3第三讲一元二次不等式及其解法(教师版)

1、2020 年升高一衔接学案第三节.一元二次不等式及解法基本不等式第一课时：一元二次不等式3用爱做有温度的养成教育知识点一一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，叫做一元二次不等式表达式ax2bxc>0，ax2bxc<0，ax2bxc0，ax2bxc0，其中a0，a，b， c 均为常数解集ax2 bx c> 0(a 0)解集是使f(x) ax2 bx c 的函数值为正数的自变量x 的取值集合ax2 bx c< 0(a 0)解集是使f(x) ax2 bx c 的函数值为负数的自变量x 的取值集合ax2 bx c 0(a 0

2、)解集是使f(x) ax2 bx c 的函数值大于或等于0的自变量x 的取值集合ax2 bx c 0(a 0)解集是使f(x) ax2 bx c 的函数值小于或等于0的自变量x 的取值集合思考下列不等式是一元二次不等式的有x2>0；3x2x5；x35x6>0；ax25y<0(a 为常数)；ax2bxc>0.答案解析 是，符合定义； 不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义； 不是，当a 0 时，它是一元一次不等式，当a 0 时， 它含有两个变量x， y； 不是， 当a 0 时， 不符合一元二次不等式的定义2020 年升高一衔接学案知识点二一元二次不等式的解法利用“三个

3、二次”的关系我们可以解一元二次不等式解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当 0时，求出相应的一元二次方程的根，作出函数图象，当<0 时，直接作出函数图象草图；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集知识点三“ 三个二次” (二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 b2 4ac> 0 0< 0y ax2 bx c(a> 0) 的图象ax2 bx c 0(a> 0)的根有两个不相等的实根x1， x2，且x1< x2有两个相等的实数根x1， x2没有实数根ax2 bx c>

4、 0(a> 0)的解集 x|x<x1 或x>x2bx x 2aRax2 bx c< 0(a> 0)的解集 x|x1 <x<x2?思考 若一元二次不等式ax2 2x 1 < 0 的解集为R，则a 的取值范围是答案 (，1)a< 0，a< 0，解析? a<1.< 04 4a< 0题型一一元二次不等式的解法例 1 解下列不等式：(1)2x2 7x 3> 0；81(2) 4x2 18x 4 0；(3) 2x2 3x 2< 0；2020 年升高一衔接学案1(4) 2x2 3x 5> 0.1解(1)因为724&

5、#215;2×325>0，所以方程2x27x3 0 有两个不等实根x13，x22.又二次函1数y 2x2 7x 3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为x|x>2或 x<3(2)原不等式可化为2x 92 0，所以原不等式的解集为x|x 49 .(3)原不等式可化为2x23x2>0，因为94×2×27<0，所以方程2x23x20 无实根，又二次函数y 2x2 3x 2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x26x10<0， (6)2404<0，所以方程x26x100 无实根，又二次函数y x2 6x

6、10 的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.反思与感悟解一元二次不等式注意事项(1)先将二次项系数化为正数；(2)正确理解“ >0”“<0” 对于二次函数图象的意义；(3)答案要写成解集(或区间)形式跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2 5x 6> 0； (2)(2 x)(x 3)< 0；(3)4(2x2 2x1)> x(4 x)解(1)方程x2 5x 6 0 的两根为x11， x2 6.结合二次函数y x2 5x 6 的图象知，原不等式的解集为 x|x<1 或x> 6(2)原不等式可化为(x 2)(x 3)> 0.方程(x 2)(x 3) 0

7、 的两根为x1 2， x23.结合二次函数y (x 2)(x 3)的图象知，原不等式的解集为x|x<3 或x> 2(3)由原不等式得8x2 8x 4> 4x x2.原不等式等价于9x2 12x 4> 0.9用爱做有温度的养成教育2解方程9x当a<1 时，原不等式的解集是x|x<或 x> 1 . a反思与感悟含参数不等式的解题步骤 （1）将二次项系数化为正数；（2）判断相应的方程是否有根（如果可以直接分解因式，可省去此步）； （3）根据根的情况写出相应的解集（若方程有两个相异实根，为了写出解集还要讨论两个根的大小）另外，当二次项含 用爱做有温度的养成教育

8、 12x 4 0，得x1 x2.32结合二次函数y 9x2 12x 4的图象知，原不等式的解集为 x|x 3题型二解含参数的一元二次不等式例 2 解关于 x 的不等式：ax2 （a 1）x 1< 0（aR）解 原不等式可化为：（ax 1）（x 1）< 0，当a0 时，x< 1 ；1当a>0 时，x a （x 1）< 0，1< x< 1；a当a1 时，x 1 ；1当 1 < a< 0 时，x a （x 1）> 0， x>或x< 1 ；a当a<1 时，1 < 1，a x> 1 或 x<1.a综上，当a0

