复变函数64PPT学习教案

1、会计学1复变函数复变函数64- 2 -幂函数幂函数(2nwzn为自然数为自然数),),由于由于1nwnz 从而当从而当0z 时时0,w 即即nwz 在复平面上在复平面上除坐标原除坐标原点点处处是共形的。处处是共形的。令令,iizewre 得得,(6.4.1)nrn由此可见，在映射由此可见，在映射nwz 下，下， z平面的圆周平面的圆周|za 映射映射成成w平面的圆周平面的圆周|,nwa 特别是单位圆周特别是单位圆周| 1z 映射映射由由ininree 第1页/共16页- 3 -成单位圆周，成单位圆周，射线射线0 映射成射线映射成射线0,n 角形域角形域00()n 映射成角形域映射成角形域00,

2、n特别将角特别将角形域形域20n 映射成沿正实轴剪开的映射成沿正实轴剪开的w平面平面02 uvo0n yxo0 uvo2n yxo第2页/共16页- 4 -由于由于nwz 为为20n 角形域角形域z平面角形域平面角形域到到w平面平面02是一一映射，是一一映射，因此映射因此映射nwz 在在z平面上除原点和正实轴外是共形的平面上除原点和正实轴外是共形的( (这里我们将这里我们将nwz 的解析分支取在的解析分支取在0Arg2 ),z 且将角形域且将角形域0Arg2z 映射成角形域映射成角形域20Argwn 。因此因此将将以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域以原点为顶点的角形域映射成以原点为

3、顶点的角形域经常使用映射经常使用映射nwz 或或.nwz 第3页/共16页- 5 -2()w 求将区域求将区域|1| 2,Re0zz映射成区域映射成区域Im0w 的一个共形映射。的一个共形映射。例例1 13i3i 123 ( )z解解23 1()w3()w23 133ziwzi 211iwe ww 332ww 第4页/共16页- 6 -3()w( )w3ww 因此所求映射为因此所求映射为3ww 32w 31w33()3iziz 2i2i 3123 ( )z133ziwzi 21ww 332ww 第5页/共16页- 7 -例例2 2求将具有割痕求将具有割痕Re,0Imzazh得上半平面得上半平面

4、映射成单位圆的一个共形映射。映射成单位圆的一个共形映射。1wzaaih ( )z1()wih2()w2h 221ww 232wwh3()w2h解解第6页/共16页- 8 -h h4()w43ww 44wiwwi aih ( )z( )w1所以所以44wiwwi 33wiwi 2222whiwhi 221221whiwhi 2222()()zahizahi w3()w2h1wza221ww 232wwh第7页/共16页- 9 -指数函数指数函数,zwe 由于由于0zwe 所以映射所以映射zwe 在复平面上每一点处都是共形的。在复平面上每一点处都是共形的。设设,izxiy we 则则ixiyee

5、e 即即,(6.4.2)xey由此可见，在由指数函数所确定的映射下，由此可见，在由指数函数所确定的映射下，将将z平平面的直线面的直线RezC 映射成映射成w平面的圆周平面的圆周|,Cwe 将将第8页/共16页- 10 -直线直线ImzC 映射成射线映射成射线Arg,wC 特别，将带形域特别，将带形域00Im(2 )zy 映射成角形域映射成角形域00Arg.wy( )z0y0y( )wzwe 将带将带形域形域0Im2z 映射成沿正实轴剪开的复平面。映射成沿正实轴剪开的复平面。( )z2 zwe ( )w第9页/共16页- 11 -由于映射由于映射zwe 是是0Im2z 到到0Arg2w 一一映射

6、，一一映射，所以其逆映射所以其逆映射Lnwz 是是0Arg2z 到到0Im2w 共形映射，共形映射，( (这里我们认为这里我们认为Lnz在除在除原点和正实轴外是解析的原点和正实轴外是解析的) )()w2 i Lnwz ( ) z特别映射特别映射lnwz 将上半将上半平面平面Im0z 映射成带形域映射成带形域0Im.w ( ) zlnwz ( )wi 第10页/共16页- 12 -因此将带形域映射成角形域经常使用映射因此将带形域映射成角形域经常使用映射,zwe 将角形域映射成带形域经常使用映射将角形域映射成带形域经常使用映射Ln (ln ).wzz 或或第11页/共16页- 13 -1()w()

7、ba i 例例3 3求将带形域求将带形域Reazb映射成单位圆映射成单位圆| 1w 的的一个共形映射。一个共形映射。解解( )zab3()w1()wi za21wwba 23wwe 2()wi 第12页/共16页- 14 -( )zabw1i( )w33wiwwi 22wweiei 11wb awb aeiei ()()iz ab aiz ab aeiei 3()w1()wi za21wwba 23wwe 33wiwwi 第13页/共16页- 15 -( ) z2例例4 4求将区域求将区域| 2,|1| 1zz映射成上半平面映射成上半平面Im0w 的一个共形映射。的一个共形映射。1()w2 oo12解解12zwz 2()wi 212wiw ()w2wwe 22zizwe 1i i 第14页/共16页- 16 -( )wi 例例