南京师范大学_高等数学_期末试卷20套.

1、南京师范大学高等数学 (下册 )期末考试试卷 1(6 学时 )学号姓名班级成绩一、填空题（ 4'8=32' ）：1、 a, b, c , 为单位向量，且满足 a b c0 则 a bb c c a2、曲线 y2x 绕 x 轴旋转所得的曲面方程为z03、设函数 zx2xy y2 , ，则2 z =x y.4、球面 x2y2z29 在点 (1,2, 2) 处的切平面方程为1x5、设二次积分Idx f (x, y) dy ， 则 交 换 积 分 次 序 后 得00I=6、闭区域 D 由分段光滑的曲线L 围成，函数 P x, y ,Q x, y 在 D 上有一阶连续偏导数，则有（格林公

2、式）：.7、微分方程8、微分方程二、选择题（2yy2x 的特解可设为yedy3x1 的通解为dx3'515' ）：1、设积分区域 D 由坐标面和平面 x 2 y 3z6 围成，则三重积分dvD（）（A）6；（B）12；（C）18；（D）362、微分方程 y" y' ( y ") 3y43x0 的阶数是（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）43、设有平面 : x2y z 1 0和直线 L : x1 y 1z 6 ,则 与 L 的夹角112（A） ；（B）；64（C） ；（D） 324、二元函数f (在 点(x0 , y0 )处满足关系x, y（）（A

3、）可微（指全微分存在）可导（指偏导数存在）连续；（ B）可微 可导 连续；（ C）可微 可导，且可微 连续，但可导不一定连续；（ D）可导 连续，但可导不一定可微n5、设无穷级数1绝对 收敛，则n 1 n3 p（）（A） p 1；（B） p3 ； （C） p2 ； （D） p 2三、计算题（ 6'5=30'）：1、设函数 u f ( x, y, z) 可微， zx2y2 ，求 u ， u ；xy2、已知方程 x2y 24 y z23 确定函数 zz(x, y) , 求 z 和 z ；xy3、求幂级数2n x2 n 1的收敛域；n14、将函数 f ( x)ln 1x 展开为 x

4、的幂级数；1x5、求微分方程 x2 dy (2xyx1)dx0的通解；四、（ 8'）求函数 f ( x, y)4( xy)x22 y2 的极值五、（ 7' ）计算( y2x)d，其中 D 是由直线 yx, y2x 及y 2 所围成D的闭区域六、（ 8'）求旋转抛物面 z6x2y 2 和锥面 zx2y2围成的立体的体积期末考试试卷 2(6 学时 )一、填空题（ 4'7=28 ' ）：1、已知直线过点 P(3,2, 4) , Q (6,3, 2) , 则直线方程为2、函数 f ( x, y)ln(9x2y2 ) 的定义域是x2y 243、设函数z2 x2 3

5、 y2则全微分 dze,4、在 ( 1,1)内，幂级数 1x2x4x6的和函数为5、幂级数( x1)nn的收敛半径 Rn 1n 26、设 C 是在第一象限内的圆： xcost ， ysin t （ 0t），则2xydsC7、微分方程 y"8 y ' 16 y0 的通解为二、选择题（ 3'618'）：1、下列方程表示的曲面为旋转曲面的是（A） x2y21 ；（ ）49B（C） z x2y 2 ；（ ）D（）22xyz2 ；2 3x 2 2 y 2 z2 4 2、设 f x' ( x0 , y0 )0 ， f y' (x0 , y0 )0 ，则在点

6、 (x0 , y0 ) 处函数 f ( x, y)（）（A）连续；（B）一定取得极值；（C）可能取得极值；（D）全微分为零3、下列无穷级数中，绝对收敛的是（）.（A）sin3 n（B）n 1； （C）n 1；（ D）2；( 1)( 1)n1n2n 1nn 1nn2n 1 1n2 4、设积分区域 D : x2y23 ，则二重积分( 3)dxdyD（）（A）9；（B）3 ；（C） 3；（D） 95、微分方程 y" 2 y ' 3 y5e2 x 的一个特解为（）（A） 5 e2x ；（ ） 5 e2 x ； （ ） 2e2 x ； （ ） 5 e2 x 9BCD326、D 是点 0

7、,0, 1,0 , 1,1为顶点的三角形区域，f x, y 在 D 上连续，则二重积分f ,xyD（）.11x, y dy;（B）（A） dxf001xx, y dy;（D）（C） dxf00三、计算题（ 6'4 =24' ）：11dxfx, y dy;0 x1ydyfx, y dx.001、已知 z(1xy) x y ，求函数 z 在点 P(1,1) 处的偏导数z 和 z ；xy2、设zf ( x2y2 ) ，f具有二阶导数，求2z ；x y3、判断级数(1)n的敛散性；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件n 1 n21收敛；4、将函数 f ( x)ln( x21) 展开为 x

