2019绍兴一中高二数学期中考试卷(理科)(答案)

1、3 2019 绍兴一中高二数学期中考试卷（理科） .选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1. 空间直线 a、b、c,平面，则下列命题中真命题的是 （） A. 若 a 丄 b,c 丄 b,贝 U a/c; B. 若 a/c,c 丄 b,贝 U b 丄 a; C. 若 a 与 b 是异面直线，a 与 c 是异面直线,则 b 与 c 也是异面直线 D. 若 all : , b/ ，贝 U a/ b; 答案：B 2. 下列几何体各自 的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ） 是（ ） A. A (1 , 0, 0) , B (0 , 1, 0) , C (0 , 0, 1) B. A(1 ,2

2、, 3) , B(3 , 0 , 2), C (4 , 2, 5) C. A (1 , 1, 0), B (1 , 0 , 1), C (0 , 1 , 1) D. A (1 , 1 , 1), B (1 , 1 , 0) , C (1 , 0 , 1) 答案：B 4.如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1BC1D 中，E、F 分别为棱 AA、BB 的中点，G 为 棱 AB 上的一点，且 AG=X ( 0入W 1)则点 G 到平面 DEF 的距离为( ) A . .3 BV C . 2 3 D. 、5 5 答案：D 5.若某几何体的三视图 （单位： cm）如图所示, 则此几何体 的

3、体积等于（ ） 八 212 3 3 A. cm B. 70 : cm 3 326 3 3 C. cm D. 100 二 俯视图 正方幄 A. B. C. D. 答案：D 3.已知O为空间直角坐标系的原点, 以下能使向量 OA,OB,OC共面的三点 A, B,C的坐标 圆锥 三棱台 正四棱锥 3 答案：A 6设a ,b是两条直线，:是两个平面，则a _ b的一个充分条件是 a 二卅，b -,: - .1 答案: 与 CM 所成角的余弦值为( A.乜 B . 1! C 2 4 答案：C 8.已知三棱锥底面是边长为 与底面所成角的余弦值为 A. 3 2 答案：D i 四面体A - BCD的体积为丄

4、3 答案: 在与平面BiEF平行的直线；平面BiEF与平面ABCD所成的二面角 (锐角)的大 小与点E的位置 有关，与点F的位置无关.其中正 确判断的个数 有 ( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个7.在三棱锥 P ABC 中，所有棱长均相等，若 M 为棱 AB 的中点，则 PA ABCD 中, AB 二 AD 二 CD 二 i， 9.如图，四边形 BD 2, BD 折成四面体 A-BCD ,使平面ABD _平面BCD，则 -CD 将四边形 ABCD沿对角线BD F 列结论正确的是 (). (A) (B) (C) CA与平面ABD所成的角为30： (). 1的等

5、边三角形，侧棱长均(D) 10.如图，正方体 ABCD- ABGD,中, E， F分别为棱DD1， AB 上的点.已知下列判断： AC 八平面 Bi EF :D Bi EF在侧面 BCCiBi上的正投影是面积为定值的三角形; 在平面ABiGDi内总存 B 答案：B 二.填空题（每小题 3 分，共 21 分） 11. _ 表面积为27二的半球体的体积是 . 答案：36 二 12. 对于平面:, 1 和直线 m，试用“丄”和“ / ”构造条件 _ 使之 能推出 m丄 1 13. 一个几何体的三视图如下图所示， 其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直 角三角形则用 个这样的几何体可以拼成

6、一个棱长为 4 的正方体. 13. 某师傅需用合板制作一个工作台， 工作台由主体和附属两 部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台 面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示（单位长度： cm）,则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为 2 cm （制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计） 答案：41600 14. 如图，两矩形 ABCD ABEF 所在平面互相垂直， DE 与平面 ABCD 及平面 ABEF 所成角分别为 30、45, M、N 分别为 DE 与 DB 的中点，且 MN=1 线段 AB 的长为 _ . 解：AB 二 AE2 -EB2 =、8-4 =2 . 16.

7、如图在平行六面体ABCD-ABCD中， A B 4 , A D 3 , A二 A 5 , B A D , 厶 BAA =乙 DAA = 60 ，贝y AC 的长是 _ . 解: | 85. 17. 已知三棱锥 P - ABC的四个顶点均在半径为 3 的球面上, 且 PAPB、PC 两两互相垂直，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为 _ 解：18 iE视图 削视图 俯观图 答案：3 20 : f 80 丄 4 正视图 f 侧视图 8 1 0 俯视图 三.解答题 18. (本小题满分 9 分) 如图，已知四棱锥 P 一 ABCD中，底面ABCD是直角梯形, AB/ DC，/ABC =45 , DC

