时间序列分析入门概述

1、时间序列分析入门主要内容 确定性时间序列模型 随机时间序列模型及其性质 时间序列模型的估计和预测一. 确定性时间序列模型 时间序列：各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据 时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式确定性时间序列模型 滑动平均模型 加权滑动平均模型 二次滑动平均模型 指数平滑模型(1) 滑动平均模型NyyyyNtttt11作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用于预测趋势Nt (2) 加权滑动平均模型NyayayayNtNtttw11110110NaNii作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权因子的选取，增加新数据的

2、权重，使趋势预测更准确其中Nt (3) 二次滑动平均模型NyyyyNtttt11Nt 对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均(4) 指数平滑模型)(111ttttyyyy11)1 (tttyyy10平滑常数本期预测值是前期实际值和预测值的加权和二. 随机时间序列模型及其性质 随机时间序列 平稳时间序列 随机时间序列模型1. 随机时间序列 随机过程与随机序列 时间序列的性质(1) 随机过程与随机序列 为随机序列等，则称，或，为离散集，如当取为随机过程则称等或为连续集，如当取对于该随机变量的全体为随机变量，取为某个时间集，对设ttttxTTTxTTTTtxxTtT2121012,), 0),(

3、,随机序列的现实 对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本序列x1,x2, xn，称它为随机序列xt的一个现实 随机序列的现实是一族非随机的普通数列(2) 时间序列的统计性质(特征量) 均值函数：某个时刻t的性质dxxxpxEttt)()( 的概率密度函数是ttxxp)(时间序列的统计性质 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质)(),(Cov,ssttststExxExxExxrtsstrr,)(Var,tttxr 时间序列的统计性质 自相关函数ssttststrrr,tsst,1,tt2. 平稳时间序列所谓平稳时间序列是指时间序列 xt, t=0,1,2, 对任意整数t，

4、，且满足以下条件：1)对任意t，均值恒为常数2) 3)对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关随机序列的特征量随时间而变化，称为非平稳序列2tEx)(无关的常数与tExt)t(Var2无关的有限常数与xtxkkttrr,txttxt平稳序列的特性 方差 自相关函数：220,)(xtttxErr02rrrkxkk1, 10kkk自相关函数的估计TttkTttTtkttxxTxrrxxxxxx101211)()(平稳序列的判断kkk k0011平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降一类特殊的平稳序列 白噪声序列 随机序列xt对任何xt和xt都不相关，且均值为零，方差为有

5、限常数 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布)0(0020krrExkxt3. 随机时间序列模型 自回归模型（AR） 移动平均模型（MA） 自回归移动平均模型（ARMA）(1) 自回归模型及其性质 定义 平稳条件 自相关函数 偏自相关函数 滞后算子形式 自回归模型的定义 描述序列xt某一时刻t和前p个时刻序列值之间的相互关系 随机序列t是白噪声且和前时刻序列xk （kq举例18 . 02ttty49. 08 . 018 . 02110kk0.512318 . 02ttty的序列yt-1135t 滞后算子形式tqqtqttttBx)(2211tqtxB)(1其中qqqBBBB2211)(A

6、R(p)与MR(q)的比较tttx11tttxx1AR(1)MR(1)(3) 自回归移动平均模型 定义 性质 滞后算子形式 自回归移动平均模型 自回归模型与移动平均模型的综合qtqtttptptttxxxx22112211计为ARMA(p,q), 0()()0 ,()(qARMAqMApARMApAR ARMA(p,q)的性质 ARMA(p,q)兼有AR (p)和ARMA(q)的性质 平稳条件：与AR (p)相同 ARMA(1,1) 平稳条件1111ttttxx充分大t11ARMA(1,1)的自相关函数2211121022212110212111101212)(rrxErttt)2()(1)(

