椭圆复习教案高考一轮总复习教案

1、学习必备欢迎下载20XX 届高考一轮总复习教案第九单元解析几何 -椭圆一【考纲要求】掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质二【考点解读】1.椭圆的定义是本节的核心内容在使用时要注意其中蕴含的条件；椭圆的标准方程和简单几何性质是高考的热点，特别是离心率，考查的频度较高。解题时，只需注意 a,b,c 的含义和关系即可解答；直线与椭圆的位置关系也是考查的重点之一问题涉及定点，定值，范围，最值等2.高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、 不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较

2、大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力 .3.20XX 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新 ,命题形式会更加灵活 .三【要点梳理】1椭圆的两 种定义(1)平面内与两定点F1， F2 的距离等于常数 (大于 F1 F2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距用符号语言表示为：|MF1|MF2 |2a注：当 2a |F1F2|时， P 点的轨迹是当 2a |F1 F2 |时， P 点的轨迹不存在(2)椭圆的第二定义：到的距离与到

3、的距离之比是常数 e ，且 e的点的轨迹叫椭圆定点F 是椭圆的，定直线 l 是，常数 e 是2椭圆的标准方程(1)焦点在 x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： .(2)焦点在 y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：注：以上方程中 a, b的大小 ab0 ，其中 c2a2b2 ；在 x2y21 和 y2x21 两个方程中都有ab0 的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和a2b2a2b2y2 的分母的大小。例如椭圆x2y21 m0，n0，mn）当 m n 时表示焦点在x 轴上的（mn椭圆；当 mn 时表示焦点在y 轴上的椭圆。3椭圆的性质学习必备欢迎下载四【例题精析】考点一 : 椭圆的定义例

4、1(1)2011·华南师大附中模拟在直角坐标平面内，已知两点A( 2,0) 、B(2,0)，动点 Q到点A的距离为6，线段 BQ的垂直平分线交AQ于点 P. 则点 P 的轨迹方程是 ()x2y2B.x2y2x2y2x2y2A.11 C. 1D. 159958448(2) 已知点 P 是椭圆 x2y21上位于第一象限的点， 且点 P 到椭圆左焦点 F1 的距离为8，则线段 PF1368的中点 M到椭圆中心的距离是()A 6B 4C 3D 2 思路 根据几何关系，套用椭圆定义求解 解析 (1) 连接 PB，因为线段 BQ的垂直平分线交AQ于点 P，所以 |PB| |PQ|. 又 |AQ|

5、 6，所以 |PA| |PB| |AQ| 6，又 |PA| |PB|>|AB|，从而点 P 的轨迹是中心在原点，以A、 B 为焦点的椭圆，其中 2a 6， 2c 4，所以椭圆方程为x 2y21. 故选 B.95学习必备欢迎下载(2)椭圆的长轴长为 2a12，设椭圆右焦点为F2 ，依题意有 | P F1 | | PF2 | 2a 12.而| PF1| 8，| PF21| PF2 | ， |OM| 2，故选 D| 4. 连接 OM，则 OM PF2 ，且 |OM| 2点评第 (1) 题通过对几何关系的分析，得出动点到两定点距离之和为常数，满足椭圆定义；第(2) 题，利用椭圆定义，再结合三角形

6、中位线得出结论利用椭圆定义解题，关键是能否将题设条件通过推理、转化，变成符合椭圆定义的问题如下面的变式题：变式题 (1) 已知动点 M(x，y) ，向量 m (x 3， y) ， n (x 3，y) ，且满足 |m| |n| 8，则动点 P 的轨迹方程是 _1(2) 短轴长为 2 3，离心率 e 3的椭圆的两焦点分别为 F1, F2 ，过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF2 的周长为 _解析(1)由已知得x 32 y2 x 32 y28，即动点P 到两定点 M(3,0) 、 N( 3,0)的距离之和为常数，且|PM| |PN|>|MN| 6，所以动点 P 的轨迹方程是椭圆，其

