八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考测试(含解析)(新版)北师大版

1、 第一章三角形的证明 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 24 cm 【答案】C 【解析】根据勾股定理可以得出：斜边长 = =10cm. 故选：C. 点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是灵活应用勾股定理的公式计算 2. 如图，已知 ABC AB BC 用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P,使得 PA+PC= BC 则下列选项正确的 是（ ） PB+PC=B（和 PA+PC=B（易得PA=PB 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点 AB 的垂直平分线上，于是可判断 故选 D. 考点：

2、作图一复杂作图 3. 如图，在 ABC 中, AB= AC, BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D, AE/ BD 交 CB 的延长线于点 E.若/ E= 35, 则/ BAC 的度数为（ ）6 cm 和 8 cm，那么这个直角三角形的斜边长为（ ） D选项正确. 【解2 A. 40 B. 45 C. 60 D. 70 【答案】A 【解析】根据平行线的性质可得/ CBD 的度数，根据角平分线的性质可得/ CBA 的度数，根据等腰三角形的 性质可得/C的度数，根据三角形内角和定理可得/ BAC 的度数. 解： AE/ BD / CBDM E=35 , v BD 平分/ ABC CBA=70

3、, v AB=AC / C=Z CBA=70，/ BAC=180 - 70 X 2=40. 故选 A. “点睛”考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理关键是得到 / C=Z CBA=70 . 4. 如图，在 ABC 中，AC= 4 cm，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点“， BCN 的周长是 7 cm,则 BC 的长为 （ ） 【答案】C 【解析】试题分析：根据中垂线的性质可得： BN=AN 则厶 BCN 的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC=7 根 m 据 AC=4cm 可得：BC=7- 4=3cm. 考点：中垂线的性质 5. 如图，小

4、亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距 3 离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m,则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）4 A. 12 m B. 13 m C. 16 m D. 17 m 【答案】 D 【解析】如图所示，作 BCL AE 于点 C,贝 U BC= DE= 8，设 AE= x，贝 U AB= x, AC= x 2，在 Rt ABC 中，AC + BCf= A 占，即(x 2)2 + 82= x2,解得 x = 17.所以旗杆的高度为 17m. 6. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A.若 a= b，贝 U

5、 a2= b2 B. 同位角相等 【答案】C 【解析】根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知： 若 a=b，则 a2= b2的逆命题为：若 a2= b2，贝U a=b，是假命题； 同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题； 两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题； 等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题 . C.两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形两底角不相等 5 故选：C. 7. 如图，在 ABC 中，/ B= 30， BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D, C

6、E 平分/ ACB，若 BE= 2,则 AE 的长为（ D I A. . - B. 1 C. . D. 2 【答案】B 【解析】试题解析：在 ABC 中，/ B=30 , BC 的垂直平分线交 AB 于 E, BE=2, BE=CE=2 / B=Z DCE=30 , / CE 平分/ ACB / ACB=Z DCE=60，/ ACEM DCE=30 , / A=180 - ZB- / ACB=90 . 在 Rt CAE 中，TZ A=90 , Z ACE=30 , CE=2 1 AE= CE=1. 2 故选 B. 8. 如图，在 ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 平分Z ABC 交

7、CD 于点 E, BC= 5, DE= 2，则 BCE 的面积为 ( ) A. 10 B. 7 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】作 EF BC 于 F, / BE 平分Z ABC EDL AB EF BC 6 EF=DE=2 I 1 S BCE= BC?EF= X 5X 2=5, 故选 C.7 9. 如图， DCE 都是边长为 2 的等边三角形，点 B, C, E 在同一条直线上，连接 BD,则 BD 的长为 A. 18 B. 3 . C. 12 D. 2 【答案】D 【解析】过点 D 作 DF 丄 EC 于点 F,利用正三角形的性质得出 CF=1, BF=3,再利用勾股定理求出 DF

8、=j&T-C：,r 肿,则可得 BD=上 4 , . - .-. 故选：D. 点睛：此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出 DF 的长是解题关键. 10. 如图，在 ABC 中，AB= AC= 5, BC= 8, P是BC边上的动点，过点 P 作 PDL AB 于点 D, PEI AC 于点 E, 则 PD+PE 的长是（ ） A. 4.8 B. 4.8 或 3.8 C. 3.8 D. 5 【答案】A 【解析】试题分析：作 AF 丄 BC 于 F,根据等腰三角形三线合一的性质得出 BF=CF=4 然后根据勾股定理求 得 AF=3,连接 AP,根据 ABC 的面积= ABP 的

9、面积+ ACP 的面积解出答案即可 考点：轴对称问题 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） 11. _ 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 . ( ) 8 【答案】面积相等的三角形全等 【解析】试题分析：把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题: 命题是：面积相等的三角形是全等三角形. 考点：互逆命题 12. 若一个三角形的三边长分别为 3 m, 4 m, 5 m,那么这个三角形的面积为 . 2 【答案】6 m 【解析】根据勾股定理的逆定理，可由三边的长判断出此三角形是直角三角形， 3cm 4cm 是三角形的两直 角边，所以根据三角形的面积公式可得面积为 3X 4 十 2=6 曆