9、 时，原不等式的解集是 x|x< 1；当a>0 时，原不等式的解集是x| 1< x< 1 ；a当a1 时，原不等式的解集是 x|x 1 ；1当 1< a< 0 时，原不等式的解集是x|x< 1或 x>.a有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为一元二次不等式跟踪训练2 解关于 x 的不等式x2 (a a2 )x a3> 0.解 原不等式可化为(x a)(x a2)> 0讨论 a 与 a2的大小(1)当a2>a即a>1 或a<0 时，x> a2或x< a.(2) 当a2a即a0 或a1 时，

10、x a.(3)当a2<a即0<a<1 时，x> a 或x<a2.综上，当a< 0 或a> 1 时，解集为 x|x> a2或x< a，当a0 或 1 时，解集为 x|x a，当0<a<1 时，解集为 x|x>a 或x< a2题型三“ 三个二次” 关系的应用例 3 已知一元二次不等式ax2bxc>0 的解集为(，)，且0<< ， 求不等式cx2bxa<0 的解集解 方法一由题意可得a< 0，且 ， 为方程ax2 bx c 0 的两根，b( )<0，a由根与系数的关系得c > 0

11、，aa<0，0<< ，由 得c< 0，则cx2 bx a< 0可化为x2 cbx ac> 0.2020 年升高一衔接学案÷，得cb ） 0.a 111 得 · > 0.c 1为方程x2 bx a 0的两根cc11又 0<< ，0<<，不等式x2bx a>0 的解集为x|x<1 或 x>1 ，cc 即不等式cx2bxa< 0 的解集为x|x<1 或 x>1 .方法二由题意知a<0，由cx2bx a< 0，得cx2bx1> 0.aa将方法一中的 代入，得 x

12、2 （ ）x 1 > 0，即 （x 1）（x 1）> 0.11又 0< < ，0<<.所求不等式的解集为x|x< 1或 x> 1 .反思与感悟求一般的一元二次不等式ax2 bx c>0(a>0)或 ax2 bx c<0(a>0)的解集，先求出一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根，再根据函数图象与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集“ 有关联 ” 的不等式同时出现时，应注意根与系数的关系的应用跟踪训练3 已知关于x的不等式x2axb<0 的解集为 x|1<x<2， 求关于 x的不等式bx2ax

13、1> 0的解集解 x2 ax b< 0 的解集为 x|1< x< 2， 1， 2 是方程x2 ax b 0 的两根 a 1 2，a 3 ，由根与系数的关系得得b 1× 2，b 2，代入所求不等式，得2x2 3x 1> 0.1解得x< 2或 x> 1.1 bx2 ax 1> 0的解集为 x|x< 2或 x> 1 ax2 bx c< 0 的解集为例 4 若一元二次不等式ax2 bx c< 0 的解集为 x|x<3 或x>5 ，则错解 由根与系数的关系得：b3 5a，b2a，17用爱做有温度的养成教育c3&

14、#215; 5，ac15a.代入得ax2 2ax 15a< 0，x2 2x 15< 0，(x 3)(x 5)< 0，5< x< 3.答案x| 5< x< 3错因分析 式化为 式，忽略了二次项系数a 的符号，并非同解变形正解由根与系数的关系得：c3 × 5，c15a.a ax2 2ax 15a< 0，又由解集的形式知a< 0，上式化为x2 2x 15> 0， （x 3）（x 5）> 0， x> 3 或x<5.答案 （，5） （3，）误区警示1注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的，适当挖掘题设信息可

15、较好地完成对解答题目不明信息的突破，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“ a< 0” 这一关键信息，从而避免不必要的讨论2注意“ 三个二次” 的关系二次函数的零点，就是相应一元二次方程的根，也是相应一元二次不等式解集的分界点第二课时：一元二次不等式应用知识点一分式不等式的解法思考x3>0与 (x3)(x2)>0 等价吗？将x3>0变形为(x3)( x2)>0，有什么好处？x 2x 2梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：(1)f x >0? gx(2)f x 0? gxf x f x ag x (3)gx a? gx 0.知识点二一元二次不等式恒成立问题

16、x 1>0 的解集有什么关系？思考x 1>0 在区间 2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2,3与不等式梳理 一般地，“ 不等式 f(x)>0 在区间a，b上恒成立” 的几何意义是函数y f(x)在区间a，b上的图象全部在 x 轴 方区间a， b 是不等式f(x)>0 的解集的恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即在a， b上，k f(x)恒成立? k ；k f(x)恒成立? k .类型一一元二次不等式在生活中的应用例 1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系：s1 x1 x2.在