8、的幂级数；四、（ 7' ）求微分方程x23y dxxdy0 的通解五、（ 8'）某厂要用铁板作成一个体积为2m3 的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？六、计算下列积分：1、（ 7' ）计算(2 yx)d，其中D 是由抛物线yx2 和直线yx2 所D围成的闭区域2、（ 8' ）设积分区域由上半球面 z1x2y2 及平面 z0 所围成，求三重积分zdxdydz期末考试试卷 3(6 学时 )一、填空题（ 4'8=32' ）：1 、设 a( 2, 2, 1)， b(4,5,3) ，则与 a 、 b 同时垂直的单位向量为_2、 yo

9、z 面上的抛物线 z2 y2 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为3、若 f ( x, y) 在区域 D :1x2y24上恒等于 1，则f (x, y)dxdyD4、设 f ( x, y) 4( x y) x2y2 ，则其驻点为5、级数3qn 收敛，则 q 的取值为n 16、设 zuvsin t , 而 uet , vcost. 则全导数 dz.dt7、微分方程 y ' ey sin x0 的通解为8、设函数 z (1y) x ，则 dz |(1,1) =二、选择题（ 3'515' ）：1、过点（ 2， -8 ， 3）且垂直于平面x2 y3z2 0的直线方程是（）（A） (

10、 x 2) 2( y8) 3( z 3) 0 ；（B） x 2y 8 z 3 ；123（C） x 2 y 8z 3 ；（D） xyz 123283y2、若函数y(y ,x )zxyzx y所确定，则由 方 程ex（）（A） y( x1) ；（B）y；（C） yz ；（ D ）x(1y)x(1y)1yy(1xz) x(1y)3、二元函数 zf ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 处的偏导数f x' ( x0 , y0 ) 和 f y' ( x0 , y0 ) 存在是函数在该点全微分存在的（）（A）充分条件；（B）必要条件；（C）充要条件；（D）既非充分也非必要条件1y4、

11、积分 dyf ( x, y )dx 更换积分次序后为0y（）11；1x；（A）dxf (x, y)dy（ ）f (x, y)dy0Bdxx001x2；1x（C）dxf ( x, y)dy（ ） dx2 f ( x, y)dy 0D0xx5、设 Sna1 a2an （ ai0,i 1, n ），而无穷级数an 收敛，则下列n 1说法不正确的是（）（A） lim an0 ；（ ） lim Sn 存在；nBn（C） lim Sn0 ；（ ） S 为单调数列nDn三、计算题（ 6'3=18' ）：1、曲面 z4x2y2 上哪一点的切平面平行于平面2x2 yz10，并写出切平面方程；2、

12、讨论级数n 1 2n1的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是( 1)2n 1n 1绝对收敛 .13、将函数 f ( x)x22x2 展开为 ( x 1) 的幂级数；四、（7'）求微分方程 2"'2x的通解yyye五、（ 7' ）在所有对角线为2 3 的长方体中，求最大体积的长方体六、（ 7' ）计算x22 ， yx 及曲线 xy1 所围y2 d ，其中 D 是由直线 xD成的闭区域七、（ 7' ）计算arctan yd，其中 D 是由圆 x2y21, x2y24 及直线D xy 0, y x 所围成的第一象限部分。八、（ 7' ）计算曲线

13、积分(6 xy2y3 )dx (6 x2 y 3xy2 ) dy ,其中积分路线 CC是由 A(1,2) 点到 B(3, 4) 点的直线段。期末考试试卷 4(6 学时 )一、填空题（ 4'6=24' ）：1、过点 (3, 2, 1) 并且平行于 zox 面的平面方程为2、平面 x2yz8 0 和 xoy 的夹角为.3、设 uf ( x2y2z2 ) ，其中 f 为可微函数，则ux4、交换积分次序：24x2dxxf ( x, y)dy025、设 a 为常数，若级数(un a) 收敛，则 lim unnn 16、微分方程 y " 5y ' 6 y0的通解为 y二、