8、 =1，AB =2， PA _ 平面 ABCD， PA =1 . (I)求证：AB/平面PCD ； (n)求证：BC _平面PAC ; 解：(I)证明： AB/CD，又AB二平面PCD CD 二平面 PCD AB / 平面 PCD . 4 分 19. (本小题满分 10 分) 已知四棱锥 P ABCD 及其三视图如下图所示， E 是侧棱 PC 上的动点。 (1 )求四棱锥 P- ABCD 的体积； (2) 不论点 E 在何位置，是否都有 BD_ AE?试证明你的结论； (3) 若点 E 为 PC 的中点，求二面角 D- AE-B 的大小。 (n )在直角梯形 ABCD中，过C作CE _ AB于

9、点E , 5 分 BC _ 平面 PAC 9 分 E M(D由三也阳町知. 囚校椎P-AUCD的区面趁边长为1的正方形. fflft PC丄 ffittf AHCn.B PC =此 :、fi-AltCD 豪沁 PC H x l1 x 2 于* 即四按锥P-ABCD的悻积为% . 3 分 (2)不论占E隹诃位蹬*都冇“D J. AE. 证明：连站AC,/ AflCD地正力殆、二BD丄AG 4/ PC丄陈闻ADt且HD匚平向 MC. A HD PC 又 AC fl PC G 二 HD 丄平面 PAC. T不论点E在何位ft都仔AE C平面卩 AG E C 不伦点E在有RD丄AE. (3)解： 如图

10、以点 Q 为塑标原点议CD、CB、CP所在直战为燮尿 釉建立如啊侨示空删恵用坐标累. W D(LOpQ)vA(1.1.0)；B(OlbO)1E(OJr RFfl DA = (0; LO), DE= 1). -1 + sj 33 0, 1 _ 3 _ - nt I * I 2 * 75 *Jz 2 即二面曲D-AE-H的大小为120 120* . 10 分 20.(本小题满分 10 分) 已知梯形 ABCD 中, AD/ BC / ABC =Z BAD= , AB=BC=2AD=4 E、F 分别是 AB CD 上的点， 2 EF/ BC AE=2 , G 是 BC 的中点.如图，沿 EF 将梯形

11、 ABCD 翻折，使平面 AEFDL 平面 EBCF. (I)求证：BDL EG ; (n )求二面角 D-BF-C 的余弦值. 解：(I)方法一：平面 AEFD 平面 EBCF，幕 EF AD,. AEF , 2 .AE 丄 EF, AE平面 EBCF , AE EF, AE 丄 BE, 又 BE 丄 EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz . EA = 2,. EB = 2，又幕 G 为 BC 的中点，BC=4, 二 BG =2 .则 A (0, 0, 2) , B ( 2, 0, 0), G (2, 2, 0), D (0, 2, 2), E (0, 0, 0), 方法二：作 DHL

12、EF 于 H ,连 BH, GH, 由平面AEFD 平面EBCF知：DH 丄平面 EBCF 而 EG 二平面 EBCF 故 EGL DH EF/BC, AEH = EBC , AE _ EF , AE / DH AD/ EF , AEHD 2 为平行四边形， EH =AD =2,. EH /BC,EH = BC,且 jr EBC ,BE二BC = 2 , 四边形 BGHE 为正方形， 2 EG 丄 BH, BHDHk H,故 EGL 平面 DBH 而 BD 二平面 DBH - EGL BD. . 5 分 (或者直接利用三垂线定理得出结果)C A G C BD (-2 , 2 , 2), EG

13、二(2 , 2 , 0), BD EG 二(-2 , 2 , 2) u (2 , 0)= 0 , BD _ EG y (n )设平面 DBF 的法向量为 m=(x,y,z) , AE=2 B (2, 0, 0), D ( 0, 2, 2), F (0, 3, 0), BF = (2,3,0), BD = (-2, 2, 2), nBD =0 nBF = 0 即(x,y,z)J(2,=0 2x+2y+2z = 0 =0 -2x 3y = 0 取 x=3,y=2,z=1, - n = (3,2,1) AE _ 面 BCF ,.面 BCF 一个法向量为 n(0,0,1), _ /T4 miln?i

14、14 由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为一 14 14 10 分 21.(本小题满分 10 分) 如图，在五面体 ABCDE F 中，FA _平面 ABCD 1 AD/BC/FE , AB_AD, AF= AB= BC= FE= AD. 3 (I)求异面直线 BF 与 DE 所成角的余弦值； (n)在线段 CE 上是否存在点 M,使得直线 AM 与平 面 CDE 所成角的正弦值为 6 ?若存在，试确定点 3 的位置；若不存在，请说明理由 不妨设 AB=1 则 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0), F(0,0,1), E(0,1,1) (I) BF =(-1,0,1),DE =(0,-2,1) cos：BF,DE 二一: - |BF | DE | -异面直线 BF 与 DE 所成角的 .10 10 (n)设平面 CDE 的一个法向量为n =(x,y,z) 则 cos= M 2 分 10 余弦值 10 v CD = (-l:2:0):D =(0-2,1) 一由 -x + 2 y = 0 -亠r +二二I v = lA-=r = 2 / ；i=(2;l;2) 设存在点播(込ji,二：)満足条件