17、一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽20180车刹车前的车速至少为多少？（精确到 1 km/h ，28 521 168.882）反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“ 实际含义 ”跟踪训练1 在一个限速40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速 x km/ h 之间分别有如下关系：S甲 0.1x 0.0

18、1x2， S乙 0.05x 0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任类型二分式不等式的解法例 2 解下列不等式x 3x11.(1)x 2<0； (2)2x 32020 年升高一衔接学案反思与感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f x >0(<0) 或 f x 0( 0)，再化成整式不gxgx等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可跟踪训练2 解下列不等式(1)2x 1 0； (2)2 x>1.3x 1 x 3类型三不等式恒成立问题例 3 设函数f(x) mx2 mx 1.(1)若对于一切实数x， f(x)<0 恒成立，求m的取值范围；(2)对于

19、x 1,3， f(x)< m 5恒成立，求m 的取值范围19用爱做有温度的养成教育引申探究若将例 3(2)改为：对于任意m 1,3，f(x)<m 5 恒成立，求实数x的取值范围反思与感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种：(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小 )值，从而建立参变量的不等式；(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)， 并结合图象建立参变量的不等式求解跟踪训练3 当 x (1,2)时，不等式x2 mx 4<0 恒成立，则m 的取值范围是一元二次不等式解法1设集合Ax|x24

20、x 3<0，Bx|2x3>0，则 A B()33A. 3，2B. 3， 233C. 1 ， 2 D. 2， 3答案 D3解析 由 A x|x2 4x 3<0 x|1<x<3， B x|2x 3>0 x x>2 ，33得A Bx 2<x<3 2，3，故选 D.2若不等式ax2 5xc>0 的解集为x1 < x<1 ，则 a，c 的值为 ()322020 年升高一衔接学案Aa6，c1B a6，c1Ca1，c6D a1 ，c6答案 B511 a 2 3，a6，解析 易知a< 0，且?c 1 × 1，c1.a 3&

21、#215; 2，3已知x 1 是不等式k2x2 6kx 8 0 的解，则k 的取值范围是答案（，2 4，）解析x1 是不等式k2x26kx80 的解，把x1 代入不等式得k26k8 0，解得k4 或k2.4不等式x2 3x 4< 0 的解集为答案（ 4， 1）解析 易得方程x23x40 的两根为4，1 ，所以不等式x23x4< 0 的解集为（4，1）5已知关于x的不等式mx2 （2m 1）x m 1 0 的解集为空集，求实数m 的取值范围解（1）当m 0 时，原不等式化为x 1 0，x 1 ， 解集非空m< 0，(2)当m 0 时， (2m 1 ) 2 4m( m 1 )&l

22、t;0，1 m<，8综上，m<1，即m 的取值范围是 ，1 .886.(1) 已知不等式?2 + ?+? ?< 0的解集为?|- 12 < ?< 31，求不等式?2?+ ?+? 1 > 0的解集；(2) 已知关于?的不等式(?2+ 4?-5)?2- 4(?- 1)?+ 3 >0的解集为?，求实数?的取值范围.提示 ： (1) 不等式?2 + ?+? ?< 0的解集为?|- 1 < ?< 1，即方程?2 + ?+? ?= 0的解为- 1 ,12323解得 ?= 1 , ?= - 1，不等式?2?+ ?+? 1 > 0即 - 1 ?

23、2 + 1 ?+ 1 > 06666化简得?2 - ?- 6 < 0，解集为?|- 2 < ?< 3(2) 根据题意，分两种情况当?2 + 4?- 5 = 0时，即 ?= 1 或 - 5.23用爱做有温度的养成教育2020 年升高一衔接学案若 ?= 1 ，不等式变为3 > 0，成立，符合条件；1若 ?= -5 ，不等式变为24?+ 3 > 0，解集为?|?> - 18，不符合题意.当?2 + 4?- 5 0时，不等式为一元二次不等式，要使解集为?，则对应二次函数抛物线开口只能?2 + 4?- 5 > 0?< -5 或 ?> 1?<

24、; 0，即-4 (?- 1)2- 12(?2 + 4?- 5) < 0，解得 1 < ?< 19即 1 < ?< 19综上，求实数?的取值范围1 ?< 19 .一元二次不等式应用1若不等式x2 mx 1 0 的解集为R，则实数m 的取值范围是2若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020x0.1x2(0<x<240)， 若每台产品的台售价为25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是3不等式x2 x k>0 恒成立时，k 的取值范围为4解下列不等式x 12x 1(1)x 2 0； (2)3 4

