寿险精算习题及答案

1、51000* 4|q40 =2.39123911.03 52062.50习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例 4.1 】设有 100个40岁的人投保了 1000元 5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率 为3%。I 、如果各年预计死亡人数分别为 1、 2、 3、 4、 5人，计算赔付支出；II 、根据 93男女混合表，计算赔付支出。解：I表4 -死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值（1）（2）(3)=1000*(2)（4）(5)=(3)*(4)1110001.03 1970.872220001.03 21885.193330001.03 32745.434440

2、001.03 43553.955550001.03 54313.04合计-15000-13468.48根据上表可知 100张保单未来赔付支出现值为：123451000 （1 1.03 1 2 1.03 2 3 1.03 3 4 1.03 4 5 1.03 5 ） 13468 .48 （元）则每张保单未来赔付的精算现值为 134.68 元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。解： II表4乞死亡赔付现值计算表年份年内死亡人数赔付支出折现因子赔付支出现值1）（2）( 3)=1000*(2)（4）(5)=(3)*(4)11000* q40 =1.65016501.03 11601.9421000* 1|

3、q40 =1.80918091.03 21705.1631000* 2|q40 =1.98619861.03 31817.4741000* 3|q40 =2.18121811.03 41937.79合计100179124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为:10002 (q401231.03诃40 1.032|q40 1.0343|q401 .034|q401.03 5)9124.86(元)则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。【例4.2】某人在40岁时投保了 10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末， 利率为5% 根据93男女混合表计

4、算:、(总)趸缴纯保费;I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III解：I、单位趸缴纯保费为,2kvk 01 kg。(vq 40vid。v32q40)(vq40v2p4°q41v32P4°q42)0.001651.05(10.00165)0.001812(10.00165)1.052(10.001812) 0.00199331.050.00492793 (元)。II、单位赔付现值期望的方差为,A40:3|(A40:3|)22(k 1)/ 典 1、2/ 24v kq40(A40：3|)(v q40 v 1400v62q40)(人0：3|)20.00444265II

5、I 、趸缴纯保费为,10000 A；0:3 49.28 (元)8%假设【例4.3】某人在50岁时投保了 100000元30年期定期寿险，利率为xlx 1000(1)105，计算趸缴纯保费。解：趸缴纯保费为,100000 A50:30|100000k291.080(k1)k P50q50 k1 50 k k p50其中，15055 kGT q501 50 k1 51 k1 50 k155 k100000 A50:30|故，29100000 1.08 (kk 01)55 k55155 k100000 101 (1/1.08)551.08 1 (1/1.08)20468.70(元)二、终身寿险【例4

6、.4】某人在40岁时投保了 10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为 5%根据93男女混合表计算:I、 单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差; 解：I、单位趸缴纯保费为，64k 123A40v kq40 v q40 v 佰40 v 21 q40k 0II、单位赔付现值期望的方差为，III、（总）趸缴纯保费;65v64| q40 0.18853(元)。642A40(A40)1 2 *v2(k 1 k|q40 (A40)2 0.00191979k 0III、趸缴纯保费为，10000 A40 1885.29 （元）三、n年定期生存寿险【例4.5】某人在40岁时投保了 10000元2

7、0年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；1 20解: I、单位趸缴纯保费为，A40:201 V 20 P40 0.342332 （元）2II、单位赔付现值期望的方差为，v2020 P40 20 q400 03138913423-32 (元)II、单位赔付现值期望的方差为,Var(z) Var(zi)Var(Z2)2E(zJE(Z2)0.004261III、趸缴纯保费为，10000 A40：201 391722 （元）六、延期寿险【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔

8、付，如果在 40-60岁死亡，赔付50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U、 利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即，E(z)50000(M40 M65)D40100000(M65 M75)D4030000 M 75D4050000(M40 M 65)70000MD408008.487(元)50000(13451.437800.72)70000 4432.3893942.9

9、5这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即，30000M 4020000(M40 M75)E(Z) - D0D4050000(M 65 M 75)50000(M40 M65)70000M 75D40D40七、变额寿险【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率 6%参照生命表(U,93,1000000):I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期10年终身寿险；V、 延期10年的20年定期寿险；VI、延期1

10、0年的20年定期两全保险。解、I、终身寿险：人0 M50 D5011729.04 51090.530.229574da50dm50/dd50 m50/d；0 225.6235/2773.6211 -(11729.04 51090.53)(225.6235 - 60.4193209.471)/2 773.6211 - (11729.04-6149.0512374.69)/51090.53)IV、延期10年终身寿险：10|As0M 60 / D50 9301.66/51090.53 0.182062 0.028642II、20年定期寿险：您：20| (M50 M70)/D50 (11729.04-