7、1 ()(111111112222111112101111111krrrxxErrxxErkktttttttt自协方差函数ARMA(1,1)的自相关函数2121)(1 (1111211111kkkkARMA(p,q)的自相关函数与AR(p)一样，具有拖尾性 滞后算子形式qtqtttptptttxxxx22112211tpqttqpttqtpxBBBBxBxB)()()()()()(11性质总结性质总结模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾平稳的条件特征根在单位圆外无条件平稳 特征根在单位圆外可逆的条件无条件可逆 特征根在单位圆外特征根在单位圆外

8、三. 时间序列模型的估计和预测 模型识别与参数估计 时间序列预测1.模型识别与参数估计 模型识别 参数估计 阶数的确定 模型检验模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否(1) 模型识别 自相关函数截尾MA(q) 自相关函数拖尾偏自相关函数截尾AR(p)偏自相关函数拖尾ARMA(p,q)(2) 模型参数估计 AR(p)的最小二乘估计 ARMA(p,q)的最小二乘估计 AR(p)的最小二乘估计TpTpTTTppppppppppxxxxxxxxxxxx2211222112111211Txxx,21普通最小二乘法 ARMA(p,q)的最小二乘估计121121111111qtqtpt

9、ptttqtqtptptttxxxxxxqtqtttptptttxxxx22112211),(sjittxfx非线性最小二乘估计(3) 模型阶数的确定MA(q)或AR(p) 自相关函数的截尾 偏自相关函数的截尾)21 (/1)21 (/11212qiikqiiTTTTkk/ 12/ 12模型阶数的确定ARMA(p,q)AIC准则 (Akaike info criterion)TqpqpqpAIC/ )(2),(lg),(2)(),(122qpTqpTtt选择使AIC最小的(p,q)组合(4) 模型的检验目的与标准：残差项是否为白噪声序列TttTtkttk121)(212qpKTQKkkK是自相

10、关函数的个数2. 时间序列模型预测 AR(1)tttxx11TllTTTTTTxxxxxx1212111)0(时间序列模型预测 MA(1)11tttxTTx1101122TTTx时间序列模型预测 ARMA(1,1)1111ttttxxTTTxx111TTTTTTxxxx)(1121111112TlTllTxx1111四.非平稳时间序列与协整 单整 虚假回归 协整 误差修正模型非平稳时间序列举例 随机游走 随机游走序列的方差无穷大)(1为白噪声序列ttttxxttttttttttttttxxxx22121211)(Var)(Var(1)单整 差分差分：用变量 的当期值减去其滞后值而得到新序列的方

11、法 单整单整：若一个非平稳的时间序列 必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的ARMA时间序列，则称 具有d阶单整性。记作 单整性也称齐次非平稳性齐次非平稳性txtxtx)(dIxt单整自回归移动平均模型 随机时间序列 经过d次差分后变换成一个p阶自回归、q阶移动平均的平稳序列，则称 为单整自回归移动平均序列单整自回归移动平均序列，记作ARIMA(p,d,q) 也称为d阶齐次非平稳时间序列阶齐次非平稳时间序列，求和自求和自回归移动平均序列，回归移动平均序列，或综合自回归移动综合自回归移动平均序列平均序列，或单积自回归移动平均序列单积自回归移动平均序列txtx(2)虚假回归 两个相互独立的非平稳

12、序列，如 对 和 的一个现实，作如下一元线性回归： 和 相互独立，因此应该有 但如果假设检验的结果是 ，即T检验显著，这就是虚假回归问题虚假回归问题。) 1 , 0(IN, 001ttttxxx) 1 , 0(IN, 001ttttyyytxtytttvxy10txty0101虚假回归的原因 当两个相互独立的I(1)序列进行回归时，回归系数的t统计量不服从通常意义的t分布，而是发散的（服从维纳Wiener过程函数分布）051015-15-10-5t分布分布)(1t(3)协整 若时间序列 一般来说，若 但如果 的单整阶数小于d，则称 和 存在协整关系则),(),(cIydIxtt),(max)(cdIbyaxzttt则),(),(dIydIxtt)()(dIbyaxzttttztxty协整的