时间序列分析培训讲义

1、Ttzt,其中，T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻 t而言，Zt是一随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。 ,.2, 1, 0tTtzt,.2, 1, 0,tztdzzfzzdFzEzutttttt)()(),()()(),(,ststssttssttzzdFuzuzuzuzEstr)()(),()()(),(22ssstttzDuzEssrzDuzEttr),(),(),(),(ssrttrstrsttttttkttktktttkDZEZEZZErEZZEZEZZEZZEr220)()0()(kkkrrrrrssrttrstrst000),(),(),(),(001, 1rr

2、rrkk112211112211ktkttktktktttzzzzzzzz)var()var()(),cov(ktktttktktttkkzzzzzzzz)cov()(cov, 133, 1213213ttttttttttazzzzzzazz2222112212123332211211111112221111,1,1,1111111,11111,1,.,2,1,)1)(11kjjkkkkkjjkkjkjjkjkjjkkkkcznzntt11kttkttktktttkktktttknttktknttkktknttkdzdzzzEzzEzzrEzzEzzErzznrzzzzknrzzzznr)()

3、()()(1)(1)(121011或20)()(zzzzzzrrtkttkkkjjkkkkkjjkkjkjjkjkjjkkkk,.,2 , 1,)1)(1,1, 1, 1111111, 1111222103302221011)1314()1312()1316()1314)(1310()1315)(1312()1312)(1316(218. 024. 053. 0)(1)(1) 2(13101) 1 (rrrrzznzzzznrrzztttt560. 0169. 01057. 0153. 0) 3(11221121222211221212333111111222111ttppttPPppptts

4、tpttptptttazBzzBBBBBBBBaEzstaEzaazzzz)(.1)(10)() 3(;, 0, 0) 2()1 (,.22122211模型的简化形式为：为后项算子，的根在单位圆外，即且为白噪声序列；且满足：形如11101)() 1 ()1 (111111BBBazBazzttttt则的根必须在单位圆外，）（为满足平稳性，或接近，越来越与，小，这种现象称为拖尾减小，且以指数速度减间隔增大时，增大时，即序列之间的当的0, 1,.) 1()()()() 1 ()2(110011111kkkkkktktktttktkkrrrkrazEzzEzzErACFAR象。，这种现象称为截尾现时

5、，当；的递推公式有：按照02001010112112131222211221212333111221121212121111111222111kkkPACF如下：、个观察值计算为白噪声序列，利用个观察值，模拟产生过程用PACFACFaazBARttt250250, 9 . 0,)10)(1 () 1 (111110)1()1()1(111111BBBaBaaztttt可逆性：取期望得：两边同乘时，当时，当，并取期望得：两边同乘，为例以,)()()(0)2(0)1(1)()()()1()2(111110211111ttttttttttakkttkttkttkkttttaaazzaEzaEzzEr

6、kkkrkzaEzaEzzErzaazMAACF是截尾的。所以，中，代入kkkaaaatttttkkrrrraEaaEazE)2(0)1(1)1()()()()(211021221120021211116121212121111111222412112111111)1(111)1()1(的递推公式有：根据PACF。是减小的，呈拖尾现象从总体上看，且增大的速度大于分子分母增大，分子减小，顺次减小，kk., 11)1 (2113121118121312131222211221212333型。称为自回归滑动平均模的根在单位圆外。和即平稳性和可逆性条件，为白噪声序列；满足0)(0)()2()1 (.1

7、12211BBaaaazzzzqptqtqttptptttqqqppptqtpBBBBBBBBaBzB.1)(.1)()()(221221其中：模型的简化形式为：。的要求，为满足平稳性和可逆性为例：以1,1)1()1()1()1 ,1(1111ttaBzBARMA%45.95)212(%3.68)211(3).21(1,0(121212qllkqllkqllkNPNPNNN或近似成立：充分大时，下面的等式原则知，由正态分布的的分布为渐近正态分布)%(5 .95%3 .68)212()211(,.,1212,21NMMNPNPqqllkqllkMqqq一般取或的的个数是否占或满足考察其中计算，对

8、于每一个），（时，当NNpkkk10模型的参数个数实际观察值个数模型的剩余平方和为此引入残差方差模型阶数。阶数下是否显著来判定）在不同利用（）得到的估计值。阶数（为根据模型为序列真值，为例，以22.,),(aattttzzqpzzqpARMA)()(:),(:)()()()(22221qPPNQqpARMAqNQqMAPPNQpARNzzQaaaNttt：对于自回归阶数实际观察值个数模型的剩余平方和),(/),(),()(,.2121221221221vvFvYvXFYXvXYvXXvXXxXxxxvttv相互独立与若则正态分布相互独立，且服从标准，若212211122111221102211

