mathematics第8讲

1、软 件 介 绍第8讲 线性代数的数值计算2/67 线性代数是应用数学的一个重要分支，它是科技与线性代数是应用数学的一个重要分支，它是科技与工程中线性模型问题研究与求解的最主要工具，因而工程中线性模型问题研究与求解的最主要工具，因而有着广泛的应用。有着广泛的应用。 线性代数研究的主要内容是矩阵和线性方程组的性线性代数研究的主要内容是矩阵和线性方程组的性质与求解，有时也包括线性空间和二次型的讨论。质与求解，有时也包括线性空间和二次型的讨论。第第8讲讲 线性代数的数值计算线性代数的数值计算3/67第第8讲讲 线性代数的数值计算线性代数的数值计算8.1 矩阵矩阵8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量

2、8.3 线性方程组求解线性方程组求解8.4 探索实验探索实验4/678.1 矩阵矩阵 在前面第在前面第1章章1.4节关于表的介绍中我们看到，一个节关于表的介绍中我们看到，一个二维的表与一个矩阵代表着相同的内容，它们只是在二维的表与一个矩阵代表着相同的内容，它们只是在不同领域里的不同叫法，在数学里叫它们为矩阵，而不同领域里的不同叫法，在数学里叫它们为矩阵，而在文字处理与数据处理中常称之为表在文字处理与数据处理中常称之为表. 从从Mathematica角度看，向量和矩阵只是一种特殊角度看，向量和矩阵只是一种特殊的表，因此在描述和生成矩阵时，我们可以充分利用的表，因此在描述和生成矩阵时，我们可以充分

3、利用表这一工具。表这一工具。5/678.1 矩阵矩阵8.1.1 矩阵的生成p1. 当矩阵的阶数比较低时，可以用直接输入法生成矩当矩阵的阶数比较低时，可以用直接输入法生成矩阵阵【例【例8-1】矩阵的生成】矩阵的生成A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;(A的列表形式的列表形式)A/MatrixForm(将将A写成矩阵的形式写成矩阵的形式)运行后得：运行后得：6/678.1 矩阵矩阵8.1.1 矩阵的生成p2. 当矩阵的阶数比较高时，可以利用建表函数来生成当矩阵的阶数比较高时，可以利用建表函数来生成矩阵矩阵Arraya，m，n生成生成m n阶的矩阵，它的阶的矩阵，它的i行行j

4、列元素是列元素是ai, jTableai，j，i，m，j，n同上同上Tablefij，i，m，j，n生成生成m n阶的矩阵，它的阶的矩阵，它的i行行j列元素按通项列元素按通项fij的规律的规律取得取得7/678.1 矩阵矩阵8.1.1 矩阵的生成p2. 当矩阵的阶数比较高时，可以利用建表函数来生成当矩阵的阶数比较高时，可以利用建表函数来生成矩阵矩阵【例【例8-2】生成元素为】生成元素为hij = 1/(i + j 1)的的m n阶矩阵，阶矩阵，此阵称为此阵称为Hilbert矩阵。矩阵。H = Table1/(i + j 1), i, 3, j, 4;MatrixFormH8/678.1 矩阵矩

5、阵8.1.1 矩阵的生成p3. 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成Table0，m，nIdentityMatrixnDiagonalMatrixlistTableRandom，m，n 生成一个生成一个m n阶随机元素阵，元素的值在阶随机元素阵，元素的值在0与与1之间之间TableIfi=j，1，0，j，m，j，n 生成一个生成一个m n阶的下三角矩阵阶的下三角矩阵生成一个生成一个m n阶阶0元素矩阵元素矩阵生成一个生成一个n阶单位矩阵阶单位矩阵用表用表list中的元素生成中的元素生成一个对角阵一个对角阵9/678.1 矩阵矩阵8.1.1 矩阵的生成p3. 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成【例【例8-3】