10、 故答案为：6 卅. 13. 如图，点 D, C, A 在同一条直线上，在 ABC 中，/ A：/ ABC：/ ACB= 3 : 5 : 10,若厶 EDQA ABC 则/ BCE 的度数为. 【答案】20 【解析】利用三角形的三角的比/ A:/ ABC / ACB=3 5: 10,设/ A=3x，则/ ABC=5x , / ACB=10 x , 根据三角形的内角和为 180得 3x+5x+10 x=180 ,解得 x=10,求出三角的度数/ A=30 , / ABC=50 , / ACB=100，可得/ BCN=180 - 100 =80。，再由厶 MNQAABC 得到/ACB/ MCN=1

11、00，因此可求得 / BCM/NCM / BCN=100 -80 =20 . 故答案为：20 . 点睛：本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注 14. 如图，在 ABC 中，/ C= 90,/ B= 30, AD 平分/ CAB 交 BC 于点 D,若 CD= 1，贝 U BD= A “全等三角形的面积相等”的9 【答案】2 【解析】试题分析：根据角平分线性质求出/ BAD 的度数，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 AD 即可得 BD. / C=9C ，/ B=30 ,/ CAB=60 , AD 平分/ CAB /-Z BAD=30 , A

12、 BD=AD=2CD=2 考点：含 30 度角的直角三角形；角平分线的性质 视频厦 15. 如图，在 ABCD ADC 中，下列论断：AB= AD Z ABC=Z ADC= 90 :BC= DC.把其中两个论 断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出个真命题. C 【答案】2 【解析】根据题意，可得三种命题，由 ，根据直角三角形全等的判定 HL 可证明，是真命题；由 =，能证明Z ABCZADC 但是不能得出一定是 90，是假命题；由 =，根据 SAS 可证明两三 角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题 .因此可知真命题有 2 个. 故答案为：2. 点睛：仔细审题，将其中的两个作为

13、题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判 定定理和性质可判断出是否是真命题 16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据： AW 4 米，AB= 8 米，Z MAD =45 ,Z MBC= 30，则警示牌的高 CD 为米.（结果精确到 0.1 米，参考数据： 边 1.41，命 1.73 ） 10 【答案】2.9 【解析】试题分析：在 Rt AMD 中, Z MAD=45 , AM=4 米，可得 MD=4 米；在 Rt BMC 中, BM=AM+AB=1 米, Z MBC=30，可求得 MC=4.,_米，所以警示牌的高 CD=4.,_ -4=2.9

14、米. 考点：解直角三角形 17. 如图， 在 ABC 中， AB= 4, AC= 3,人。是厶 ABC 的角平分线，则 ACD 的面积之比是. 【解析】试题分析：估计角平分线的性质，可得出厶 ABD 的边 AB 上的高与厶 ACD 的 AC 上的高相等，估计三 角形的面积公式，即可得出 ABD 与厶 ACD 的面积之比等于对应边之比. 解： AD 是厶 ABC 的角平分线， 设厶 ABD 的边 AB 上的高与厶 ACD 的 AC 上的高分别为 hi, h2. h i=h2, ABD 与厶 ACD 的面积之比=AB: AC=4 3, 故答案为 4: 3. 考点：角平分线的性质. 18. 如图，/

15、 BOC= 9,点 A 在 0B 上，且 0A= 1.按下列要求画图：以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交 0C 于点 A,得第 1 条线段 AA;再以 A为圆心，1 为半径向右画弧交 0B 于点如得第 2 条线段 AA;再以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交 0C 于点 As,得第 3 条线段 A2A3； 依次画下去，直到得到第 n条线段，之 后不能再画出符合要求的线段，则 n= _. 11 【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得/A 1AB 的度数，/A 2A1C 的度数, ZA3A2B 的度数，/A 4AC 的度数，依此得到规律，再根据三角形外角小于 90即可求

16、解. 解：由题意可知： A0=A, AA=AA， 则/A0A1=/ 0AA,/A10A=/A1AA,， / B0C=9 , /A 1AB=18 , /A 2AC=27 , /A 3AeB=36 的度数，/A AC=45， 9 nv 90 , 解得 nv 10. 由于 n为整数，故 n=9. 故选 B. 考点：等腰三角形的性质. i.视频】） 、解答题（共 58 分） 19. 如图，AD 是厶 ABC 的角平分线，CE/ AD 交 BA 的延长线于点 E,那么 ACE 是等腰三角形吗？请证明你 【解析】 试题分析： 根据平行线的性质得到/ BAD =Z E,Z CADM ACE 然后结合角平分线

17、的性质和等量代 换推知/ E=M ACE 故厶 ACE 是等腰三角形. 试题解析： ACE 是等腰三角形. 证明：因为 AD 是厶 ABC 的角平分线，所以/ BADM CAD 的结论. 腰三角形，证明见解析 12 因为 CE/ AD 所以/ BADM E,M CADM ACE 所以/ E=M ACE. 所以 AE=AC 即厶 ACE 是等腰三角形. 点睛：本题考查了等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等. 20. 如图，在 Rt ABC 中，/ B= 90, AB= 5, BC= 3, AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB AC 于 D, E 两