25、x>1.5.(1) 若不等式?2?- 6?+? (?+ 8) 0的解集为?，求实数?的取值范围；(2) 求不等式?+1 0的解集；1-2?2?(3) 已知集合?= ?|?-2 <1，集合?= ?|?2?-(2? + 1)?+?2 +?<0，若?=?，求实数?的取值范围；(4) 解关于?的不等式?2?- ( ?+ 1) ?+ 1 < 0.提示 ： (1) 不等式?2?- 6?+? (?+ 8) 0的解集为?，?= 0时，不等式为8 0，恒成立，所以?= 0符合题意；? 0时，?2?- 6?+? (?+ 8) 0的解集为?，则抛物线?= ?2?- 6?+? (?+ 8)的开

26、口只能向上，且? 0，即 ?2?> 0解得 0 < ? 1 .( -6?)2 - 4?(?+ 8) 0综上，?的取值范围0 ? 1?+1(5) 不等式1?-2?+?1 0等价于 (?+ 1)( 1 - 2?) 0且 1 - 2? 0，如果展开(?+ 1)( 1 - 2?)，其二次项系数为负，抛物线开口向下，所以不等式的解集为?|- 1 ?< 12.(6) 不等式?2?-2? < 1 ，即?2?-2? - 1 < 0，得?-+22 < 0，则集合?= ?|- 2 < ?< 2?2 - (2?+ 1) ?+ ?2 + ?< 0即 (?- ?)?

27、- (?+ 1) < 0，因 ?< ?+ 1所以集合?= ?|?< ?< ?+ 1.? 2? ?= ?，则? ?，所以?+1 -2 2，解-2 ? 1实数?的取值范围为-2 ? 1.4)不等式?2?- ( ?+ 1) ?+ 1 < 0?= 0时 , 原不等式为-? + 1 < 0，解集为?|?> 11? 0时 , 原不等式为(?-? 1)( ?- 1) < 0，对应两根为1 和 1?，则若 ?< 0，则?1?< 1 ，且对应抛物线开口向下，所以解集为?|?< 1?或 ?> 1若 ?> 0，对应抛物线开口向上i) 0

28、< ?< 1 ，则?1?>1，所以解集为?|1<?<?1?ii) ?= 1，则?1?= 1， 所以解集为?iii) ?> 1 ，则?1?<1 ，所以解集为?|?1?<?< 1综上，当?< 0时，不等式解集为?|?< ?1?或 ?> 1当 ?= 0时，不等式解集为?|?> 11当 0 < ?< 1 时，不等式解集为?|1 < ?< ?1?当 ?= 1 时，不等式解集为?当 ?> 1 时，不等式解集为?|?1?< ?< 1答案精析问题导学知识点一思考 等价；好处是将不熟悉的分式不

29、等式化归为已经熟悉的一元二次不等式27用爱做有温度的养成教育2020 年升高一衔接学案梳理(1)f(x) ·g(x)>0(2)f(x) ·g(x) 0 g(x) 0知识点二思考x 1>0 在区间 2,3上恒成立的几何意义是函数y x1 在区间 2,3上的图象恒在x轴上方 区间 2,3内的元素一定是不等式x 1>0 的解，反之不一定成立，故区间2,3是不等式x 1>0 的解集的子集梳理上 子集f(x) max f(x) min题型探究例 1 解 根据题意，得1 x1 x2>39.5，20180移项整理，得x2 9x 7 110>0.显然 &

30、gt;0， x2 9x 7 110 0 有两个实数根， 即 x1 88.94， x2 79.94.根据二次函数y x2 9x 7 110 的图象，得不等式的解集为x|x< 88.94或 x>79.94 在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.跟踪训练1 解 由题意列出不等式S甲 0.1x甲 0.01x2 甲 >12，S乙 0.05x乙 0.005x2 乙 >10.分别求解，得x甲 < 40 或 x甲 >30，x 乙 < 50 或 x 乙 >40.由于 x>0 ，从而得x 甲 >30 km /h ，

31、 x 乙 >40 km/ h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任例 2 解(1)x 3<0? (x 3)(x 2)<0? 2<x<3，x 2 原不等式的解集为x| 2<x<3 x 1x 1(2) 1， 1 0，2x 32x 331用爱做有温度的养成教育x 4x 4 0，即 0.2x 33x 2333此不等式等价于(x4)x2 0 且x20，解得x<2或x4，3原不等式的解集为x|x<2或x 42x 1 3x 1 0，跟踪训练2 解 (1)原不等式可化为3x 1 0.11x 3 或 x 2， 解得1x 3，11x< 3或 x 2，原不等式的解集为x|x< 1或x 132(2)原不等式可化为x 3>0，x 3<0，2 x>x 32 x&l