连续函数的运算和性质课件

1、第十节第十节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质定理定理1若函数若函数)(),(xgxf在点在点0 x处连续处连续, ,则则),()(xgxf ),()(xgxf )()(xgxf)0)(0 xg在点在点0 x处也连续处也连续. .例如例如, ,在在,sin xxcos),( 内连续内连续, ,故故,cossintanxxx ,sincoscotxxx ,cos1secxx xxsin1csc 在其定义域内连续在其定义域内连续. .反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数)(xfy 在区间在区间xI上上单调减少单调减少)且连续且连续, ,则它的反函数则它的反函数)(yx 也在对

2、应也在对应的区间的区间),(|xyIxxfyyI 上上调减少调减少)且连续且连续. .证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单例如例如, ,xysin 在在2,2 上单调增加且连续上单调增加且连续, ,故故xyarcsin 在在1 , 1 上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续. .同理同理xyarccos 在在1 , 1 上单调减少且连续上单调减少且连续; ;xyarctan 在区间在区间),( 内单调增加且连续内单调增加且连续; ;反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数)(xfy 在区间在区间xI上上单调减少单调减少)且连续且连续, ,则它的反函数则它的反函数

3、)(yx 也在对应也在对应的区间的区间),(|xyIxxfyyI 上上调减少调减少)且连续且连续. .证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单同理同理xyarccos 在在1 , 1 上单调减少且连续上单调减少且连续; ;xyarctan 在区间在区间),( 内单调增加且连续内单调增加且连续; ;反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数)(xfy 在区间在区间xI上上单调减少单调减少)且连续且连续, ,则它的反函数则它的反函数)(yx 也在对应也在对应的区间的区间),(|xyIxxfyyI 上上调减少调减少)且连续且连续. . 证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单

4、调增加(或单或单同理同理xyarccos 在在1 , 1 上单调减少且连续上单调减少且连续; ;xyarctan 在区间在区间),( 内单调增加且连续内单调增加且连续; ;总之总之, ,反三角函数反三角函数,arcsinx,arccosx,arctan xxarccot在它们的定义域内都是连续的在它们的定义域内都是连续的. .xarcycot 在区间在区间),( 内单调减少且连续内单调减少且连续. .复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理3若若,)(lim0axxx 函数函数)(uf在点在点a处处连续连续, ,则有则有)()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 证证)(uf在点在

5、点au 处连续处连续, , 0 , 0 当当 |au时时, ,恒有恒有,| )()(| afuf又又,)(lim0axxx 对上述对上述, , 0 当当 |00 xx时时, ,恒有恒有|)(|auax , 结合上述两步得结合上述两步得, , 0 , 0 当当复合函数的连续性复合函数的连续性结合上述两步得结合上述两步得, , 0 , 0 当当复合函数的连续性复合函数的连续性结合上述两步得结合上述两步得, , 0 , 0 当当, |00 xx时时, ,恒有恒有| )()(| )()(|afxfafuf )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 意义意义1. .2. .定理定理4设函数

6、设函数)(xu 在点在点0 x处连续处连续, ,且且,)(00ux 而函数而函数)(ufy 在点在点0uu 处连续处连续,极限符号可以与连续函数符号互换极限符号可以与连续函数符号互换;)(xu 的理论依据的理论依据.定理定理3给出了变量代换给出了变量代换复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理4设函数设函数)(xu 在点在点0 x处连续处连续, ,且且,)(00ux 而函数而函数)(ufy 在点在点0uu 处连续处连续,复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理4设函数设函数)(xu 在点在点0 x处连续处连续, ,且且,)(00ux 而函数而函数)(ufy 在点在点0uu 处连续处连续,则复合

7、函数则复合函数)(xf 在点在点0 x处也连续处也连续. .注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况. .例如例如, ,xu1 在在), 0()0 ,( 内连续内连续, ,uysin 在在),( 内连续内连续, ,xy1sin 在在), 0()0 ,( 内连续内连续. .例例 1求求.)1ln(lim0 xxx 解解xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim xxx10)1(limlneln .1 例例 2 求求. )1cos(limxxx 解解 xxxxxxx1)1)(1(limcos xxx11limcos0cos .1 )1cos(limxxx 例例 3 求求.1l