6、(1) 生成生成0元素阵；元素阵；Table0, 2, 3;%/MatrixForm (2) 生成单位阵；生成单位阵；IdentityMatrix3;%/MatrixForm (3) 生成对角阵；生成对角阵；DiagonalMatrixa, b, c, d;%/MatrixForm10/678.1 矩阵矩阵8.1.1 矩阵的生成p3. 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成【例【例8-3】(4) 生成随机元素阵；生成随机元素阵；TableRandom, 2, 2 (5) 生成上三角阵；生成上三角阵；TableIfi =j, 5, 0, i, 3, j, 4;%/MatrixForm11/678.1 矩阵

7、矩阵8.1.2 矩阵的取块 在矩阵运算中有时需要提取它的一部分元素在矩阵运算中有时需要提取它的一部分元素(块块)参参与运算，比如提取一个元素，一行元素，一列元素，与运算，比如提取一个元素，一行元素，一列元素，或者一个子矩阵等，方法如下：或者一个子矩阵等，方法如下：Ai，j 取出矩阵取出矩阵A的第的第i行第行第j列元素列元素Ai取出矩阵取出矩阵A中的第中的第i行元素行元素AAll，j取出矩阵取出矩阵A中的第中的第j列元素列元素Ai1，i2，ip，j1，j2，jqTakeA，i0，i1，j0，j1TrA，List 取出按列表给出的矩阵取出按列表给出的矩阵A的对角线元素的对角线元素取出由取出由i1，

8、i2，ip行，行，j1，j2，jq列列组成的子阵组成的子阵取出由取出由A的的i0行到行到i1行和行和j0到到j1列组成的子阵列组成的子阵12/678.1 矩阵矩阵8.1.2 矩阵的取块【例【例8-4】已知矩阵】已知矩阵B = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5。MatrixFormB则有则有13/678.1 矩阵矩阵8.1.2 矩阵的取块【例【例8-4】已知矩阵】已知矩阵B2, 3 =

9、 6.9(将将B中中2行行3列元素列元素2.3重新赋值为重新赋值为6.9)B2(取出重新赋值后的第取出重新赋值后的第2行行)BAll, 3(取出重新赋值后的第取出重新赋值后的第3列列)B1, 3, 2, 4TakeB, 1, 2, 3, 5TrB, List14/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算 设设u为一个数量为一个数量, A=aijm n和和B=bijr s为矩阵为矩阵, 数学中数学中:uA = uaijm nu加矩阵加矩阵A等于将等于将u加到加到A的每个元素上的每个元素上u.A = u.aijm nu乘矩阵乘矩阵A等于将等于将u乘到乘到A的每个元素上的每个元素上AB = aij

10、bijm nA与与B同阶同阶(m=r，n=s)，对应元素相加，对应元素相加A.B = C A右乘右乘B，必须是，必须是A的列数的列数n与与B的行数的行数 r相等才能相乘，所得矩阵相等才能相乘，所得矩阵C的元素的元素在特殊情况下，当在特殊情况下，当n=1与与r=1时，则有时，则有A=aijm 1与与B=bij1 s变为行向量与列向量，因此上面的公式包含变为行向量与列向量，因此上面的公式包含了对向量的运算。了对向量的运算。 nkkjikijbac115/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算要注意的是在要注意的是在Mathematica里定义了里定义了3种乘法运算：种乘法运算： 点积点积“.”

11、，叉积，叉积“ ”和星号积和星号积“*” 设设a与与b为向量，为向量，A与与B为矩阵，为矩阵，u与与v为数量，则：为数量，则：a.b就是数学中两向量的内积就是数学中两向量的内积(数量积数量积)A.B就是数学中两矩阵的乘积就是数学中两矩阵的乘积a b Crossa,b就是数学中两向量的外积就是数学中两向量的外积(向量积向量积)A B OuterTimes,A,B 矩阵的外积矩阵的外积,在数学中没有定义在数学中没有定义a*b仍为一向量，等于仍为一向量，等于a与与b的对应元素相乘的对应元素相乘A*B仍为一矩阵，等于仍为一矩阵，等于A与与B的对应元素相乘的对应元素相乘u*vu乘乘v规定用星号规定用星号