11、 6149.05)/51090.53 0.1092181 2 2DA50:20|(DM 50 DM 70) / DD50 (M 50 M 70 ) / D502(225.6235 - 60.4193)/2 773.6211 -(11729.04 - 6149.05)/51090.53)0.047634III、20年定期两全保险：4。：20|(M50 M70 D70)/D50 (11729.04-6149.05 12374.69)/51090.53 0.3514292 20.011583DA50：20| ( DM 50 DM 70 DD70) / DD50 ( M 50 M 70 D70 ) /

12、 D502 2 2101DA50 DM 60/DD50 M60/D50 130.1094/2773.6211-(9301.66/51090.53)0.013763V、延期10年的20年定期寿险：10|A50:20|(M 60M80)/D50 (9301.66- 2802.27)/51090.53 0.12721310|DA50：20| (DM 60 DM80)/DD50 (M 60 M 80)/ D502(130.1094 -18.522)/2773.6211 - (9301.66 - 2802.27)/5 1090.53)20.024048VI、延期10年的20年定期两全保险：10|人0：2

13、0|(M60 M80 D80)/D50(9301.66- 2802.27 4312.51)/51090.53 0.2116222 210| DA50:20| (DM 60 DM 80 DD80)/DD50 (M 60 M 80 D80) / D502(130.1094-18.522 40.7625)/2773.6211-(9301.66-2802.27 4312.51)/51090.53)0.010144第三节连续型(死亡即刻赔付)寿险趸缴纯保费【例4.9】已知被保险人的寿命分布函数F(x)希0 x 100，假设0.05，分别求 A40 和 DA40。解、S(x) 1 F(x)100 xt P

14、xS(x t)S(x)100 ，100 (x100 xt)40fx(t)16060e60 0tdt1 60e60 02 tdtD A40S'(x t)S(x t)fx(t) tPx100 40 60。e6060060(x t)，100e0.050.05 t00 0.316741e2 6020.06593 ；【例4.10】(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付利息力 0.03。计算，|、Ax、DAx ； II600e2 60 0.052 0.05 t 6000.16625441元。假设余命服从常数死亡率分布,0.06、Pr(Zt0.9)0.9，求 0.9 ； III、假设有100个（X）独立同

15、分布的个体购买了该保险,每人世纪缴纳保费为(1R）Ax。在正态分布条件下要使保费有95%的概率足够支付死亡赔偿,计算tR。解、在常数死亡力下,t Px exp(ds)ut，则,II、2AxPr(Zt4 xtdtdtXe(tdt0.9)(2tdtPr(vtt （余命）的密度函数Pr(tln 0.9)In0.9 ) P (tfx(t) tPx X0.9tdt解得,0.90.9 ；Z2z100P r Zagg100(1 R)E(z)Ngg 100E(z)v 100 Var(z)N(0,1)100 R E(z)100 Var(z)1.9610 R.DAx二、延期定额寿险2Ax(A<)2lnln

16、v0.9 )P(tIn0.9 )0.9t，则,t|Inln0.9 e092ln 0.9e0.9N100E(z)100Var(z)，根据题意,PrAx【例4.11】（x）投保延期10年的终身寿险,利息力为0.06，生存函数S（x） e中位数0.05fx(t)解，S(x t)S(x)趸缴净保费:Zagg 100 E (z).100 Var (z)10°RE(z)0.95.100 Var(z)1.96DAX10 Ax保额为1单位元,0.04X0.04e 0'04(x0.04 x e1 96 山/18竺128 0.06929646520/3保险金在死亡时即刻给付。已知，（x 0）。求

17、赔付现值zt趸缴净保费、方差和t)-0.04e 0'04ta45解、D&45d2DM 45( M 45)2D (d4T)(1 i)22iDM 45( M 45 )2D (D)10| Axxe100.0610.04t0.04 e dt0.04 xe 0.1tdt100.4e 0.1t |10x0.4e10.147152方差：10Axxe100.12t0.04t0.04 e dtx0.04 e 0.16tdt100.25e 0.16t |10x 0.25e 1.60.05047410| DAx10AX2(10|Ax)0.028820484中位数0.05 :当事件Zt 0时，意味着被

