勾股定理的逆定理_习题训练(含答案)

1、启智教育Education intelligently快乐学习健康成长勾股定理的逆定理一、基础 ·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A. 三内角之比为1 2 3B.三边长的平方之比为1 23C.三边长之比为3 45D.三内角之比为34 52.如图 18 24 所示 ,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD BC ，斜腰 DC 的长为 10 cm， D=120°，则该零件另一腰AB 的长是 _ cm（结果不取近似值）.图 1824图 182 5图 18 263.如图 18 2 5，以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 、S 、S ，

2、且 S =4， S =8，则12312AB 的长为 _.4.如图 18 2 6，已知正方形ABCD 的边长为 4，E 为 AB 中点， F 为 AD 上的一点，且 AF=1AD ，试4判断 EFC 的形状 .5.一个零件的形状如图 18 2 7，按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸： AD=4 ，AB=3,BD=5 ， DC=12 , BC=13 ，这个零件符合要求吗？图 182 76.已知 ABC 的三边分别为k2 1，2k， k2+1（ k 1），求证： ABC 是直角三角形.细节决定未来-1-启智教育Education intelligently快乐学习

3、健康成长二、综合 ·应用7.已知 a、b、c 是 Rt ABC 的三 边长， A 1B 1C1 的三边长分别是2a、2b、2c，那么 A 1B1C1 是直角三角形吗？为什么？28.已知：如图18 2 8，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且CD =AD·BD.图 18 289.如图 18 29 所示，在平面直角坐标系中，点A 、 B 的坐标分别为A（ 3，1）， B（ 2， 4）， OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图 18 2910.阅读下列解题过程：已知a、b、c 为 ABC 的三边，且满足a2 c2 b2c2=a4 b4，试判断 ABC 的形

4、状 .解： a2c2 b2c2=a4 b4，(A) c2 (a2 b2)=(a2+b2 )(a2 b2)，(B) c2 =a2+b2，（ C) ABC 是直角三角形.问：上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_；错误的原因是_；本题的正确结论是_.11.已知：在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断 ABC 的形状 .细节决定未来-2-启智教育Education intelligently快乐学习健康成长12.已知：如图18 2 10，四边形ABCD ， AD BC ，AB=4 ， BC=6， C

5、D=5 ， AD=3.求：四边形ABCD 的面积 .图 18 210细节决定未来-3-启智教育Education intelligently快乐学习健康成长参考答案一、基础 ·巩固1.思路分析： 判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半.由 A 得有一个角是直角；B、 C 满足勾股定理的逆定理，所以应选 D.答案： D2.解：过 D 点作 DE AB 交 BC 于 E,则 DEC 是直角三角形.四边形 ABED 是矩形， AB=DE. D=120°， CDE=30° .又在直角三

6、角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=102525 3 cm. AB= 102 52 5 3 cm.3.思路分析： 因为 ABC是 Rt，所以222123，所以3，因为32,所以BC +AC =AB,即 S+S=SS =12S =ABAB= S312 23.答案：234.思路分析： 分别计算EF、 CE、 CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解： E 为 AB 中点， BE=2. CE2=BE 2+BC 2=22+42 =20.同理可求得 ,EF2=AE 2 +AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+4

7、 2=25. CE2+EF2=CF 2, EFC 是以 CEF 为直角的直角三角形 .5.分析： 要检验这个零件是否符合要求，只要判断ADB 和 DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了 .解：在 ABD 中， AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以 ABD 为直角三角形，A =90°.在 BDC 中,BD 2+DC 2=52+12 2=25+144=169=13 2=BC 2.所以 BDC 是直角三角形，CDB =90°.细节决定未来-4-启智教育Education intelligently快乐学习健康成长因此这个零件符合

8、要求.6.思路分析： 根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明： k2+1>k 2 1,k2+1 2k=(k 1)2>0, 即 k2+1>2k ， k2+1 是最长边 . (k2 1)2+(2k )2=k 4 2k2+1+4k 2=k 4+2k 2+1=(k 2+1) 2, ABC 是直角三角形.二、综合 ·应用7.思路分析： 如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证） .8.思路分析： 根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明： AC 2=AD 2+CD 2， BC 2=CD 2+BD

9、 2， AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2=AD 2+2AD·BD+BD 2=（ AD+BD ） 2=AB 2. ABC 是直角三角形 .9.思路分析： 借助于网格，利用勾股定理分别计算OA 、 AB 、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 OAB 是否是直角三角形即可 .解： OA 2121222=10,=OA+A A=3+122222OB =OB 1 +B 1B =2+4 =20,AB 2=AC 2+BC 2=1 2+32=10, OA 2+AB 2=O B 2. OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形.10.思路分析： 做这种类型的题目，首先要认真审题，

10、特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a 有可能等于 b 这一条件，从而得出的结论不全面.答案： (B)没有考虑a=b 这种可能，当a=b 时 ABC 是等腰三角形；ABC 是等腰三角形或直角三角形 .11.思路分析：（ 1）移项，配成三个完全平方；(2) 三个非负数的和为0，则都为0； (3) 已知 a、b、 c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a2 10a+25+b224b+144+c 226c+169=0,配方并化简得,(a 5)2+(b 12)2+(c 13)2=0. (a 5)2 0,(b 12)2 0,(c13)2 0.细节决定未来-5-启智教育Ed

11、ucation intelligently快乐学习健康成长 a 5=0,b 12=0,c 13=0.解得 a=5,b=12,c=13.又 a2+b2=169=c 2, ABC 是直角三角形.12.思路分析：（ 1）作 DE AB ，连结 BD ，则可以证明 ABD EDB （ ASA ）；(2)DE=AB=4 ， BE=AD=3 ， EC=EB =3； (3)在 DEC 中， 3、 4、5 为勾股数， DEC 为直角三角形，DE BC ； (4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作 DE AB ，连结 BD ，则可以证明ABD EDB （ASA ） , DE=AB=4 ， BE=AD=3. BC=6, EC=EB=3. DE 2+CE2=32+4 2=25=CD 2, DEC 为直角三角形.又 E