9、).(.).(.NtsrsrtsrsrtNtrrtrrtxaxaxayQxaxaxaySxaxaxayQxaxaxay残差平方和模型：个变量，得到新的回归现舍弃后面设)()(0,.,0, 0:0.,.,222021121021为模型参数个数为残差方差，：。否则，第二个模型成立个模型成立；若有显著影响，则第一是否显著影响。对现检验rrNXQaaaHaaaHYxxxaarsrsrrsrsrrsrsr成立。则，）（若）（成立，若，给定显著性水平）（则）独立与（且成立，若1001001000101022010),(/),(/),(/),(HrNsFrNQsQQFrNsFrNQsQQFHrNsFrNQs

10、QQFQQQsXQQHa是否成立。的关系，判定与，比较给定）（注：0001221220122010)2, 3(2/3/)11()1()3()(0,0:0,0:HFFqpNFqpNQQQFqppNXQXQQqppNXQHHaaaqpqp%.45.952%,45.95)2()(,.,2, 1)/1 , 0(, 1比例是否达到的中小于个即看取时，当若NMNPNMMpppkNNpkpkkkkkk），原假设成立。（全部小于是否成立。看，取若），原假设成立。（全部小于，2159. 0%45.95)2()13(15.,43, 21159. 014,.,3 , 2,159. 02,136 .12160pNPN

11、MkppkNNNkkkkkk）合适。（，当2118.04216088.17,88.174118.03216019.18,19.183117.02216023.18,23.182122.01216033.19,33.1912222ARQpQpQpQpaaaa)2(,3)156,2(,05.044.3156/23.182/)23.1833.19()156,2(4160/2/)()2()2(1)4(2021)1(00122012211220020ARFFFFQQQFXQQNXQARQNXQARQHARARaaa优为两个模型显著差异，最原假设不成立，取）剩余平方和，（为）剩余平方和，（为：）是否显著差

12、异（）与（看)2(,3)154,2(,05.0169.0154/19.182/)19.1823.18()154,2(6160/2/)()2()4(2)6(3032)2(00122012211220030ARFFFFQQQFXQQNXQARQNXQARQHARARaaa最优为两个模型无显著差异，原假设成立，取）剩余平方和，（为）剩余平方和，（为：）是否显著差异（）与（看参数个数NzzzzEtttt22)()(NpppAICAICNtxaat2)(ln)(1:)2(22函数为：定义，是拟合模型的残差方差为随机序列，设NqpppAICqpAICqpARMAAICAICa2)(ln)(),(),(32

13、定义为：模型，其）对于（为最佳阶数。有最小值，对应的阶数因此，减小；第二项增大的速度，第一项减小的速度大于大时，第二项增大，当阶数增到最小），（模型的最佳阶数时达增大右边第一项先减小，后随着模型阶数的增加，剩余平方和为的，剩余平方和为的设1220012222120)32,22()14(2)12,2(0;0:QnnARMAnnNxQQnnARMAHannnn。则拒绝，若取0001201221),16 (, 6 ()16 (, 6 () 16 (/6/ )() 6 ()54 () 22 (HnNFFnNFnNQQQFxQQnnNxQa第四章 协整理论绪论一、协整理论产生的背景1、20世纪70年代以

14、前的建模技术以时间序列平稳为前提设计的。2、理论假定与现实的矛盾。3、协整理论的产生-计量经济学方法研究的新阶段-Granger首先提出了伪回归问题（1974）；-1978年，EngleGranger发表论文“协整与误差修正”，正式提出“协整”（cointegration）概念二、与协整检验有关的两个问题：单位根和误差修正模型1、单位根：协整检验处理的是非平稳时间序列，单位根检验就是要说明一个时间序列的平稳性。包括DF和ADF检验2、误差修正模型（Error Correction Model, ECM）：ECM由、Hendry、Srba于1978年提出的。三、本部分的体系单位根检验-协整检验-