7、中2a8,2c 6，所以方程为x2y2 1.167c2a2b23 13 6(2) 依题意有 e2 a2 a2 1a2 9，所以 a 4 . 由椭圆定义知， ABF2的周长为椭圆长轴长的 2 倍，所以周长为 4a 36.考点二椭圆标准方程例 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（ 1）两个焦点的坐标分别是( 4,0) 、(4,0) ，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10 ；（ 2）两个焦点的坐标分别是(0, 2) 、 (0, 2) ，并且椭圆经过点( 3,5) ；22（ 3）焦点在 x 轴上， a : b2:1 ， cb ；学习必备欢迎下载x2y2所以 , 椭圆的标准方程为182 点评 求椭

8、圆的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定型，再定量，即首先确定焦点的位置，再根据条件建立关于a， b 的方程组如果焦点位置不确定，则要考虑是否有两解；若椭圆经过两个已知点，则可将方程设为mx2ny21 ( m0, n0) 1变式题 (1) 坐标轴为对称轴，且经过两点A(2,0)、 B3，2 的椭圆的标准方程是 _(2) 经过 (3 ， 2) 点且与椭圆 4x2 9y2 36 有共同焦点的椭圆的标准方程是_思路(1)不知道焦点的位置，可设椭圆方程为mx2 ny2 1(m>0， n>0) ，将已知点坐标代入，求出x2y2m， n 的值； (2)可知 c2 5，故可设椭圆方程为

9、 b2 5b2 1.解析 (1)设椭圆方程为mx2 ny2 1(m>0， n>0) ，因为椭圆经过点A(2,0) 、 B3，1，所以2学习必备欢迎下载4m 0· n 1，1x21解得m ， y2 1.4所以所求椭圆方程为3m 4n 1，n1.4x2y2(2) 椭圆 4x2 9y2 36 的焦点为 ( ±5，0) ，则可设所求椭圆方程为b2 5 b2 1，将 x3，y 294x2y2代入上式得 b2 5b2 1，解得 b2 2( 舍去 ) 或 b2 10. 所以所求椭圆方程为15 101.考点三椭圆的几何性质例3 (1)如果椭圆x2y211的离心率是 ，那么实数

10、k 的值为 _8k9222a2(2) 椭圆 x 2y2 1(a>b>0) 的焦距为2c，以 O 为圆心， a 为半径作圆 M，若过点 P c ，0所作圆 Mab_的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 思路(1)分椭圆的焦点在x 轴或在 y 轴两种情况讨论(2) 通过相切关系和几何图形得出a、 c 之间的关系 解析(1)当焦点在 x 轴上时， a2 k 8>0， b29，所以 c2 a2 b2 k 1>0，所以 k>1，c k 1 1且 e a8 k 2，解得 k 4；当焦点在y 轴上时， a2 9， b2 k 8>0，c2 a2 b2 1 k>0，c

11、1 k15所以 8<k<1，且 e a9 2，解得 k 4.(2) 设两切线与圆相切的切点为A、 B，则四边形a2c2OAPB为正方形，且c 2a，所以 ea 2 .点评离心率问题是椭圆几何性质中的重点内容求离心率，就是根据椭圆图形中的几何关系与题a、b、c 之间的关系，或将条件转化为关于c目所给条件，探求a的一元二次方程，从而达到求解的目的除了离心率之外，对椭圆的范围、对称性等性质也不容忽视，如下面的变式题变式题 (1)2011·铁岭三联 已知椭圆 C： x2y 21(a>b>0) ，A(2,0) 为长轴的一个端点，弦BC过椭a2b2圆的中心O，且 AC&#

12、183;BC 0， |OB OC| 2|BC BA| ，则其短轴长为 ()26434623A.3B.3C.3D.3(2)2012·葫芦岛联考 设斜率为2的直线 l 与椭圆x2y 2 1(a>b>0) 交于不同的两点， 且这两个交点2a2b2在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()学习必备欢迎下载2131A.2B.2C.3D.3 解析 (1)依题意知， B、 C关于原点对称，AC BC，且 |BC| 2|AC| ，而 |BC| 2|OC| ，所以 |OC| |AC| ，所以点 C 在线段 OA的中垂线上又因为ACBC，所以 AOC是等腰直角三角形，结合

