圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)精品资料

1、专题：圆锥曲线之轨迹问题一、临阵磨枪1.直接法（五部法） ：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含x, y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。3.坐标转移法（代入法） ：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点 （称之为相关点） 而运动的， 如果相关点所满足的条件是明显的， 或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标， 根据相关点所满足的方

2、程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约， 即动点坐标 (x, y) 中的 x, y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。二、小

3、试牛刀1.已知 M （-3,0）， N（ 3,0） PMPN 6 ,则动点P 的轨迹方程为析： MNPM PN 点 P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。故所求轨迹方程是y0( x3)2.已知圆 O 的方程为 x 2y 22 ，圆 O 的方程为 x2y 28x 100 ，由动点 P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：圆 O 与圆 O 外切于点 M(2,0) 两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等，故动点 P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为x2x2y21(ab 0) ，M 是椭圆上一动点， F1 为椭圆的左焦点， 则线段 MF13.已知椭圆b2a2的中点 P 的轨迹方程为

4、析：设 P (x, y)M ( x0 , y0 )又 F1 ( c,0)由中点坐标公式可得：x0cx2x02 x c又点 M ( x0x2y21(ab 0) 上y0y02 y, y0 ) 在椭圆2b2ay2 x02y021(a b 0)因此中点 P 的轨迹方程为(2 xc)24 y21a 2b2a2b24.已知 A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面 ABC 内的一定点， P 是动点，若 OP OA( AB1 BC),0,2则点 P 的轨迹一定过三角形ABC 的重心。析：设点 D为 BC的中点，显然有 OPOAAPAB1 BCAB BDAD2APAD,0,故点 P 的轨迹是射线 A

5、D ， 所以，轨迹一定过三角形的重心。三、大显身手1、直接法例 1、设过点 P（ x,y）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点 Q与点 P 关于 y 轴对称，若 BP2PA,且OQ AB1,则 P 点的轨迹方程为解：设 A(a,0), B(0, b)又P( x, y)所以 BP( x, y b), PA(ax,y )又 BP2PA,x2(ax)a3 x所以yb2 y2b3yA( 3 x,0), B(0,3 y) AB(3 x,3 y)22而 Q 点与 P 点关于 y 轴对称，点Q 的坐标为 (x, y) 即 OQ( x, y)又OQ AB 1所以 3 x23y21这

6、个方程即为所求轨迹方程。2变式 1、已知两点 M（ -2,0），N（ 2,0），点 P 满足 MN MPMNNP0,动点 P的轨迹方程为解 :设 P( x, y) 则： MN4, MP( x 2) 2y2 , MN(4,0), NP( x2, y).又 MNMPMNNP04 ( x2) 2y24( x2)0化简得所求轨迹方程为：y28xy2、定义法例2、已知圆A的方程为M( x3) 2y 2100 ，点 B（ -3,0）， M 为圆 O上任意一点， BM 的中垂线交AM 于点 P，求点P 的轨迹方程。解：由题意知： MP BPPBPAMPPAAM又圆 A 的半径为 10，所以AM 10PAPB

7、10即点 P 的轨迹是以定点A(3,0) B(-3,0)为焦点， 10为长轴的椭圆的两交点除外）其轨迹方程为x2y 21(x5)2516变式 2、已知椭圆 x 2y 21( a b0) 的焦点为a 2b2F1 ,F2 ，P 是椭圆上的任意一点，如果M 是线段 F1P 的中点，则动点M 的轨迹方程是解：因为M 是线段 F1P 的中点，连接OM ，则PABO（椭圆与长轴所在的对称轴yPMF10F2xxOM1 PF2MF11 PF122由椭圆的定义知： PF1PF22aMF1MO1(PF1PF2 )a2即点 M 到定点 O、定点 F1 的距离和为定值a ，故动点 M 的轨迹是以 O、 F1 为焦点，

8、4(xc)24y2以 a 为长轴的椭圆，其方程为2a 2b21（说明：此题也可以用代入法解决）3、坐标转移法（代入法）例 3、从双曲线 x 2y 21 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点 P 的轨迹方程。解：设 Q (x0 , y0 ) 则由xyx0y00可得 N 点坐标xy20xx0y022设 P( x, y)x0y02y2由中点坐标公式可得：2x3x0y022x03xy22又点 Q (x0 , y0 ) 在双曲线 x2y 21 上，x022 y0x 3 y 22 y3y02所以4x024y024 代入得 (3xy2) 2(x3y 2) 24化简得( x1

9、) 2( y1 ) 21即为所求轨迹方程。222变式 3、自抛物线 y 22x上任意一点 P 向其准线 l 引垂线， 垂足为 Q，连接顶点 O 与 P的直线和连接焦点F 与 Q 的直线交于 R，求点 R 的轨迹方程。解：设 (,),(x0,y0)抛物线的方程是y22xR x yP F (1 ,0),Q(1 , y0 )22所以 直线 OP 的方程是 y0 xx0 x0直线 QF 的方程是y0 xy1 y002x02x联立两方程得：2x1y022x0又y02 y2x1所以(2 y )22(2x )化简得： 2x 2y 2x 0 即为所求轨迹方程。2 x12x14、参数法例 4、设椭圆方程为 x

10、2y 21，过点 M（ 0,1）的直线 l 交椭圆4于 A、B，点 P 满足OP1 (OA OB) 点11)，当直线 l 绕点2,N (2,2M 旋转时，求：（ 1）动点 P 的轨迹方程；（ 2） NP 的最大、最小值。解：（ 1）设直线 l 的方程为ykx1代入椭圆方程得( 4k 2 ) x22kx30设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )则 x1x22k4 k 2y1y2k ( x1x2 ) 22k224k 2设动点 P 的坐标为 ( x, y) ，由 OP1 (OA OB) 可得x1x22xk24k 2消去参数 k 即得所求轨迹方程为：4x 2y 2y 0y2yy1424k2当斜率 k 不存在时，点P 的坐标为（ 0,0）显然在轨迹上，故动点 P 的轨迹方程为4x 2y2y0 。（ 2） P 点的轨迹方程可以化为16x 24( y1) 21所以可设点 P 的坐标为 ( 1 cos , 11 sin2)则4222( 1 cos1 ) 2(1 sin) 23 cos21 cos1PN42216423 (cos2) 2716312所以 当 cos2PN max21当 cos1时 PN1时6min43变式 4、过抛物线 y 22x 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB.(1) 求弦 AB 的中点的轨迹方程； （ 2）证明：直线 A