18、点, 试求CD 的长.13 a 【答案】CD 的长为 34 【解析】试题分析：根据 DE 是 AC 的垂直平分线,可知 DA=DC，设 DC* ,用 x 表示出 DB 的长，再在 RtABCD中，利用勾股定理即可求出 x 的值据此可求解. 试题解析：因为 DE 是 AC 的垂直平分线，所以 CD= AD.所以 AB= BD+AD= BD+CD. 设 CD= x,贝 U BD= 5 x.在 Rt BCD 中，由勾股定理，得 CD2= BC+BD,即 x2= 32+(5 x)2，解得 x = 34 故 CD 的长为 34 21. 如图，在 ABC 中，AB=AC=10 cm / B=15 , CD

19、 是 AB 边上的高，求 CD 的长. 【答案】CD 的长是 5 cm . 【解析】试题分析：根据等边对等角和三角形的外角求出/ CAD 的度数，然后根据 30角的直角三角形的 性质可求解 试题解析：在 ABC 中，因为 AB=AC=10 cm / B=15，所以/ B=Z ACB=15 . 所以/ DACM B+Z ACB=30 . 因为 CD 是 AB 边上的高，所以Z D=9C . 所以 CD=AC 冷X 10=5 ( cm),即 CD 的长是 5 cm. 22. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .如图所示四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AB= CB AD= CD 对角线 A

20、C BD 相交于点 O OELAB OF1 CB 垂足分别是 E, F.求证：0E= OF. 14 【解析】试题分析：欲证明 OE=OF 只需推知 BD 平分/ ABC 所以通过全等三角形 CBD( SSS 的 对应角相等得到/ ABDM CBD 问题就迎刃而解了. 试题解析：证明：在 ABDDA CBD 中 , AB=CB AD=BD BD=BD ABDACBD( SSS, / ABDM CBD BD 平分/ ABC 又 OELAB OF!CB OE=OF 23. 如图，在 Rt ABC 中，/ C= 90o, BD 是 ABC 的角平分线，点 O 在 BD 上 ,分别过点 O 作 OEL

21、BC, OFLAQ 垂足为 E , F ,且 OE=OF. (1 )求证：点 O 在/ BAC 的平分线上; (2 )若 AC= 5 , BC= 12 ,求 OE 的长. 【答案】(1)证明见解析；(2) 0 匚 2. 15 【解析】试题分析：(1)过点 0 作 OMLAB 由角平分线的性质得 0E=0M 由正方形的性质得 OE=OF 易得 OM=OF 由角平分线的判定定理得点 0 在/ BAC 的平分线上； (2) 连接 0C 根利用勾股定理求出 AB 的长，据三角形的面积公式即可得出结论. 试题解析：(1)证明：过点 0 作 0MLAB 于点 M. 因为 BD 平分/ ABC 0MLAB

22、于 M 0EL BC 于 E,所以 0M= 0E. 又 0E=0F 所以 0M=0F 所以点 0 在/ BAC 的平分线上. (2)连接 0C在 Rt ABC 中，/ C= 90 , AC= 5, BC= 12,根据勾股定理，得 AB= 13. 1111 因为 SAABC+SABCC+SAAC0=S ABC,所以 X 13 0M+ X 12 0E+ X 5 0F= X 5X 12. 2 2 2 2 由(1)知 OM=OE=0F 所以 15OE=3Q 解得 0E= 2. 点睛：本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关 键. 24. 按照题中提供的思路

23、点拨，先填空，然后完成解答的全过程 如图，已知 AB= AD / BAD= 60,/ BCD= 120,延长 BC,使 CE= CD 连接 DE 求证：BC+DC= AC. 思路点拨：(1)由已知条件 AB= AD, / BAD= 60,可知 ABD 是三角形.同理由已知条件/ BCD= 120 得到/ DCE=_ ,且 CE= CD 可知_； (2) 要证 BC+DC= AC,可将问题转化为证两条线段相等，即_=_; (3) 要证(2)中所填写的两条线段相等，可以先证明 .请写出完整的证明过程. 【答案】(1)等边，60, DCE 是等边三角形；(2) AC, BE; ( 3)A BEDA

24、ACD 证明见解析 16 【解析】试题分析：(1)连接 BD,根据等边三角形判定推出即可；求出/ DCE=60，得到等边三角形 DCE 即可； (3) 根据等边三角形性质推出 AD=BD CD=DEZ ADBd CDE=60，推出/ ADCM BDE ADC BDE 即 可； (4) 由(3)即可得出答案. 试题解析：(1) (1 )解：连接 BD, / AB=ADZ BAD=60 , ABD 是等边三角形， / BCD=120 , / DCE=180 - / BCD=180 -120 =60 , / CE=CD DCE 是等边三角形， 故答案为：等边，60, DCE 是等边三角形. (2) 证明：等边三角形 ABD 和 DCE AD=BD CD=DE / ADBM CDE=60 , / ADBf BDCM CDE# BDC 即/ ADCM BDE 在 ADC 和 BDE 中 ,