12、u*v，u.v与与u v无意义。无意义。16/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算设设a与与b为向量，为向量，A与与B为矩阵，为矩阵，u与与v为数量，则：为数量，则：a.b就是数学中两向量的内积就是数学中两向量的内积(数量积数量积)A.B就是数学中两矩阵的乘积就是数学中两矩阵的乘积a b Crossa,b就是数学中两向量的外积就是数学中两向量的外积(向量积向量积)A B OuterTimes,A,B 矩阵的外积矩阵的外积,在数学中没有定义在数学中没有定义a*b仍为一向量，等于仍为一向量，等于a与与b的对应元素相乘的对应元素相乘A*B仍为一矩阵，等于仍为一矩阵，等于A与与B的对应元素相乘的

13、对应元素相乘u*vu乘乘v规定用星号规定用星号u*v，u.v与与u v无意义。无意义。 在本书中最常见的是点积在本书中最常见的是点积“.”，希望读者注意，不，希望读者注意，不可与叉积可与叉积“ ”，星号积，星号积“*”混同使用。混同使用。17/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算 除了上述简单的矩阵代数运算外，还有下面一些常除了上述简单的矩阵代数运算外，还有下面一些常见的矩阵运算。见的矩阵运算。DetA求矩阵求矩阵A的行列式的行列式|A|，A必须是方阵必须是方阵)TransposeA求求A的转置阵的转置阵(记为记为AT或或A )InverseA求求A的逆矩阵的逆矩阵(记为记为A-1，A必

14、须是方阵必须是方阵)MinorsA求求A的每个元素对应的余子式的每个元素对应的余子式MinorsA，k求求A的所有的所有k阶子式组成的表阶子式组成的表TrA求求A的迹的迹(A的主对角元相加的主对角元相加)MatrixPowerA，n求求An = AAA，A必须是方阵必须是方阵)18/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算【例【例8-5】已知三阶方阵】已知三阶方阵A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2;DetA1TransposeA1E1 = InverseA1MinorsA1MinorsA1, 1MinorsA1, 2MinorsA1, 3TrA1MatrixPowe

15、rA1, 219/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算【例【例8-5】已知三阶方阵】已知三阶方阵A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2;DetA1TransposeA1E1 = InverseA1容易验证矩阵容易验证矩阵A1同它的逆矩阵同它的逆矩阵E1之间有之间有 A1.E1 = 1，0，0，0，1，0，0，0，120/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算对于符号矩阵，上述各种运算同样可以进行。对于符号矩阵，上述各种运算同样可以进行。【例【例8-6】已知矩阵】已知矩阵A2 = a, b, c, b, c, a, c, a, b，则有则有DetA2如果记如果记d

16、 = a3 b3 +3abc c3，则有，则有InverseA221/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算【例【例8-7】已知矩阵】已知矩阵A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8.9999;则有则有DetA3DetA4InverseA3InverseA4上面上面A3中的元素全部是精确值，且中的元素全部是精确值，且DetA3 = 0，因此，因此A3是一个精确的奇异阵，这时是一个精确的奇异阵，这时Mathematica系统将会系统将会明确的给出信息，告诉你明确的给出信息，告诉你A3的逆阵不存在。的逆阵不存在

17、。22/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算【例【例8-7】已知矩阵】已知矩阵A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8.9999;则有则有DetA3DetA4InverseA3InverseA4A4的元素中出现有近似数的元素中出现有近似数(最末一个元素最末一个元素)，且，且DetA4 0，故，故A4是一个近似的奇异阵是一个近似的奇异阵23/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算【例【例8-7】已知矩阵】已知矩阵A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; A4 = 1, 2, 3,

18、4, 5, 6, 7, 8, 8.9999;这时这时Mathematica系统不能识别奇异与非奇异的界限，系统不能识别奇异与非奇异的界限，但系统总是以尽可能高的精度给出求逆的结果，并给但系统总是以尽可能高的精度给出求逆的结果，并给出相应的信息。出相应的信息。不妨将不妨将A4中的最末一个元素中的最末一个元素8.9999逐渐增大，让它趋逐渐增大，让它趋近于近于9，观察系统给出的各种信息。，观察系统给出的各种信息。24/678.1 矩阵矩阵8.1.3 矩阵的运算 在在Mathematica系统中系统中, 符号矩阵的求逆可计算到符号矩阵的求逆可计算到8阶，而数值矩阵的求逆则可计算到阶，而数值矩阵的求逆

