2a ”FNy二阶导为：y'= 1 (x2 XX)2a联立(1)、(2)、(4)可求得：FNx ，2xx 2x xxfNvg y1/2、 2aNyg (xxx)2a化简求得小环在金属丝上滑动时的运动微分方程：12、12.2、 一(12 x )x 2 xx (g -，)x = 04a4a3.15、在北纬九处，一质点以初速率 V。竖直上抛，到达高度 h时又落回地面。考虑地球的自转效应，不计空气的阻力，求质点落地位置与上抛点之间的距离；是偏东还是偏西？为什么解：取抛点为原点，建立直角坐标系O-xyz附着在地面上。其中 Ox轴指向正南，Oy轴指向正东，Oz轴竖直向上。质点只受到重力，故质点的运动学方程为:mx = 2m ysi(1)my = 2m，(xsin， zcos )(2)mz = -mg 2m，ycos，(3)质点初始时刻的运动状态为：t=0时，x=y = z = 0, x=y = 0 , z = v0对(1)、(2)、(3)积分并代入初始条件得：x = 2，ysin，(4)y = -2 (xsin， zcos