反证法（课堂PPT）

1、2021/3/291路路边边苦苦李李 王戎王戎7 7岁时岁时, ,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩, ,看到路边的李树上结满了果子看到路边的李树上结满了果子. .小伙小伙伴们纷纷去摘取果子伴们纷纷去摘取果子, ,只有王戎站在只有王戎站在原地不动原地不动. .伙伴问他为什么不去摘？伙伴问他为什么不去摘？2021/3/292王戎回答说王戎回答说: :“树在道边而多子树在道边而多子, ,此必苦李此必苦李. .”小伙伴摘取一个尝小伙伴摘取一个尝了一下了一下, ,果然是苦李果然是苦李. . 王戎是怎么知王戎是怎么知道李子是苦的呢道李子是苦的呢? ?他运用了怎样的他运用了怎样的推理方法推理方法? ?2

2、021/3/293 在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？ 他运用了怎样的推理方法？他运用了怎样的推理方法？2021/3/294各抒己见各抒己见假设假设自己的前额没有被涂黑自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为那么另一个哲学家也不会有异常行为,自己的前额也被涂黑了自己的前额也被涂黑了.这与另一个哲学家笑个不停这与另一个哲学家笑个不停矛盾矛盾,所以所以假设假设“自己的前额没有涂黑自己的前额没有涂黑

3、”不正不正确确,于是自己的前额也被涂黑了于是自己的前额也被涂黑了.2021/3/295 先假设结论的反面是正确先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确成立，从而得到原结论正确这种证明方法叫做这种证明方法叫做2021/3/2962021/3/297间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法是不同于直接证明的又一类证明方法.反证法是一种常用的间接证明方法反证法是一种常用的间接证明方法.肯定条件肯定条件p否定结论否定结论 q 导致逻辑矛盾导致

4、逻辑矛盾 “q的反面的反面”为假为假 “q的正面的正面”为真为真 正确的推理正确的推理 归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。一、探究定义一、探究定义反证法反证法:先先假设假设命题的结论不成立命题的结论不成立,从这样的假设出发从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定或者与定义义,公理公理,定理等矛盾定理等矛盾,从而得出从而得出假设命题不成立，是错误的假设命题不成立，是错误的,即所求证的命题正确即所求证的命题正确.这样的证明方法叫

5、做反证法这样的证明方法叫做反证法2021/3/298常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：至少有一个至少有一个至少有三个至少有三个至少有至少有n个个最多有一个最多有一个一个也没有一个也没有至多有两个至多有两个至多有至多有(n-1)个个至少有两个至少有两个1133nn112021/3/299原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立准确地作出反设准确地作出反设(

6、(即否定结论即否定结论) )是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式. . 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个2021/3/2910巩固新知巩固新知1 1、试说出下列命题的反面：、试说出下列命题的反面：（1 1）a a是实数。是实数。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。 （4 4）至少有）至少有2 2个个（5 5）最多有一个）最多有一个

7、（6 6）两条直线平行。）两条直线平行。2 2、用反证法证明、用反证法证明“若若a a2 2 b b2 2, ,则则a a b b”的第一步是的第一步是。3 3、用反证法证明、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形这个三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是实数不是实数a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于没有两个没有两个一个也没有一个也没有两直线相交两直线相交假设假设a=ba=b假设这个三角形是等腰三角形假设这个三角形是等腰三角形2021/3/2911万事开头难，让我们走好第一步！万事开头难，让我

8、们走好第一步！写出下列各结论的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正数；（4）aba180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90这个假设不成立这个假设不成立.(2)由由90B180， 90C180，则则 A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不成立两个底角都是钝角这个假设也不成立故原命题正确故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角等腰三角形的底角必定是锐角.说明说明：本例中：本例中“是锐角是锐角(小于小于90)”的反面有的反面有两种情况两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能这时，

9、必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证此题是对反证法的进一步理解法的进一步理解.2021/3/2919反证法的步骤反证法的步骤以假设以假设为为条件条件，结合已知条件推理，结合已知条件推理，得出与得出与已知条件或是正确命题已知条件或是正确命题相矛盾相矛盾的结论的结论这与这与“.”相矛盾相矛盾所以所以假设不成立，假设不成立，所求证的命题成立所求证的命题成立假设假设待证命题不成立，或是命题的待证命题不成立，或是命题的反面成立。反面成立。2021/3/20大家议一议！ 通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反

10、证法 ？ 我来告诉你（我来告诉你（经验之谈经验之谈） （1）以否定性判断作为结论的命题；）以否定性判断作为结论的命题；（2）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形等形式陈述的命题；式陈述的命题；（3）关于）关于“唯一性唯一性”结论的命题；结论的命题；（4）一些不等量命题的证明；）一些不等量命题的证明；（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等等等.(如平行线的传递性的证明）如平行线的传递性的证明）2021/3/2921用反证法证题时用反证法证题时,应注意的事项应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项，）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不