15、误差修正模型第五章 单位根过程第一节 单位根过程的定义一、随机游动过程的定义1、随机过程y t ,t=1,2, 若y t=yt-1+t，其中t为独立同分布序列，E（ t ）=0，D（ t ）=E（ t 2）=2则称y t为随机游动过程。2、随机游动过程是一非平稳过程(1) y t=yt-1+t =yt-2+t-1+t =yt-3+t-2+t-1+t =. =y0+1+2+tE (y t)=y0(2)D(yt)=E(yt-y0)2=E(1+2+t)2=t2二、单位根过程的定义1、随机过程y t ,t=1,2, 若y t=yt-1+ t ，其中=1，t 为稳定过程，E（ t ）=0，Cov（ t

16、，t - s ）= s1时， 1时，就是平稳过程。4、单位根过程与稳定过程的本质区别TttTtttTttTttttTttTtttttttttyyyyyyyDEy221212212112212121)()(, 0)(, 1为独立同分布序列的一致估计值。是时，当)()()(22121TyEyEETttTttt)2(1)() 1 , 0(1)(;:;:)1 (, 0()(221022NtsTtNTZHHNT未知时，当），（）（变成了）（，（）（时，当00110122NTNT第二节 与单位根过程形式接近的几种模型一、带常数项的随机游动过程1、2、是独立同分布序列， 1, 01ttttyy)0(.)(2

17、)(01210123121ytytyyyytiittttttttttt令12001400160018002000220050100150200250300-20020406080100120100200300400500600700800900 1000y=0.1+y(-1)+u-100-80-60-40-20020100200300400500600700800900 1000y=-0.1+y(-1)+u深圳股票综合指数 二、长期趋势1、形如 称为确定趋势模型。2、前两类模型的图形接近。3、判别单位根的必要性。 yt = 0.1 t + ut 生成的序列 图ttrtcy-5051015202

18、53050100150200250with deterministic trend三、含随机趋势和确定性趋势的混合随机过程1、 yt = 0.1+ 0.1t + yt-1+ ut生成的序列 图11是独立同分布序列ttttyty6080100120140160180400450500550600650700750800四、近单位根过程1、11tttyy第六章 单位根过程的假设检验第一节 迪基-福勒(DF)检验法一、DF检验法产生的背景1、DF检验法是由Dickey、Fuller在20世纪70、80年代的一系列文章中建立起来的。2、。接受显著性水平的标准差是的估计值，是02001001,) 1(:

19、;: ) 1 (HttTttHHyyARTTTTTTTttt3、这种方法不能用来检验H0:=1，当零假设成立时，t T不再服从t分布，因而无法得到临界值。此时，只能用模拟方法得到临界值。DF检验中用到两个统计量：T（ T-1）和t T，它们不存在小样本分布，只有当样本容量T足够大时，它们的极限分布才有实际的应用价值。二、情况一的DF检验1、假设数据由 产生，并在其中检验H0:=1; H1:12、适用于数据是非平稳且没有趋势的情况。tttyy13、例：利用1947年第二季度到1989年第一季度的数据对美国财政部债券利息率作不带常数的一阶自回归如下：01010159. 129. 0,95. 1,0

20、5. 029. 001059. 0199694. 029 . 751. 0, 9 . 7,05. 051. 0) 199694. 0(168) 1() 1 (1:; 1:)01059. 0(99694. 0HtHTHHiiTTTtt接受临界值为）（。接受临界值为三、情况二的DF检验1、假设数据由 产生，在一般先检验=1，若接受H0，再检验=0。若 =0，则为 ，若 0，则为2、情况二适用的数据图形是有趋势，但不稳定的情况。这时，就在随机性非平稳及有漂移趋势的非平稳之间选择。tttyy11010101，：，：中检验HHyyttttttyy1tttyy13、例：仍利用美国财政部债券利率数据，估计带

21、常数项的一阶自回归模型：.,89. 271. 189. 2,05. 071. 101933. 0196691. 01)2(, 7 .1356. 57 .13,05. 056. 5) 196691. 0(168)() 1 ()01933. 0()112. 0(96691. 0211. 00011HtHTiiTTTTtt临界值，临界值005.011121212122220,67.481.167.4166,281.196691.0211.099694.0)()()2,2()2/(2/0HFFyyyyyyRyyRTFTRRRFHttttTtttTttt）（，由前知）（的检验：四、情况三的DF检验1、情