19、则可计算到200阶。阶。25/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 特征值和特征向量是矩阵问题中最重要的内容之一，特征值和特征向量是矩阵问题中最重要的内容之一，它们在线性代数里的定义是：它们在线性代数里的定义是： 设设A是一个是一个n n阶矩阵，阶矩阵，I是一个是一个n n阶单位阵，如果阶单位阵，如果存在非零向量存在非零向量x与数量与数量 满足线性方程组满足线性方程组(A I)x = 0，则称则称 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，x是是A的对应于特征值的对应于特征值 的特的特征向量。征向量。26/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 在低维欧氏空间里，可以对在低维欧氏空间里，

20、可以对 和和x给出几何解释如下：给出几何解释如下： 如果如果A是一个是一个3 3阶实对称矩阵，则阶实对称矩阵，则A代表着一个实代表着一个实的二次型或二次曲面，那么特征值的二次型或二次曲面，那么特征值 的绝对值的绝对值| |的大的大小对应于这个二次曲面小对应于这个二次曲面3个主半轴的长度，个主半轴的长度，x对应于这对应于这个二次曲面的个二次曲面的3个主轴方向。个主轴方向。 27/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 通常遇到的特征值问题，矩阵大多数是实对称通常遇到的特征值问题，矩阵大多数是实对称(或或Hermite型型)的，实对称矩阵的特征值与特征向量有着的，实对称矩阵的特征值与特征向量

21、有着比较简单的结构，例如：比较简单的结构，例如： (1) 若若A是是n n阶实对称矩阵，则阶实对称矩阵，则A必有必有n个实的特征个实的特征值与值与n个实的线性无关的特征向量个实的线性无关的特征向量(不论特征值中是否不论特征值中是否有重根有重根)。 (2) 若若A是实对称矩阵，而是实对称矩阵，而A的某两个特征值的某两个特征值 i与与 j相相异，则异，则 i与与 j所对应的特征向量所对应的特征向量pi与与pj必正交，若必正交，若A的的n个特征值全是单根，则个特征值全是单根，则A的的n个特征向量两两正交。个特征向量两两正交。28/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 通常遇到的特征值问题，矩

22、阵大多数是实对称通常遇到的特征值问题，矩阵大多数是实对称(或或Hermite型型)的，实对称矩阵的特征值与特征向量有着的，实对称矩阵的特征值与特征向量有着比较简单的结构，例如：比较简单的结构，例如： (3) 对于每一个实对称矩阵对于每一个实对称矩阵A，利用正交变换总可将，利用正交变换总可将A转化为对角矩阵，其主对角线上的元素就是转化为对角矩阵，其主对角线上的元素就是A的的n个个特征值。特征值。 如果如果A是一个实的非对称矩阵，那么是一个实的非对称矩阵，那么A的特征值与特的特征值与特征向量的结构将会比较复杂，上述关于实对称矩阵的征向量的结构将会比较复杂，上述关于实对称矩阵的结论结论(1)，(2)

23、，(3)往往不能保证成立。往往不能保证成立。29/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 在线性代数里，计算特征值与特征向量是一个比较在线性代数里，计算特征值与特征向量是一个比较复杂，繁琐的过程，在复杂，繁琐的过程，在Mathematica系统里都将它们系统里都将它们设计为简便的调用函数，它们的使用格式如下：设计为简便的调用函数，它们的使用格式如下：EigenvaluesA计算矩阵计算矩阵A的的(精确形式的精确形式的)特征值表特征值表EigenvectorsA计算矩阵计算矩阵A的的(精确形式的精确形式的)特征向量表特征向量表EigensystemA计算所有的计算所有的特征值特征值，特征向

24、量特征向量EigenvaluesNA计算矩阵计算矩阵A的特征值表的数值解的特征值表的数值解EigenvectorsNA计算矩阵计算矩阵A的特征向量表的数值解的特征向量表的数值解30/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量【例【例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0