13、A(2,0) ，于是得点x2y22343C坐标为(1,1)或 (1 ，1) 设椭圆方程为4 b2 1(b>0)，将点C 坐标代入， 求得b3，所以2b3.故选B.(2) 依题意知，直线l 过原点，所以直线l 的方程为y22x，当x c时， y2c，所以点2c，22c在椭x2y2圆 a2 b2 1(a>b>0)c2c2上，所以 a2 2b2 1，考虑ca2 b2 c2，e a，可得2e45e2 2 0，解得e22( 舍去 ) 或 e21，所以 e 2 .22考点四椭圆的综合问题例 4.已知点 P(3, 4)是椭圆 x2y 2 1 (a>b>0)上的一点， F1、F2

14、 是它的两焦点，若PF1 PF2，求：a2b 2(1) 椭圆的方程；(2) PF1F2 的面积解：（ 1）法一：令F1( C， 0)， F2 (C， 0) PF1 PF2，kPF1kPF 2 1即441 ，解得 c53 c3 c 椭圆的方程为x2y21a2a225 点 P（ 3， 4）在椭圆上，9b1a2a225解得 a2 45 或 a2 5又 a c， a25 舍去 .故所求椭圆的方程为x 2y21 .4520法二：利用 PF1F2 是直角三角形，求得c 5(以下同方法一 )（ 2）由焦半径公式：| PF1 | a ex35 5×3 4535| PF2 | a ex35 5

15、5;3 2535SPFF2 1| PF1 | |·PF2 | 1 ×45 ×25 20122变式题2011·安庆三模 如图 50 2，已知椭圆 M ： x2y 21的左、右焦点分别为F1( 2,0)、a2b2(a>b>0)学习必备欢迎下载3F2(2,0) ，在椭圆 M 中有一内接 ABC ，其顶点 C 的坐标为 (3， 1)， AB 所在直线的斜率为3 .(1)求椭圆 M 的方程；(2)当 ABC 的面积最大时，求直线AB 的方程思路 (1)利用椭圆定义求出a，于是可以求出b； (2)设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用根与系数的关系和弦

16、长公式求出|AB| ，再求出点C 到直线 AB 的距离，于是可求出面积的表达式，再利用不等式求最值(1)由椭圆的定义知2a2 3212 321.解得 a2 6，所以 b2 a2 c2 2.所以椭圆 M 的方程为 x2y2 1.623(2)由题意设直线AB 的方程为y 3 x m，x2y26 2 1，得 2x2 23mx 3m2 60.由3y 3 x m因为直线 AB 与椭圆 M 交于不同的两点A ，B ，且点 C 不在直线 AB 上， 12m2 24 m2 2 >0，所以31 3 · 3 m，解得 2<m<2 ，且 m 0.设 A ， B 两点的坐标分别为(x1，

17、y1) ， (x2， y2)，则 x1 x2 3m， x1x2 3m2 6， 233y1 3 x1m， y2 3 x2 m.所以 |AB| x2 x12y2 y1 243x1 x22 4x1x2 24 m2，点 C(3， 1)到直33|m|线 y 3 x m 的距离 d2.1|AB| · d33m2 4m23，于是 ABC 的面积 S2|m|· 4 m2·222当且仅当 |m|4 m2，即 m±2时，“”成立所以 m± 2时， ABC 的面积最大，此时直线AB 的方程为 y 33 x± 2，即 x 3y± 6 0.点评 本题以椭圆为载体，考查了椭圆的定义和标准方程，直线与椭圆的位置关系，涉及函数与方程学习必备欢迎下载思想以及不等式求最值的方法与椭圆有关的综合问题，常涉及以下几点：椭圆与直线的位置关系，解决方法是方程与函数思想；与解三角形相联系，解决方法是使用三角函数的相关性质和方法；最值问题，使用函数方法或不等式法求最值五规律总结方法提炼1求椭圆的标准方程主要有定义法、待定系数法，