N8-4偏导数与全微分

1、第 4 节一、一、 偏导数的定义及其计算偏导数的定义及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏导数与全微分 第八章 *四、全微分在数值计算中的应用四、全微分在数值计算中的应用 三、全微分、全微分 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算1. 偏增量与全增量偏增量与全增量),(yxfz 在点),(00yx的某邻域内有定义，设函数 (0),xx 当0 xx在取得改变量0yy保持不变.0000 xzf ( xx, y )f ( x , y ) ),(yxfz 在点),(00yx称为函数关于x 的偏增量.),(yxfz 在点),(00yx称为函数关于y 的偏增量.0000yzf ( x , y

2、y )f ( x , y ) ),(yxfz 在点),(00yx称为函数的全增量.0000zf ( xx, yy )f ( x , y ) 上页 下页 返回 结束 ),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数;),(00yxxz),(00yx某邻域内有定义，;),(00yxxfxx00 x则称此极限为若极限设函数x00(,);xfxy00(,)xxyzxyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy注意注意:记为2. 偏导数的定义偏导数的定义0limxxzx 上页 下页 返回 结束 0)

3、,(dd0yyyxfy同样定义对 y 的偏导数00000(,)(,)limyf xyyf xyy 000(,)limyyyzfxyy 若函数 z = f ( x , y )在域 D 内每一点 (x ,y) 处对 x,xfzzxx则该偏导数称为偏导函数, 简称为偏导数偏导数 ,( , ),xfx y( , ),yfx y记为或y 偏导数存在,yfzzyy00(,)fxyy00(,),yfx y上页 下页 返回 结束 ( , , )xfx y z例如：例如：偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx( , , )?yfx y z( , , )?zfx y

4、 zx偏导数定义为(请自己写出请自己写出)三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的求多元函数对一个自变量的偏导数时，只需要将其他变量看成常数，用一元函数求导法即可.注意：注意：上页 下页 返回 结束 例例1 . 求223yyxxz解法解法1:xz(1,2)zx解法解法2:在点(1 , 2) 处的偏导数) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy7( ,2)z x( ,2)26xzxx( ,2)(1, 2)xzzxx上页 下页 返回 结束 例例3. 设

5、，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 yyxx yz求证,1yxyxxylnz2例例2（P329-例例2）求2( , )x yf x ye解解:的偏导数, .ffxy2()x yfexx22()x yx yex22x yxye2()x yfeyy22()x yx yey22x yx e上页 下页 返回 结束 ，时当022 yx222( , )xx yf x yxxy222( , )yx yfx yyxy,022 yx当0d(0,0)( ,0)|dxxff xx0d(0,0)(0, )|dyyffyy002223)(2yxyx222222)()(yx

6、yxx即 xy0 时,2222222000 x y,xyzf ( x, y )xy,xy ( , ),( , ).求xyfx yfx y例例4 . 设二元函数解解:上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0000 00 0 xxf (x, )f ( , )f (,)limx 000 00 0yyf ( ,y )f ( , )f (,)limy 000ylim 000 xlim 注意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!例例5 . 讨论二元函数在(0,0）是否可导与连续。解解

7、:上页 下页 返回 结束 3. 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义0000d(,)( ,)dxx xfxyf x yx0),(yyyxfz0000d(,)(, )dyy yfxyf xyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处xTM0的切线 的斜率.在点M0 处的切线是曲线yxz0 xyToxT0y0M的斜率.上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数二、高阶偏导数一般说来，函数z = f (x , y) 的偏导数仍为x, y 的函数.( , ),xzfx yx若它们关于x, y的偏导数也存在，)(xz)(yzx )(xzy 22()yyzzfyyy则称这些偏导数为共有四个

8、二阶偏导数.22xzxxf yxz2xyf 2yxzfy x x( , )yzfx yy函数f ( x, y) 的二阶偏导数,上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数.z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxf (x , y)关于x 的n 阶偏导数定义：11()nnzxxnnzx例如：例如：2322()zzyxxy23()zzxx yx y x 00()()(,)xyy xfx,yfx,yxy若和都在0000(,)(,)x yy xfxyfxy则定理定理.点连续， (证明略) 上页 下页 返回 结束 yxe22例例6. 求函数yxez2.23xyz解

9、解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 22 zzx yy x 上页 下页 返回 结束 0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0( , )yfx y例例7.( , )xfx y(0,0)xyf 0(,0)(0,0)(0,0)limyyyxxfxffx 二者不等yyy0lim1xxx0lim10, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx(0,0)

10、,(0,0)求yxxyff22222222000 xyx y,xyxyf ( x, y ),xy 已已知知上页 下页 返回 结束 应用 1. 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分回顾的微分回顾)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差2. 偏微分偏微分xzf ( xx, y )f ( x, y ) 偏增量偏增量:yzf ( x,yy )f ( x,y ) xxzf ( x, y ) xo( x ) yyzf ( x, y ) yo( y ) f( x, y )关于关于 x 偏微分偏微分f ( x, y )关于关于 y 偏微分偏微分三、全微分、全微分 上页 下页 返回 结束 用S 表