25、, 2, 7;EigensystemA1 求得特征值求得特征值 1 = 3， 2 = 6， 3 = 9 特征向量特征向量p1=-2,-2,1, p2=2,-1,2, p3=-1, 2, 2 由于由于 1， 2， 3均是相异实根均是相异实根(单根单根)，故可肯定特征，故可肯定特征向量两两正交向量两两正交, 即有即有p1p2= 0，p2p3= 0，p3p1= 031/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量【例【例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l,

26、-1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1A2 = 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1;EigensystemA2 1 = -1， 2 = 3 = 2， 1与与 2互异，互异， 1与与 3互异，互异， 故有故有p1p2 = 0，p1p3 = 0。32/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量【例【例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 =

27、 l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1;EigensystemA3N%33/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量【例【例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1

28、, -1, -1, 1如果改用最后两个计算函数，也可得到相同的结果。如果改用最后两个计算函数，也可得到相同的结果。EigenvaluesNA3EigenvectorsNA3 由由3个特征值互异知，个特征值互异知，3个特征向量两两正交。个特征向量两两正交。34/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量【例【例8-9】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征向量。向量。 (1) B1 = l，4，2，0，1，-1，0，2，4 (2) B2 = 1，2，2，1，-1，1，4，-12，1 (3) B3 = 2，1，1，0，2，1，0，0，2B1 = 1, 4, 2

29、, 0, 1, -1, 0, 2, 4EigensystemB1 B1的的3个特征值个特征值1，2，3虽均互异，但特征向量虽均互异，但特征向量p1，p2，p3之间不能保证正交。之间不能保证正交。35/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量【例【例8-9】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征向量。向量。 (1) B1 = l，4，2，0，1，-1，0，2，4 (2) B2 = 1，2，2，1，-1，1，4，-12，1 (3) B3 = 2，1，1，0，2，1，0，0，2B2 = 1, 2, 2, 1, -1, 1, 4, -12, 1Eigensyst

30、emB2 B2中的元素虽然全部为实数，但中的元素虽然全部为实数，但B2的特征值与特征的特征值与特征向量却可能是复数。向量却可能是复数。36/678.2 特征值和特征向量特征值和特征向量【例【例8-9】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征向量。向量。 (1) B1 = l，4，2，0，1，-1，0，2，4 (2) B2 = 1，2，2，1，-1，1，4，-12，1 (3) B3 = 2，1，1，0，2，1，0，0，2B3 = 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 2EigensystemB3 B3有一个有一个3重特征值重特征值 1 = 2 = 3

31、= 2，只有一个线性，只有一个线性独立的特征向量独立的特征向量p = 1，0，0。37/678.3 线性方程组求解线性方程组求解 有了上面的基本工具，下面就可以来讨论线性方程有了上面的基本工具，下面就可以来讨论线性方程组组Ax=b的求解问题，式中的求解问题，式中A为为m n阶系数矩阵，阶系数矩阵，b为为m 1阶右端列向量，阶右端列向量，x为待求的为待求的n 1阶列向量。阶列向量。 当当m = n且行列式，且行列式，|A| 0时，称时，称Ax = b为恰定方程为恰定方程组；组； 当当m n时，称时，称AX = b为超定方程组；为超定方程组；这里总假定这里总假定mn。38/678.3 线性方程组求

32、解线性方程组求解 在上述方程组求解的讨论中，常常要用到系数矩阵在上述方程组求解的讨论中，常常要用到系数矩阵A的秩的秩r(A)，与增广矩阵，与增广矩阵 的秩的秩r( )，有时还，有时还要计算对应齐次方程组要计算对应齐次方程组AX = 0的基础解系。的基础解系。 Mathematica系统为我们提供了相应的求解函数，系统为我们提供了相应的求解函数，它们的调用格式如下：它们的调用格式如下：RowReduceA利用矩阵的初等行变换将矩阵利用矩阵的初等行变换将矩阵A化简化简LinearSolveA，b求线性方程组求线性方程组Ax = b的一个特解的一个特解NullSpaceA求齐次方程组求齐次方程组Ax