18、保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率,也称为重点概率。在本例中延期范围m 10，则，10P（z 0）pr（t 10）0 0.04e0.04tdt 0.32968也就是说有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。由于0.32968<0.5，说明中位数不在重点概率上。则,r0.04e 0.04tdt 0.5 0.32968 0.17032 e 0'04110 0.17032 r 17.3286772110 中位数=17.33。第五章生存年金第一节离散型年金1、终身生存年金【例5.1】某人今年45岁，花费10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%根据93

19、U生命表计算单位元精算现值的期望和方差，并计算每年可领取的金额。儿61610605.746 帖 128D45106465.32922.7917( 24700.0312 )210.60760.05211849.2184106465.3200每年可领取金额10000/a45 10000/15.128 661.026 （元）2、定期生存年金【例5.2】某人在40岁购买了一份20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000元的给付，利率6%,根据93U生命表计算精算现值。1000 a40:20|1000解、93942.94881000 M22016.8929-30571。381711882.8

20、D40(元) 3、延期终身生存年金【例5.3】对于（30）从60岁起每年年初6000元的终身生存年金，利率为 6%试用93U生命表 求趸缴净保费。6000 30E30 a606000 D0 血 6000 血解、D30 D60D306000 305710.381710787.38170037.78674、延期定期生存年金【例5.4】某人在30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金，如果被保险人到70岁依然存活，则从70岁起获得生存年金。如果年金每年 年初支付一次，每次支付 6000元，利率6%根据93U生命表计算趸缴净保费。30解、趸缴净保费40|a30

21、)101 V 6000 (dD60D306000170037.78671.06 (1 1.06 10)0.0626606.0247 109986.26476000 (ai0|V30p3040|a30)6000(a10| 30 E3011205.45或者，趸缴净保费6000 帀 10|360)30E30101 v 6000 (dNr、)D011205.45三、年付一次变额生存年金1、般变额生存年金【例5.5】某人30岁购买从60岁起支付的生存年金,契约规定：被保险人60-69岁每年付给6000元，70-79岁每年付给7000元，80岁后每年付给8000元。在预定利率6%条件下，根据93U表计算趸

22、缴净保费。解、保费600030 E30a60:10|7000 40 E30a7010|8000 50 E30a8010|6000D60D30N60 N707000 D0D60D30业险 8000 -D80D 70D30N80 N90D80（6000 N601000 N701000 N808000 N90） D3011455.98 （元）2、等额递增生存年金【例5.6】某人在50岁时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始每年一次，给付额第一年为5000元、第二年5500元、第三年6000元。计算这笔年金的精算现值。解、可以理解为一个每年支付 4500元的3年期等额生存年金加上一个每年递增500

23、元的3年期等额递增生存年金，则, 精算现值 4500a5o 5OO(la)5o (4500 N5i 500S5i) / dsq 75416.67 (元) 五、年付多次生存年金 1、年付r次终身生存年金【例5.7】在例5.3中，若年金每月支付一次，求趸缴净保费。 解、净保费简算法：6000 3oa302)6000 (30| a3012 1302 12净保费简算法：6000 3O|a302) (r)ii(r)iAxd(r)6000E30) 6000 24N60 11D6010357.0824D30(元)1/rr (1 i) 1 i Mx/Dxr2 (1 i)1/r 1 1 (1 i) 1/r940

24、35.82(元)12 (1.06112 1) 0.06 14730.19 170037.79211211212 (1.06 1) (1 1.06 )【例5.8】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死 亡年年末获赔10000元。如果利率6%根据93U表计算精算现值。解、这张保单由定期寿险和延期终身生存年金构成，精算现值为，1(12)M30 M6024N60 11D6010676.33(元)10000 S 6000 30|总 10000 甘 6000第六章均衡净保费第一节离散型均衡净保费一、全期缴纳的均衡净保费【例6.1】某人60岁购买了一份1000元的终身

25、人寿保险，每年初缴付保费，终身缴付。已知 利率6%按93U表计算死亡年年末赔付的年缴均衡净保费。1000 P60解、N609301.6635305710.381730.4264(元)2、定期寿险:Px：n|a x:n|1x：n| ，Ax:n|Mx Mx nax:n |NxNx【例6.2】某人40岁购买了 3年期1000元定期寿险,保险金在死亡年年末赔付,保险费每年初1000缴付保费，已知利率6%按93U表分别计算2和3年内的缴均衡净保费。解、1000卩4爲M 40M 43N 40N 4313451.4266 -12997.28861422016.89 29 -1156275.06 661.70