22、况三的DF检验（1）假设数据是由带常数项的单位根过程（2）缺陷11101：生成HHyyttt五、情况四的DF检验1、；，则为若；，则为，若先检验。成立，则为单位根过程若：ttttttttttyyyyHHHtyy1101010010, 10, 1TtttTttttyyRyyRTFTRRRFH121212122220)()()3, 2()3/(2/0）（的检验：（2）适用于序列有趋势的情况3、例：美国1947年一季度至1989年第二季度GNP的实际值，对图中数据进行模型拟合。解：（1）图中数据有明显的长期趋势；（2）这类图形可能适合的模型有：tttttttyyyy11和（3）)0152. 0()0

23、193. 0()53.13(02753. 096252. 034.270, 10, 11101tyyHHtyyttttt：.,44. 394. 144. 3,05. 094. 10193. 0196252. 01)2(, 7 .203 . 67 .20,05. 03 . 6) 196252. 0(168)() 1 (001HtHTTTTT临界值，临界值005. 02220,45. 644. 245. 6165, 244. 2)3, 2()3/(2/0HFFTFTRRRFH）（）（的检验：六、DF检验小结第二节 增广的迪基-福勒(ADF)检验法一、ADF检验法（Augmented DickeyF

24、uller Test）1、ADF检验法是由迪基（Dickey）和福勒（Fuller）在1979年提出的，是DF方法的推广。DF假定t是独立同分布序列，ADF假定随机扰动项t是稳定过程。2、原理：ADF假设数据服从有单位根的P阶自回归过程，即 0.1).1 ()(),(.22122122111pPttpPttttptpttttyBBByBpARpyyyyyy它的特征方程为：阶自回归过程服从设随机过程是独立同分布序列。）（）（这样，令，其余根在单位圆外，有一个单位根BBBBBBBBBpjBpPpPPjjP1).1 (1).1 ()(1,.,2 , 1),.(.111221221121证明：ttpp

25、PppppppppppppppyBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB)(.1.1)(.)()(.1).().().1 (221332232211112332221121132211122121tptPtttttptPtttttptPttptPttttttpPyyyyyyyyyyyyyyyyyyyBBBBB1122111112211113221112211111221.1).1 (1）（）（二、情况二的ADF检验1、一致。检验统计量的极限分布这样与和）（检验统计量为：DFTyyyyyTTPTtptPtttt.1.1121111221112、例：利用ADF检验法对美国财政部

26、债券利率进行单位根检验。解：H0:=1;H1:0）uvuuvuvv11010,78.2012.22,78.20712.22)1ln(HT拒绝，临界值为查表85.38)03039. 01ln()05603. 01ln()1105. 01ln(189)1ln(310iiT查表6,=0.05，情况三，临界值为29.509,38.8529.509,拒绝H0。(2)整关系。最终选择认为有一个协。接受，临界值为。，至少有两个协整关系拒绝临界值为021032110,149 .10149 .10)1ln(2 .1573.16, 2 .1573.16)1ln(1:; 1:HTHTrHrHii4、协整向量最大特征

27、值 1=0.1105对应的特征向量就是协整向量，有*111156. 004. 0)56. 004. 01 (1)4220. 00280. 07579. 0(1tttvvpsp即，得将其第一个元素规范为第四节 误差修正模型(ECM)一、协整系统的表述;)(, 0)() 1 (.)(,.,2 , 1) 1 (, ) ,.,(1221121ttitptptttinDEnnyyyypVARyyniIyyyyy矩阵，是其中，形式，即有若为向量单位根过程。称且、若)2(.11,.,2 , 1,.)(1.)(111112121221tptptttpssspttnPpnyyyypsyLnILLLIL）可表示为

28、：则（令）可表示为：阶单位阵，则（为2、）（即表示，即可以用假定令因此有有，其余大于等于）的特征方程有一个根故（为向量单位根过程，由于3)()(.)(,)(),0(),1 (., 1, 1, 0.111221121221ttttptpttttttttttnpjippntLuyLuMAuyuyEIyIyIjiLLLLLIy010)()4)(1 ()()(, 0)(,1)()()(1)(1)()()()(13ttiittttttttLtyyLLLLLLLLLyLLLLyLLL这样，）上式左边为（）（）得：由（）（）有）右乘（以假定yt的元素之间存在k个独立的协整关系，且协整向量为）得：由（则令）（对应的协整向量矩阵为3.)()()()0(.,2100112, 1jjjjjtjttititiitttkiLuLuIyAA0)(1,1)(450)(0)0()()()(010010LLLLLLLAAIyAALAtAyAyALtyytttiitttiit）（，当）（）由（）（，的充要条件是：故),.,2 , 1().(0) 1 (, 0110) 1 (10) 1 (0)(121nib