33、 = 0的基础解系的基础解系),(bAA A39/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-10】求解线性方程组】求解线性方程组A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 7; b1 = 6, 9, 14; DetA1 = -2 0，故知方程组有惟一解，故知方程组有惟一解, 利用利用Solve函函数求解数求解A1x = b1X = LinearSolveA1, b140/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-10】求解线性方程组】求解线性方程组A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 7; b1 = 6, 9, 14; 也可利用也可利用LU

34、分解求解此方程组。将系数阵分解求解此方程组。将系数阵A1进行进行LU分解分解:LUDecompositionA1 利用利用LU分解求解分解求解A1X = b1 LUBackSubstitution%, b1 41/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-11】求解线性方程组】求解线性方程组A2 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 7; b1 = 6, 9, 15; DetA2=0，转而考虑系数阵，转而考虑系数阵A2与增广矩阵与增广矩阵A21的秩的秩A21 = 1, 2, 3, 6, 2, 3, 4, 9, 3, 5, 7, 15;利用初等行变换化简利用初等行变换化简

35、A2和和A21：RowReduceA2RowReduceA21 由此结果可知由此结果可知A21的秩的秩r21 = 2，同时可知原方程组，同时可知原方程组(1)中只有两个线性独立方程，并且可取中只有两个线性独立方程，并且可取1，2两个方程两个方程 157539432632321321321xxxxxxxxx42/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-11】求解线性方程组】求解线性方程组即原方程组的解等价于下列方程组的解。即原方程组的解等价于下列方程组的解。A2 = 1, 2, 3, 2, 3, 4; b2 = 6, 9; 求出方程组求出方程组(2)的一个特解的一个特解:X0 = L

36、inearSolveA2, b2 157539432632321321321xxxxxxxxx43/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-11】求解线性方程组】求解线性方程组求出方程组的一个特解求出方程组的一个特解: 求出求出A2X = 0的基础解系的基础解系:Y = NullSpaceA2 方程组方程组(2)的解的解X = cY + X0 157539432632321321321xxxxxxxxx44/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-11】求解线性方程组】求解线性方程组求出方程组的一个特解求出方程组的一个特解:0, 3, 0和和A2X = 0的基础解系的基

37、础解系: 方程组方程组(2)的解的解X = cY + X0, 原方程组有无穷多组解原方程组有无穷多组解:X = c*Y1 + X0由此求得原方程组由此求得原方程组(1)的解：的解：x1= c，x2= 3 2c，x3= c. 157539432632321321321xxxxxxxxx45/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-12】求解线性方程组】求解线性方程组A3 = 1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 6, 9; b1 = 6, 12, 18;DetA3 = 0A31 = 1, 2, 3, 6, 2, 4, 6, 12, 3, 6, 9, 18;RowReduceA3R

38、owReduceA31 A3与与A31的秩相同都是的秩相同都是1，原方程组只有一个独立，原方程组只有一个独立方程，可取第一个方程方程，可取第一个方程 1896312642632321321321xxxxxxxxx46/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-12】求解线性方程组】求解线性方程组A3与与A31的秩相同都是的秩相同都是1，原方程组只有一个独立方，原方程组只有一个独立方程，可取第一个方程程，可取第一个方程 原方程组的解等价于下列方程的解：原方程组的解等价于下列方程的解：x1 + 2x2 + 3x3 = 6，解出解出由此求得原方程组的解：由此求得原方程组的解：x1 = c1

39、，x2 = c2，x3 = 2 c1/3 2*c2/3。原方程组有无穷多组解。原方程组有无穷多组解。 1896312642632321321321xxxxxxxxx)26(31213xxx 47/678.3 线性方程组求解线性方程组求解【例【例8-13】求解线性方程组】求解线性方程组A4 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 7;A41 = 1, 2, 3, 6, 2, 3, 4, 9, 3, 5, 7, 14;RowReduceA4RowReduceA41可知可知A41的秩大于的秩大于A4的秩，方程组矛盾，没有通常意的秩，方程组矛盾，没有通常意义下的解。义下的解。 147539