14、选择题（1、设3'515' ）：a和 b是 向 量 ， 则(ab)(ab（）（A） a b ；（B） 3a b ；（C） b a ；（D） a23a b b2 2、在(1,1)内，幂级数1x2x4x6的和函数为（）（A） 12 ；（B）1 2 ；（C） 12 ；（D）1 2 1 x1x1x1x3 、 二 元 函 数 z x3y33x23y29x的极小值点是（）.（A） (1,0) ；（B） (1,2) ；（C） ( 3,0) ；（ D）( 3,2) 4、下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为（）（A） (ex yex )dx(eyex y )dy0 ；（ ） dyln ( x

15、y) ；Bdx（C）xdy3)dx 0；（ ） dy x4y2( y xDdxxy25、设 C 是沿椭圆： xacost , yb sin t(0t2) 的逆时针路径，则线积分ydxxdyC（）（A）0；（B）2；（C） ab ；（D） 2 ab 三、计算题（ 6'6 =36' ）：1、求过点（ 2，0，-1 ）且与直线 x 3y 2z 1 垂直的平面方程；2322、设 zx(cos y xsin y) ，求z，2 z；exx y3、设 xln z0 ，求 z zy z ；zyxy4、讨论级数n1的敛散性；若收敛，指出是条件收敛还是绝12n 1n 1对收敛；5、求幂级数(x 3

16、)n的收敛半径和收敛区间；n 1n26、求微分方程 y 'ytan y 的通解xx四、设某工厂生产某产品的数量S (吨 ) 与所用的两种原料A，B 的数量x, y（吨）之间的关系式 S( x, y)0.005x2 y 。现用 150 万元购置原料， 已知 A，B 原料每吨单价为 1 万元和 2 万元，问怎样购进两种原料，才能使生产的数量最多？（ 7' ）五、计算 x2 yd，其中 D 是由直线 yx 与抛物线 yx2 所围成的闭区D域（ 7' ）六、计算二重积分Iex2 y2 dxdy ， D 为圆 x2y 21所包围的第一象限D中的区域（ 6' ）七、计算三重

17、积分12dxdydz，其中为三个坐标面几平面xyz1所围成的闭区域（ 5' ）期末考试试卷 5(6 学时 )一、填空题（ 4'6=24' ）：1、已知 M 1(2,2,2) 和 M 2 (1,3,0) 则与 M 1 M 2 平行的单位向量为.2、函数 zx2y2 在点 (1,2) 处沿从点(1,2) 到点 (2,23) 的方向的方向导数为3、级数1的和为1 n(n1)n、幂级数nxn1的收敛半径=.4Rn 15、微分方程 y6 y9 y( x1)e3x 的特解形式可设为6、设积分区域: x2y2z21，则dV _二、选择题（ 3'4 12' ）：1、方程

18、 y 2z20在空间直角坐标系中表示的图形是（）（A）原点；（B）圆；（C）圆柱面；（D）直线2、设u f ( xyz)可微，则ux（）（A） df yz ；（B） f x '(x, y, z) ；dx（C） f '( x, y, z) yz ；（D） df dx3、下列级数中，收敛的级数是（）（A）11；（B）nsin 1 ；n 1 n2n 1n（C）8n；（D）( 1)n 1n 1 7nn 1n!4、函数z (6x x2 )(4 y y2 )驻点个数为（）（A）6；（B）5；（C）4；（D）3三、计算题（ 6'6 =36' ）：1、求通过 x 轴和点（ 4，

19、-3 ，-1 ）的平面方程；2、已知 xyzxyz ，求 dz ；3、设 zx y ln( xy) ，求z ， z ；xy4、求微分方程 x dy3 yx4ex 的通解；dx5、求微分方程1x2y"2xy' 满足初始条件y x 01, y' x 03 的特解；6、将函数 f ( x)ln(4x) 在 x1 处展开成幂级数四、从斜边之长为 l 的一切直角三角形中 , 求有最大周长的直角三角形（ 7' ）五、计算累次积分dyysin xdx （ 7' ）0x六、求旋转抛物面 z4x2y 2 与平面 z0 所围成的立体的体积V（ 7' ）七、利用格林

20、公式计算曲线积分：(2xy4)dx(5y3x6)dy ，其中 LL为三顶点分别为(0,0) ， (3,0) ， (3, 2) 的三角形的正向边界. （ 7' ）期末考试试卷 6(6 学时 )一、填空题（ 48）：1.设 点 A（2， 1，0） ,B （3，0，4） ， BC =11， 5， 则AB=B.2.球面方程 x2y 2z22x 2z 0 的球心坐标为，球半径为.3.曲 面 z x2y2在 点 (1,1,1)的切平面方程222为.4.设f ( x, y, z） x2y 2z2，则grad f (1, 1,2) =.5. 设 zexy ，则全微分 dz.(2,1)6. 设 L 是抛