8、im0 xaxx 解解令令,1yax 则则)1(logyxa ,ln)1ln(ay 易见当易见当0 x时时 ,0y所以所以xaxx1lim0 )1ln(lnlim0yayy yyya10)1ln(lnlim .lna 例例 4 求求.)21(limsin30 xxx 解解因为因为xxsin3)21( ,)21(6sin121 xxx所以所以6sin210sin30)21(lim)21(lim xxxxxxxx.6e 初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数的的;指数函数指数函数xay )1, 0( aa在在),( 内单调内单调且连续且连续;对数函数对数函数xya

9、log )1, 0( aa在在), 0(内单内单调且连续调且连续; xy xaalog ,uay xualog 在在), 0(内连续内连续. .讨论讨论 的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续). .在它们的定义域内是连续在它们的定义域内是连续初等函数的连续性初等函数的连续性讨论讨论 的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续). .初等函数的连续性初等函数的连续性讨论讨论 的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续). .定理定理5基本初等函数基本初等函数定理定理6一切初等函数一切初等函数定义区间定义区间是指是指注意注意1.但在其但在其定义域内不一定连

10、续定义域内不一定连续. .例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义. .,)1(32 xxy0: xD及及. 1 x在定义域内是连续的在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,初等函数的连续性初等函数的连续性在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义. .,)1(32 xxy0: xD及及. 1 x初等函数的连续性初等函数的连续性在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义.

11、 .,)1(32 xxy0: xD及及. 1 x在在0点的领域内没有定义点的领域内没有定义, , 函数在区间函数在区间), 1 上上2.)()(lim00 xfxfxx 0(x定义区间定义区间). .连续连续. .初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法(代入法代入法)例例 5 求求.12lim2 xexx解解因为因为12)( xexfx是初等函数是初等函数 , 且且20 x是其定义区间内的点是其定义区间内的点 , 所以所以12)( xexfx在点在点20 x处连续处连续 , 于是于是12lim2 xexx1222 e.52e 幂指函数幂指函数因为因为,)()(ln)()(xuxvxvexu

12、故幂指函数可化为复合函数故幂指函数可化为复合函数. .易见易见:若若axu )(lim, 0 ,)(limbxv 则则)(ln)()(lim)(limxuxvxvexu )(ln)(limxuxve abeln .ba 即即bxvaxu )()(lim注意公式成立的条件注意公式成立的条件例例6求求.)2(lim110 xxxex称为称为幂指函数幂指函数.解解11lim01100)2(lim)2(lim xxxxxxxexex12 .21 形如形如)()()(xvxuxf 的函数的函数)0)( xu有界性最大值和最小值定理有界性最大值和最小值定理定义定义对于在区间对于在区间I上有定义的函数上有定

13、义的函数),(xf如果如果有有,0Ix 使得对于任一使得对于任一Ix 都有都有)()(0 xfxf )()(0 xfxf 则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf在区间在区间I上的最大上的最大(小小)值值. .例如例如, ,sin1xy ,2 , 0 x, 2max y. 0min y,sgn xy 在在),( 上上, , 1max y. 1min y在在), 0(上上, ,. 1minmax yy定理定理1( (有界性和最大值和最小值定理有界性和最大值和最小值定理) ) 在闭区间在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(x

14、fy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.xyo)(xfy 21121,31,110,1)(xxxxxxf又如又如, ,函数函数 证证 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 假如假如f(x)在闭区间在闭区间a,b上无界上无界,将将a,b等分为两个小区间等分为两个小区间,a,(a+b)/2与与(a+b)/2,b,则则f(x)至少在其中之一上无界至少在其中之一上无界,把它记为把它

15、记为a1,b1;再将它等分为两再将它等分为两个小区间个小区间a1,(a1+b1)/2与与(a1+b1)/2,b1,同样同样f(x)至少在其中之至少在其中之一上无界一上无界,把它记为把它记为a2,b2;这样的步骤一直做下去这样的步骤一直做下去, ,便得到便得到一个闭区间套一个闭区间套an,bn, anan+1,bnbn+1, 区间长度趋于零，区间长度趋于零，且且f(x)在其中任何一个闭区间在其中任何一个闭区间an,bn上都无界。上都无界。an单调上单调上升有上界升有上界,bn单调下降有下界，又由于单调下降有下界，又由于an-bn0,故故存存在在a b,使使 =liman=limbn (n) 因为

