e第五章平稳时间序列预测

1、应用时间序列分析应用时间序列分析第五章第五章 平稳时间序列预测平稳时间序列预测 1 本章介绍利用ARMA模型进行平稳时间序列预测的理论与方法。具体要求：理解平稳线性最小均方误差预测的含义；熟悉条件期望预测以及预测的三种形式；掌握ARMA模型差分方程形式的预测方法；掌握预测值的适时修正方法。 2考虑以 为原点，向前期(或步长)为 的预测tl)(lXt预测误差为 )()(lXXletltt预测误差的均方值为 )()(22lXXEleEtltt 使上式达到最小的线性预测称为平稳线性最小均方误差预测（也称为平稳线性最小方差预测） 3第一节 条件期望预测 )(),(.),(21ltlttttltXVar

2、XENXXXX.),( ()(21tttlttXXXXElX几条性质 ktttkXXXXXE.),(21ktttkaXXXaE.),(21)(tk )(tk 0.),(21tttltXXXaElttttltXXXXXE.),(21)0( l)0( l4第二节 预测的三种形式 ARMA模型的三种表示形式 差分方程形式 传递形式 逆转形式 mtmtttntntttaaaaXXXX.22112211jtjjtaGX0tjtjjtaXIX15一、由ARMA模型的传递形式进行预测 jltjjltaGX0jtjjltttjltjjtttlttaGXXXaEGXXXXElX021021.),(.),( ()

3、(611110.)()(tlltlttlttaGaGaGlXXle).()()(21222120222latlttGGGGlXXEleE).()()()(21222120222latltltltltGGGGlXXEXEXEXVar2121222120).(96. 1laltGGGGX7jtjjtaGlX0*)()(.)().()(02*21222120220*111102jjjllajtjjjltlltlttltGGGGGGaGGaGaGaGElXXEjtjjltaGlX0)(这说明条件期望预测与最小均方误差预测是一致的 的线性组合的预测值表示为将,21tttltaaaX8二、用ARMA模型的

4、逆转形式进行预测 ltjltjjltaXIX1jltljjtljjtttjltjjtttlttXIjlXIXXXXEIXXXXElX)(.),(.),()(11211219三、用ARMA模型(即差分方程形式)进行预测 1 AR(1)模型预测 ltltltaXX11) 1(.),)( )(12111lXXXXaXElXttttltltt0) 1()(1lXlXtttltXlX1)(102 ARMA(1,1)模型预测 1111ltltltltaaXXtttttttttaXXXXaaXEX1121111.),)( ) 1 (11111) 1 (ttttttaXXXXa) 1(.),)( )(1211

5、111lXXXXaaXElXttttltltltt0) 1()(1lXlXtt1l11ltttaXlX111)()(lttblX10)(0) 1()(1lXlXtt该差分方程的通解为 由一步预测结果求出待定系数可得 预测函数的形式是由模型的自回归部分决定的，滑动平均部分用于确定预测函数中的待定系数，使得预测函数“适应”于观测数据。 123 MA(1)模型预测 11ltltltaaXtttttttaXXXaaEX12111.),)( ) 1 (111) 1 (tttttaXXXa0)(lXt 对于MA(m)模型而言，超过m步的预测值均为零，这与MA序列的短记忆性是吻合的。 当预测步数超过1时13

6、4ARMA(n,m)模型预测的一般结果 mltmttlnltntltltttttlttaaaXXXlXlXXXXXElX.) 1 (.)2() 1(.),()(1212121)(.) 2() 1()(21nlXlXlXlXtnttt当预测步数超过m时)(.)()()(111100lfblfblfblXntnttt该差分方程的通解为0.111nnnn通常它们可能包含多项式、指数、正弦和余弦以及这些函数的乘积。 其中的函数形式由下面特征方程的根决定14 对于平稳ARMA(n,m)模型，随着超前步数的增大，预测值趋于零(实际上是序列的均值)。 【例例5-15-1】 设 适合以下ARMA(2，1)模型

7、已知： 分别为求 和预测函数 。 tX1213 . 05 . 08 . 0tttttaaXXXttttXXXX,123, 0, 6 . 0 , 5 . 2 , 2 , 12ta)2(),1 (ttXX)(lXt4 . 003 . 0) 1(5 . 028 . 05 . 23 . 05 . 08 . 023211tttttaXXXa1528. 04 . 03 . 025 . 05 . 28 . 06 . 03 . 05 . 08 . 0121tttttaXXXa07. 0)28. 0(3 . 005 . 25 . 06 . 08 . 0)3 . 05 . 08 . 0()() 1 (111ttt

8、tttaaXXEXEX244. 06 . 05 . 007. 08 . 05 . 0)(8 . 0)3 . 05 . 08 . 0()()2(11212ttttttttXXEaaXXEXEX160)2(5 . 0) 1(8 . 0)(lXlXlXttt05 . 08 . 02)cossin()58. 04 . 0()(1022lblblXttlt41.554 . 058. 0 arctgi58. 04 . 0由前面的一步和两步预测结果可以求出待定系数。17【例例5-25-2】 利用例4.1所建模型进行预测，模型为 当t=57、58、59、60时， 分别为52、-75、66、-96。在t=60（

9、1997年12月）作超前一步和两步预测。 1200. 134. 043. 0ttttaaXXtX058a为了计算方便，不妨设 5859575900. 134. 043. 0aaXX89.47000. 15234. 043. 06600. 134. 043. 058575959aXXa1804.2389.4700. 1)75(34. 043. 09600. 134. 043. 059586060aXXa91.45)04.23(00. 106634. 043. 0)00. 134. 043. 0()() 1 (6016016016060aaXEXEX21.32000. 10)96(34. 043.

10、 0)00. 134. 043. 0()()2(1602606026060aaXEXEX04.16000. 1091.4534. 043. 0)00. 134. 043. 0()()3(26036016036060aaXEXEX19预测图示 20第三节 预测值的适时修正 在进行超前多步预测时，随着时间的推移，原来的一些预测值变为已知，这时需要进行新的预测，以便利用最近的信息。 jtjjltaGlX01) 1(jtjjltaGlX101)(11) 1()(tlttaGlXlX 新的预测值可以由旧的预测值和新的观察值(新息)推算出来，即新的预测值是在旧的预测值基础上加一个修正项，而这一修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随预测超前步数而变化。 21【例例5-3】 对于例5-2,假设我们已知道观测值 ,试利用前面t=60时的预测值计算 和 。 2061X) 1 (61X)2(61X10G1111G34. 002112GGG91.6591.4520) 1 (606161XXa227 .33)91.65() 1(21.32)2() 1 (6116061aGXX