11、示边长分别为x 与y 的矩形的面积，问面积改变多少? 分析：分析：x()()Sxxyyxyx ySxyy xx y (1) 关于x, y 的线性函数(主部)则有,与xy3. 全微分引例全微分引例x 与y 分别取得改变量设面积的增量为.Syy xx yx y xy)1()2(22()()xy (2) 比 的更高阶的无穷小量.Sy xx y 22()()0 xy 00即xy 如果边长上页 下页 返回 结束 如果函数z=f (x, y)在定义域 D上点( x , y )处全增量),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中A, B 与x , y 无关, 仅与 x, y有关，dd (

12、, )zf x y若函数在域 D 内每点都可微,22)()(yx更高阶无穷小量, 则称函数 f (x, y) 在点( x, y)可微可微.则称函数在在D 内可微内可微.称 为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分.A xB y 记作4. 二元函数全微分的定义二元函数全微分的定义( )o表示比A xB y 上页 下页 返回 结束 (2) 偏导数连续)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微二元函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微(,)(0,0)lim(,)xyf xx yy 由微分定义 :得(,)(0,0)limxyz 0),

13、(yxf函数z = f (x, y)在该点连续偏导数存在 函数可微 (,)( , )zf xx yyf x y 由于上页 下页 返回 结束 定理定理1.1.若函数z = f (x, y)在点(x, y) 可微可微 , 则该函数在该点yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzx0limxxzzxx 同样可证,Byzyyzxxzzd证证: 由全增量公式, )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,得到对 x 的偏增量xxx因此有 A偏导数5. 可微的必要条件（可微的必要条件（P332-TH8.1）0lim()xA xox ,.zzABxy且有 即上页 下页 返回 结束 例例8. 函数由

14、例5可知，(0,0)(0,0)0 xyff)0, 0()0, 0(yfxfzyx在点 (0,0) 不可微 . (0,0)(0,0)( )xyzfxfyo 即注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22()()xyxy 3xy 22()()xyxy 0即：偏导数存在函数 不一定可微 !是否可导可微.解解 :222222, 0( , )0,0 xyxyxyzf x yxyyk x 如上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理2.yzxz,证明证明：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),(yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyy

15、xfy),(设函数( , )( , )zf x yx y在点的某一邻域内有连续的6. 可微的充分条件（可微的充分条件（P333-TH8.2）偏导数则函数 点可微.( , )( , )f x yx y在(证明略) 上页 下页 返回 结束 xyzf ( x, y ) xf ( x, y ) y yyxfxyxfzyx),(),(xy 所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微.注意到故有)(o (,)(0,0)lim0 xy(,)(0,0)lim0,xy整理可得上页 下页 返回 结束 xxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变

16、量的增量用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d上页 下页 返回 结束 例例9（P333-例例6）计算函数的全微分，并计算yxez 解解:2(2,1)|,xze(2,1)d | z例例10. 计算函数的全微分.zyeyxu2sin解解: dddduuuuxyzxyz1 dx yyd) cos(221zeyzydxyyzxe ,xyxzye zyez0.15, 0.1 )xy (取dxyxyzye dxxe dy()xyey xx y 2220.152( 0.1)0.15

17、eee 2(2,1)|2yze函数在 (2,1) 点的全微分值.上页 下页 返回 结束 *四、全微分在数值计算中的应用四、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzzyx),(),(dzd当xy较小时,及有近似等式:),(yxf(可用于近似计算; 误差分析) 上页 下页 返回 结束 解解: 已知,2hrVVdV,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .cm2003例例11（类似（类似P334-例例8）一圆柱体受压后发生形变,半径由2

18、0cm 增大到 20.05cm , 则 22 rh rrh 1,05. 0hr)cm(2003高度由100cm 减少到 99cm ,求此圆柱体体积的近似改变量.22dVrh rrh 上页 下页 返回 结束 例例12.12.计算的近似值.02. 204. 1解解: 设yxyxf),(则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计

19、误差估计（不讲）（不讲）利用yyxfxyxfzyx),(),( , ,xyz令则z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(上页 下页 返回 结束 例例13. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCa

20、bcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积.现测得bbSccS上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续导数值与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)上页 下页 返回 结束 3. 微分定义微分定义( , )zf x yzyyxfxyxfyx),(),( , )d( , )dxydzfx yxfx yy22)()(y

21、x4. 重要关系重要关系)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续二元函数上页 下页 返回 结束 5. 微分应用微分应用 近似计算近似计算 估计误差估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(上页 下页 返回 结束 备例备例1. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu由对称性,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0上页 下页 返回 结束 0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf解解: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf( , )(0,0)lim( , )0(0,0)x yf x yf故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所以得在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微. 备例备例2. 证明证明:上页 下页 返回 结束 而)0 , 0(f,00时，当yx22)