16、因为a b,而而f(x)在点在点 处连续处连续,由函数极限的局部有界性由函数极限的局部有界性定理知存在定理知存在 0,M0,对对 x u( , ) a,b,有有 |f(x)| M 但对充分大的但对充分大的n应有应有an bn u( , ) a,b,于是就得到于是就得到f(x)在这样的在这样的an,bn上有界上有界,构成构成矛盾矛盾. 因此函数因此函数 f (x)在在a b上有上有界界 下面再证：设下面再证：设函数函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续，则上连续，则 f(x)在在a b上必能取得到最大值和最小值。上必能取得到最大值和最小值。 证证 构造辅助函数法反证。构造辅助函数法反证。 设函

17、数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 设设M=supf(x), 但对但对 x a,b,f(x) M.考虑辅助函数考虑辅助函数 F(x)=1/(M-f (x) 则则F(x)是是a b上的恒正的连续函数上的恒正的连续函数,由有界性定理可知，由有界性定理可知， 存在正数存在正数K，使得，使得F(x) K。从而。从而 f (x) M-1/K x a,b 这与这与M是是f(x)为为a,b上的上确界矛盾。因此存在上的上确界矛盾。因此存在 x a,b,使使 f ( ) =M。 同理可证存在同理可证存在a,b,使得使得f( )=inff(x)=m。定理定理2.零点定理与介值定理零点定理与介值定理

18、定义定义如果如果0 x使使, 0)(0 xf则则0 x称为函数称为函数)(xf的零点的零点. .零点定理零点定理设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,且且)(af与与)(bf异号异号(即即),0)()( bfaf即至少有即至少有一点一点 ),(ba 使使. 0)( f那么在开区那么在开区),(ba内至少有函数内至少有函数间间)(xf的一个零点的一个零点, ,即方程即方程0)( xf在在),(ba内至少存在一个实根内至少存在一个实根. . 证明证明 用区间套定理证。用区间套定理证。 不失一般性不失一般性, 设设f(a)0 但对但对 x a,b,都有都有f(x) 0。将。将a

19、,b等分等分,用用a1,b1表示满足表示满足f(a1)0的那一半区间。再将的那一半区间。再将a1,b1等分等分,用用a2,b2表示满表示满足足f(a2)0的那一半区间，如此继续下去，便得到一个的那一半区间，如此继续下去，便得到一个闭区间套闭区间套 a1,b1 a2,b2 an,bn 满足满足f(an)0，且，且bn-an=(b-a)/2n0 (n)由闭区间套定理，存在由闭区间套定理，存在(a,b),使得使得 liman=limbn= (n)再由再由f(x)的连续性的连续性,得得 f ( )=limf(an) 0 , f ( )=limf(bn) 0 (n) 这就表明这就表明f( )=0。几何解

20、释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyab)(xfy OMBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 推论推论 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值. .必取得介于最大值必取得介于最大值例例 7证

21、证证明方程证明方程01423 xx少有一个实根少有一个实根 .令令,14)(23 xxxf则则)(xf在在1, 0上连续上连续 .又又,01)0( f,02)1( f由零点定理由零点定理 , )1, 0( 使使,0)( f即即.01423 方程方程01423 xx根根. 在区间在区间)1, 0(内至内至在在)1, 0(内至少有一个实内至少有一个实例例 8证证设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续上连续 , 且且,)(aaf bbf )(证明证明 :),(ba 使得使得.)( f令令,)()(xxfxF 则则)(xF在在,ba上连续上连续 .而而,0)()( aafaF,0)()( bbf

22、bF由零点定理由零点定理 , ),(ba 使使即即.0)()( fF.)( f例例 9证证证明方程证明方程0312111 xxx含于含于)3, 2(),2, 1(内的两个实根内的两个实根 .有分别包有分别包当当, 3, 2, 1 x两端两端 , 得得.0)2)(1()3)(1()3)(2( xxxxxx设设, )2)(1()3)(1()3)(2()( xxxxxxxf则则,02)2()1()1( f,01)1(1)2( f,0212)3( f用用)3)(2)(1( xxx乘方程乘方程例例 9证证证明方程证明方程0312111 xxx含于含于)3, 2(),2, 1(内的两个实根内的两个实根 .