26、91000 2P40:3|A40:3|a40:2|1000 % % 100042669972886N40 N421422016.8929 -1239594.75262.48955Pa45:5|500 (DA) 45:16|5P1500( DA)45：16|500a45:5|16MN45N50500 16*47940.6403-1333419.0383 629432.29383041784.5773-2281977.229541.【例6.3】张某今年30岁购买了生存年金，从 60岁起每年年初获6000元生存年金，利率6% 如果保费在30和10年内均衡缴付，根据93U表分别计算年均衡净保费。解、张

27、某30岁购买的是一份延期30年的终身生存年金，如果 30内均衡缴付，则有，P( 30|a30)600030|a306000N606000 305710.3817752.3459a30:30|N30N602743767.51 18-305710.3817如果10内均衡缴付，则有，10 P(30冃30)600030©306000N606000 305710.38171387.7522a30:10|N30N402743767.51 18-1422016.8929【例6.4】某人在45岁时购买寿险，契约规定若在第一年内死亡，给付保险金8000元，以后多存活一年后死亡，保险金减少500元，保险

28、金额减少到零时，合同终止。若保险金额在死 亡年末付，保费5年内缴清。利率为4%根据03M表计算年缴净保费。解、该人购买的是定期16年递减寿险，每年递减额为 500元。均衡方程式为,0第二节连续型均衡净保费【例6.5】设生存函数lx-(x1000)0.05，试求40岁的人投保终身寿险的连续型均衡净保费。解、tPxlxtlx100 xt100 xfx(t)tPxfx(t)100 x，当 x 40 时，6060则有,fx(t)dt16060etdt 0.3167所以,A40a401A400.0232第四节一年多次缴的均衡净保费【例6.6】(25)投保35年期的定期寿险,保险金额为10000元，保费在

29、每月月初缴纳，保险金在死亡年末付给，利率4%根据93U表计算I、全期缴纳月保费；II、10年限期缴纳的月保费。 解、I、年缴12次的年净保费：(12)(A25：35|)A25:35|a(12)25:35|10000M 25 M 6012 1N25 N60( D25 D60)2 121000054683.2936 39801.662621.65 118138148.1240 1134383.2491(367688.9906 83431.7875)月保费为，P(12)(A25朋)/12 1.8042【例6.7】对于（40）的20年定期寿险，如果被保险人在保险期内死亡，除了赔付100000元外，还退

30、还过去已缴净保费的累积。假设利率5%保险赔付在死亡年末，保险费每年初缴付一次、20年付清，根据93U表计算以下几种情况的年缴均衡净保费。I、退换保费部分不计利息；II、退换保费部分按3%十复利；解、设年缴均衡净保费为 P,则,I、不计利息；已缴净保费的累积虽然不计息,但给付以保险人在保险期内死亡为条件，这就构成定期递增的寿险,其收支平衡式为,1 1P a40:20|100000 A40:20|P (IA)40:20| 解得,1P 100000 A40:20|P 1a40:20|(IA) 100000(N40(M 40 M 60)N 60)(R40R602 0746.29M 60 )如果不退还还

31、过去已缴净保费，II、按3%十复利：如果退还保费以利息率1P 100000 A40 莎a40:20|100000 (m40 m60)(N40 N60)386.65j计息，退还保费部分的给付是一个随被保险人死亡时间变动的年金终值，即,bk 1 Ps6，其现值变量为，W(0 k n)精算现值为,收支平衡式为,100000PE(W)a40:20|1 k 1Vsij0n 1k 1_k|qxSVSiT|jk|qx，令 k 0100000亶莎P S，解得,0.706664922A1 - dQ20| a40:20| S104X 409.2965第二章责任准备金第一节离散型责任准备金一、将来法全期缴费责任准备

32、金【例7.1】设有1000个40岁的人同时投保1000元5年定期寿险，保费在 5年内均衡缴付。当利 率为6%根据93U生命表分析未来5年预期净保费收入和预期赔付支出。解、每人年缴净保费为，1000 P4爲a40:5|m40M 4513451.4312667.171000401000 -1.876062N40N451422016.881003984.101、终身寿险【例7.2】（35）投保1单位元终身寿险，保险金在死亡年末给付，保费在每年年初缴纳。在10V35M 45M 35N 45D45N35D4512667.1769496.4614116.121985692.021003984.1169496.460.07957M 55D55M 35N 55N35D5510611.8737176.2714116.121985692.02469304.4337176.270.195715V35 山 解、D40M 35N4013451.4314116.121422016.89N 35D