弹性力学简明教程全程导学及习题全解

1、 1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。 在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程

2、和几何方程都适用。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。 在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换位，就得到平面应变问题的物理方程。2-8 试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。【解】（1）对于图（a）的问题在主要边界上，应精确满足下列边界条件： 在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件： 在小边界（次要边界）上，有位移边界上条件：这两个位移边界条件可以应用圣

3、维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，（2）对于图（b）所示问题在主要边界上，应精确满足下列边界条件： 在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，在次要边界上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替2-9 试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？【解】（1）对于图（a），上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为，。应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，（2）对于图（b），应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，所以，在

4、小边界OA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解】（1）用位移表示的平衡微分方程（2）用位移表示的应力边界条件（3）位移边界条件2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解】（1）平衡微分方程（2）相容方程。（3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，） /. （4）若为多连体，还须满足位移单值条件。2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：（a）题2-13图（a），。（b）题2-13图（b），由材料力学公式，（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：。又根据平衡微分方程和边界

5、条件得出。试导出上述公式，并检验解答的正确性。【解】按应力求解时，（本题体力不计），在单连体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设）。（1） 题2-13图（a）， 相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23），不满足相容方程。 平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程显然满足。 应力边界条件：在边界上，。在边界上，。满足应力边界条件。（2） 题2-13图（b），由材料力学公式，（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：。又根据平衡微分俄方程和边界条件得出。试导出上述公式，并检验解答的正确性。 推导公式：在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为h的

6、矩形，其对z轴（中性轴）的惯性距，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为，。根据平衡微分方程的第二式（体力不计），得到。根据边界条件得 ，所以 。 相容条件：将应力分量代入相容方程。不满足相容方程。 平衡方程：将应力分量代入平衡微分方程显然满足。 应力边界条件：在主要边界上，应精确满足下列边界条件： 自然满足。在x=0的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零。有三个积分的应力边界条件： 在次要边界上，。这两个位移边界条件可以改用积分的应力边界条件来代替。所以，满足应力的边界条件。显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相

7、容方程，所以两题的解答都不是问题的解。2-15设已求一点处的应力分量，试求：（a）（b）【解】根据教材中式（2-6）和可分别求出主应力和主应力的方向：（a）（b）2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F，如题2-17图所示，体力不计，试根据材料力学公式，写出弯应力和切应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否表示正确的解答。【解】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为，横截面对z轴（中性轴）的惯性距为，根据材料力学公式，弯应力；该截面上的剪力为，剪应力；并取挤压应力。（3） 经验证，上述表达式能满足平衡微分方程

8、也能满足相容方程。再考察边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件： 能满足。在次要边界x=0上，列主三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。在次要边界，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。因此，它们是该问题的正确解答。3-2取满足相容方程的应力函数为：试求出应力分量（不计体力），画出题3-2图所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。【解】（1）应力函数，得应力分量表达式。在主要边界上，即上、下边，面力为。在次要边界上，面力的主矢量和主矩为 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢量和主矩如解3-2图（a）所示。（2）应力函数，得应力分布表达

9、式。在主要边界上，即上、下边，面力为。在次要边界上，面力的主矢量和主矩为弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢量和主矩如解3-2图（b）所示。（4） 应力函数，得应力分量表达式。在主要边界上，即上、下边，面力为在次要边界上，面力的主矢量和主矩为弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢量和主矩如解3-2图（c）所示。3-3试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出题3-3图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。【解】（1）相容条件将代入相容方程，显然满足。（2）应力分量表达式。（3）边界条件：在的主要边

10、界上，应精确满足应力边界条件。在次要边界上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件， （a）， （b） （c）对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）、（b）、（c）可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。4-2 试导出极坐标和直角坐标系中位移分量的坐标变换式。【解】参看图，位移矢量是服从几何加减运算法则的。位移矢量为d，它在(x,y)和坐标系中的分量分别表示为，所以 （a）写成矩阵形式 （b）所以 （c）若写成一般形式，则位移分量的变换关系为或。4-

11、14设有一刚体，具有半径为R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒，圆筒受内压力为q，试求圆筒的应力。【解】本题为轴对称问题，故环向位移，另外还要考虑位移的单值条件。（1） 应力分量引用轴对称应力解答，教材中式（4-11）。取圆筒解答中的系数为A,B,C,刚体解答中的系数为,由多连体中的位移单值条件，有B=0 ， (a)。 (b)现在，取圆筒的应力表达式为, 。(c)刚体的应力表达式。 (d)考虑边界条件和接触条件来求解常数和相应的位移解答。首先，在圆筒的内面，有边界条件，由此得。 (e)其次，在远离圆孔处，应当几乎没有应力，于是有，由此得 (f)再次，圆筒和刚体的接触面上，应当

12、有。于是有式(c)及式(d)得。（2） 平面应变问题的位移分量应用教材中式（4-12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达式 （h） （i）刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即。将式（h）和式（i）代入，得方程在接触面上的任意点都成立，取任何值都成立，方程两边的自由项必须相等，于是得简化并利用式（f），得。 （j）（3）圆筒的应力把式（j）代入式（e），得，。圆筒的应力为，。4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。【解】（1）求出两个主应力，即。原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受

13、均布压力q，如图所示。应力分量代入坐标变换式，教材中式（4-7），得到外边界上的边界条件 （a） （b）在孔边，边界条件是 （c） （d）由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。而，。因此可假设。将式（e）代入相容方程，教材中式（4-6），得。删去因子以后，求解这个常微分方程，得，其中A,B,C,D为待定常数，代入式（e），得应力函数，由应力函数得应力分量的表达式将上式代入应力边界条件由式（a）得 (g)由式（b）得 (h)由式（c）得 (i)由式（d）得 (j)联立求解式（g）（j），并命，得。将各系数值代入分量的表达式，得沿

14、着孔边，环向正应力是。最大环向正应力为。6-2如题6-2图所示一平面平应状态下的三结点等边三角形单元，其边长为。（1）试求出应力转换矩阵S及单元劲度矩阵k。（2）试求出k中的每行之和及每列之和，并说明原因。（3）设单元发生结点位移或发生结点位移，试求单元中的应力，并说明其原因。(4)设该单元在jm边上受有线性分布的压力，其在j点及m点的集度分别为，试求等效结点荷载。【解】（1）在所选的坐标系中应用教材中式（6-19）及（6-20），得应用教材中式（6-32）和（6-33），得该单元的应力转换矩阵 （a）应用教材中式（6-37）及（6-38），得单元的劲度矩阵。（2）求得式（b）中每一行（或列）

15、的元素之和为零（其第一、三、五个元素之和或第二、四、六个元素之和也为零）。因为k中的每一个元素都表示，发生单位结点位移时所引起的结点力。而各个节点的位移都相同，说明单没有发生形变，即不会引起结点力。（3） 设单元发生结点位移此时，单元作平移，则三角形内不产生应力和应变，从而结点力为零；但单元发生结点位移，单元作转动，从而结点力也为零。（4） 单元在jm边上受有线性分布的压力，在j点及m点的集度分别为（可假设），此时，相当于有均布荷载和三角形分布荷载（在j点集度为0，m点集度为）同时作用在jm边上。 在均布荷载的作用下，x方向的均布面力为；y方向的均布面力为。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为应用教材中式（6-22）中的第二式及式（6-21）中的第三式，得。所以，有 （c） 在线性分布荷载（j点集度为0，m点集度为）的作用下，m点x方向的面力为，y方向的均布面力为。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为 （d）三角形分布荷载作用在jm上，两点的形函数有，根据教材式（6-