23、有分别包有分别包设设, )2)(1()3)(1()3)(2()( xxxxxxxf则则,02)2()1()1( f,01)1(1)2( f,0212)3( f由零点定理知由零点定理知 ,)(xf在在)2, 1(与与)3, 2(内至少各有内至少各有例例 9证证证明方程证明方程0312111 xxx含于含于)3, 2(),2, 1(内的两个实根内的两个实根 .有分别包有分别包设设, )2)(1()3)(1()3)(2()( xxxxxxxf则则,02)2()1()1( f,01)1(1)2( f,0212)3( f一个零点一个零点 , 即原方程在即原方程在)2, 1(与与)3, 2(内至少各有内至

24、少各有一个实根一个实根 . 例例1010 设设f(x)是是0,1上的连续函数上的连续函数,且且f(0)=f(1), 证明证明 对任意的自然数对任意的自然数n, 必存在一点必存在一点0,1, 使使 f( )=f( +1/n) 证明证明 这类问题通常的思路是构造辅助函数。这类问题通常的思路是构造辅助函数。 令令 F(x)= f (x)-f (x+1/n), 显然显然F(x)是是0,1-1/n上的上的连续函数连续函数, 分别令分别令 x=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n, (n-1)/n，则，则 F(0)+F(1/n)+F(2/n)+F(0)+F(1/n)+F(2/n)+ F(n-1)/

25、n) = f(0)-f(1) =0 因此因此F(0),F(1/n),F(n-1/n)这这n个函数值中必存在个函数值中必存在0 km n-1使得使得F(k/n)F(m/n)0,x 0,1-1/n, 于是，对于是，对k=0,1,n-1,n-1,有有 F( (k/ /n)0 )0 f (k/n)f(k+1)/n) 因此推出因此推出f(0)f(1/n)f(1)，可见与题设矛盾，可见与题设矛盾。例例 11证证且且证明证明 :设设在在上连续上连续 ,)(xf), a,0)( af,0)(lim Axfx在在上至少有一点上至少有一点),( a, 使使.0)( f便可对便可对得到所需的结论得到所需的结论.存在

26、存在有有即即只要能找到一点只要能找到一点,1ax 使使,0)(1 xf在在上应用零点定理上应用零点定理 ,)(xf,1xa因因,0)(lim Axfx故对故对,02|0 A ,00 X当当时时 ,0Xx ,|)(|0 Axf.022|)(2| AAAxfAA例例 11证证且且证明证明 :设设在在上连续上连续 ,)(xf), a,0)( af,0)(lim Axfx在在上至少有一点上至少有一点),( a, 使使.0)( f有有即即当当时时 ,0Xx ,|)(|0 Axf.022|)(2| AAAxfAA例例 11证证且且证明证明 :设设在在上连续上连续 ,)(xf), a,0)( af,0)(l

27、im Axfx在在上至少有一点上至少有一点),( a, 使使.0)( f有有即即当当时时 ,0Xx ,|)(|0 Axf.022|)(2| AAAxfAA由零由零点定理知点定理知 :取实数取实数,01Xx 这样这样,0)( af而而,0)(1 xf在在内至少有一点内至少有一点),(1xa, 使使.0)( f由于由于),(),(1 axa也就是说在也就是说在),( a内至少内至少有一点有一点, 使使.0)( f1. 设设,1)(,sgn)(2xxgxxf 试研究复合函数试研究复合函数)(xgf与与)(xfg的连续性的连续性 .2. 估计方程估计方程0263 xx的根的位置的根的位置 .课堂练习课堂练习).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使使得得证证明明必必有有一一点点且且上上连连续续在在闭闭区区间间设设3.3.1. 设设,1)(,sgn)(2xxgxxf 试研究复合函数试研究复合函数)(xgf与与)(xfg的连续性的连续性 .解解,1)(2xxg ， 0, 10, 00, 1)(xxxxf.