40、432632321321321xxxxxxxxx48/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-1】检验】检验|AB|=|A|B|，这里，这里A和和B都是方阵。都是方阵。解：解：A = TableRandomInteger, 0, 10, 4, 4MatrixFormAB = TableRandomInteger, 0, 10, 4, 4MatrixFormB49/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-1】检验】检验|AB|=|A|B|，这里，这里A和和B都是方阵。都是方阵。解：解：DetA.BDetA * DetB50/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-2】设】设通过计算通

41、过计算A的的k阶子式求矩阵阶子式求矩阵A的秩。的秩。解：解：A = 3, -1, -3, -2, 2, 3, 1, -3, 7, 5, -1, -8MinorsA, 2MinorsA, 3 可见矩阵可见矩阵A有不为有不为0的二阶子式，矩阵的二阶子式，矩阵A的三阶子式的三阶子式都为都为0，所以矩阵的秩为，所以矩阵的秩为2。 815731322313A51/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-3】设】设通过初等行变换求矩阵通过初等行变换求矩阵A的逆。的逆。解：解：A = 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 3D3 = IdentityMatrix3 343122321A52/6

42、78.4 探索实验探索实验【实验【实验8-3】设】设通过初等行变换求矩阵通过初等行变换求矩阵A的逆。的逆。解：解：AE = TransposeJoinTransposeA, D3EANi = RowReduceAEMatrixForm% 343122321A53/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-3】设】设通过初等行变换求矩阵通过初等行变换求矩阵A的逆。的逆。解：解：可以看到矩阵可以看到矩阵A的逆已求出。为了取出的逆已求出。为了取出A的逆，输入：的逆，输入：EANi1, 2, 3, 4, 5, 6MatrixForm% 343122321A54/678.4 探索实验探索实验【实验【实

43、验8-4】设向量组】设向量组 1= (1, 2, -1, 1)， 2= (0, -4, 5, -2)， 3= (2, 0, 3, 0)通过求该向量组的秩判断其是否线性相关。通过求该向量组的秩判断其是否线性相关。解：解：A = 1, 2, -1, 1, 0, -4, 5, -2, 2, 0, 3, 0RowReduceAMatrixForm% 这里有两个非零行，向量组的秩等于这里有两个非零行，向量组的秩等于2，因此该向，因此该向量组线性相关。量组线性相关。55/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令，检验“初初等变换矩阵与矩阵等变换

44、矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换，的行初等变换，初等变换矩阵与矩阵初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换”解：解：d = Tableci, j, i, 3, j, 3 (设置一个一般的设置一个一般的3阶矩阵阶矩阵)MatrixFormd56/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令，检验“初初等变换矩阵与矩阵等变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换，的行初等变换，初等变换矩阵与矩阵初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换”解：解：e =

45、IdentityMatrix3; e2, 2 = 8; eMatrixForme57/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令，检验“初初等变换矩阵与矩阵等变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换，的行初等变换，初等变换矩阵与矩阵初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换”解：解：e.dMatrixForm%58/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令，检验“初初等变换矩阵与矩阵等变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初

46、等变换，的行初等变换，初等变换矩阵与矩阵初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换”解：解：d.eMatrixForm%59/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令，检验“初初等变换矩阵与矩阵等变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换，的行初等变换，初等变换矩阵与矩阵初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换”解：解：e = IdentityMatrix3;e1, e2 = e2, e1; e第一行与第二行对换第一行与第二行对换MatrixForme60/678

47、.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令，检验“初初等变换矩阵与矩阵等变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换，的行初等变换，初等变换矩阵与矩阵初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换”解：解：e.dMatrixForm%d.eMatrixForm%61/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令，检验“初初等变换矩阵与矩阵等变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换，的行初等变换，初等变换矩阵与矩阵初等变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换”解：解：e = IdentityMatrix3;e3, 1 = 2; eMatrixForme62/678.4 探索实验探索实验【实验【实验8-5】设计一组】设计一组Mathematica命令，检验命令