21、物线 y x2 上点 (0, 0)与点 B (1，1）之间的一段弧，则Lyds =.7.幂级数xn的收敛半径 R.n 1n8y 5y 6y xe x的特解可设为.二、选择题（ 35）：1. 下列三元数组中，可作为向量的方向余弦的是（）.A 2, 1, 2；B 1, 1,1 ；C 1, 1,1 ；D 2, 1,3 .3332223322.设xy，则zzyyx（）.A2x2 ；B12 ；C1 ；D2 y2 .(x y)( x y)x y(x y)3.幂级数1n 1的收敛域为1 n 2n xn（）.A 2,2D( 2,2)；B 2,2)；C ( 2,2；.4.二元函数 zf (x, y) 在点 (

22、x0 , y0 ) 处的两个偏导数f x ( x0 , y0 ) 与 f y ( x0 , y0 ) 存在是函数在该点处可微的（）.A 充分而非必要条件；B 必要而非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分又必要条件.2y5.f (x, y) 连续 ，更 换积 分次序dy f ( x, y) dx =0y2（）.4x2x2Adxf (x, y)dy ；Bdxf (x, y) dy ；0x0x2x422xCdxf (x, y)dy ；Ddxf ( x, y) dy .0x0x2三、（ 6）求点 ( 1.2,0)在平面 x 2 yz 10 上的投影 .四、（ 6）设 uf (x,2 xy) ，其中

23、 f具有二阶连续偏导数，求u2 ux,.x y五、（ 6 ）求函数f ( x, y)x3y33x227 y 的极值 .六、（ 6 ）求微分方程 xy yx 满足初始条件 ye 的特解 .ln xx e七、（ 6 ）判断级数1的敛散性，若收敛，求其和 .n 1 n(n1)八、求下列积分：1.（ 7' ）计算二重积分Iarctan y dxdy ，其中D 由圆 x2y21 及D xx2y24 与 yx, y0 所围成的第一象限区域.2.8' 计算曲线积分I( x3y3 )dx( y33xy2 )dy ，其中 L 是以 O(0,0) 、LA 1,0 、 B 0,1 为顶点的三角形边界

24、，沿逆时针方向.九、应用题8' ：求由曲面 zx22 y2 和 z43x22y2 围成的立体的体积 .期末考试试卷 7(6学时 )一、选择题（ 3' 5)：1. 直 线 x 1 yz 1 与 平 面 2x2 y z 3 所 成 的 角 为221（）.A;B;C;D 0.2342.点x0 , y0是函数 fx, y 的驻点，f x, y 有连续的二阶偏导数，Af "x , y,xx00Bfxy"x0 , y0 , Cf yy" x0 , y0 , 则 fx, y 在x0 , y0取得极小值的充分条件是（）.AAC B20 ， A0 ；20 ， A0

25、；BAC BCACB20 ， A0 ；20 .DAC B0，A3. 曲 面 z x2y2在点（1，-1，1）处的切平面方程为（）.A 2x 2 y z 5;B 2x 2 y z 3 ；Cx 1 y 1 z 1;Dx 1 y 1 z 1.221221dy4.一阶微分方程是y sin xdx（）.A 可分离变量的微分方程；B 齐次方程；C 齐次线性微分方程；D 非齐次线性微分方程 .5.级 数n1k（ k为不等于零的常数）1n2n 1（）.A 绝对收敛；B 发散；C 条件收敛；D 敛散性与 k 有关 .二、填空题 (4'8) ：1.设平行四边形两邻边为a2i3 jk,bjk ，则该平行四边

26、形的面积为.2. 曲面 zx2y2 与平面yz1 的交线在xOy 面上的投影曲线方程为.3.设 f ( x, y, z) x22 y23z23x2 y6z ，则在(1,1,1)'''处， fxf yfz=.4改变二次积分的积分次序22 xx2dxf ( x, y)dy =.12x5.设L是 由 yx2 , y 1 围 成 的 区 域 的 正 的 边 界 ， 则L4x3 y3x dx 3x4 y2x dy =.6.微分方程 dyexy 的通解为.dx7 已知微分方程 y"py'qy0 的特征方程的两个根 r12, r23，则该微分方程为.8在(1,1)内，幂级数1x2x4x6x8的和函数为.三、(7 ')已知平面经过两点P(1,1,1),Q (0,1,且垂直于给定的平面1)x yz 0 ，求平面的方程 .四、 (8') 已知 zf ( x y, xy) 且 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，求z2 zx,x y五、 (7 ') 解方程 dyxy.dx六、（1） (8&#