【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线与向量综合题

1、圆锥曲线与平面向:=1考纲透析考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置 关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.圆锥曲线与平而向量的综合.新题型分类例析L已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2, 0）,右顶点为（追,0）（1）求双曲线C的方程：（2）若直线l:y = kx+显与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且3丽> 2 （其 中O为原点）.求k的取值范同解：（I ）设双曲线方程为二一二=1cr 1厂由已知得。=J&c = 2,再由2+/，2 =2?,得/=LX故双曲线C的方程为一 一），2 =L(II)将、=公 + 点代入 J / =1得

2、 Q-3kDC -6 猴kx-9 = 0.由直线/与双曲线交于不同的两点得l-3k? WO, = (6 叵尸 + 36(1-3公)=36(1 一公)>0即公。2.且公< 设八（4，心）,8（小，为），则6 贬k-9一/+小= 展，以乙=三，由3,。8>2得力%>2,1 3K1 -* 3k而 xAxR + yAyB = xAxB + (kxA + 2)(kxB + V2) = (A ° + )xAxB + >/2k(xA +xB) + 2I、-9- 6 也k 个 3k2+7=(H +1)亍 + Y2k7 + 2 = 一；一1一3炉1一3公3父_1于是工&#

3、177;1 > 2,即二3k=9 > 0,解此不等式得 3右一1 3-一1-<k2 <3.3由、得-<2 <1.3故我的取值范围为(一1,、)一(、一). 333 .设7、了为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若 a =xi + ()，+b = x7 + (>'-V3)J ,且同 +。=4.(I )求点P(x,y)的轨迹C的方程；(H)若A、B为轨迹C上的两点，满足 府 =/加，其中M (0, JJ),求线段AB的长. 启思4 .已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆 于A、B两点，次+方与%

4、= (3, 1)共线.(I)求椭圆的离心率：(II)设M为椭圆上任意一点，且丽=2次+ 丽(%£/?),证明万+2为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平而向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学 知识解决问题及推理的能力.满分12分.(1)解：设椭圆方程为二 + 二= 1(“>A>0).F(c0) cr b-22则直线AB的方程为)，= x -c,代入二+二=1,化简得 cr lr(a2 +b2)x2 -2a2cx + a2c2 -a2b2 =0.令 A ( xp y, ), B(x2, y2 ), 则内 +x2= T ;, , x/, =( +b-+1厂由。4

5、 + 08 =(X + ,凶 + y2),a = (3,-1),04 + OB与a 共线，得3( y +当)+(项+看)=°，又月=玉_ax =一0,3/. 3(x, +x2 - 2c) + (项 +x2) = 0, X, +x2 = c.即_:=，所以/=3/尸，。=庐方=也，a2+b223故离心率e = £ =且.a 3(II)证明：(1)知=3从，所以椭圆二+二=1可化为/+3y2 =3/. cr lr设 OM = (x, y)，由已知得(x, y)=设9,y1) + p(x2, y2),x = Ax. + LIX.,., M(x,y)在椭圆上9 .(/U1+46”+

6、3(dX= 3Zr. y =孙+吟.即 £（x； +3y；） + 2（君 +3货）+ 2"（再“2 +3）”2）= 3b2 .巾.q1由（1 ）知 X +/ =彳，2 =力 =弓。 222变式新题型3抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线/与x轴相交于点A（-l, 0）,过点A的直线与 抛物线相交于P、Q两点.（1）求抛物线的方程：（2）若丽而=0,求直线PQ的方程：设第二人而（入>1）,点P关于x轴的对称点为M,证明：FM=AFQ.6,已知在平面直角坐标系my中，向量= （0,1）,。尸加勺面积为2g ,且OF FP = t,OM =-OP+j .（I）设4<

7、/<4>万，求向量赤与方 的夹角。的取值范围；（II）设以原点0为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M,且 |而|= CJ =（遥一 1%2,当|。向取最小值时，求椭圆的方程.7 已知知（0,-2）,点A在x轴上，点8在y轴的正半轴，点尸在直线A5上，且满足，AP = -PB, MA AP = 0.（I ）当点A在x轴上移动时，求动点尸的轨迹C方程：（H）过（一2,0）的直线/与轨迹C交于E、F两点,又过石、尸作轨迹。的切线6,当4，/）,求直线，的方程.8.已知点C为圆(x + l)2+)/=8的圆心，点A (1, 0),尸是圆上的动点，点。在圆的半 径C尸上，且而

8、而=0,而=2刀在(I)当点P在圆上运动时，求点。的轨迹方程：(II)若直线y = kx+J%2+i与(I)中所求点。的轨迹交于不同两点F, H, O是坐标原点，2 - 3且二。尸二，求EO 的面积3 4/,3己知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上，且经过4(一2,0)、3(2,0)、C 1,二< 2点.(I)求椭圆石的方程；(II)若直线/： y = A(x l)(&W0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与 直线8N的交点在直线x = 4上.10.如图，过抛物线xJ4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A、B两点， 点Q是点P关于原点的对称点

9、。(I)设点P分有向线段点所成的比为人，证明/_L (而一XQB);(II )设直线AB的方程是x2y+12=0.过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切 线，求圆C的方程.10.已知平而上一定点。(一 1,0)和一定直线/：x = T. P为该平面上一动点，作PQ_L/,垂足为Q, (PQ+2PC) (PQ-2PC) = 0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程：(2)点。是坐标原点，4 3两点在点P的轨迹上，若。X + /1诙=(1 +2)0力求4的取值 范围.11 .如图，已知E、F为平面上的两个定点IE/1=6 ,1尸GI=10,且2E” = EG,HP - G£

10、= 0, (G为动点，P是HP和GF的交点)(1)建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；(2)若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段A8的中垂线与石尸, Q(或E/的延长线)相交于一点C,则IOCI<(。为E/的中点).12 .已知动圆过定点(1,0),且与直线x =-l相切.(1)求动圆的圆心轨迹。的方程：(2)是否存在直线/,使/过点(0, 1),并与轨迹。交于P,Q两点，且满足 而 E = 0?若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理由.13 .已知 M(4,0),N(1,O)若动点 P 满足 MNMP = 61 标 I(1)求动点P的轨迹方C的方程:(2)设。是曲线

11、C上任意一点，求。到直线/:x + 2y 12 = 0的距离的最小值.3119.如图，直角梯形 ABCD 中，N ZM8 = 90。，AD/7BC, AB=2, AD=-, BC=-椭圆F以A、B为焦点且过点D,(I)建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程:(II)若点E满足EC = 1a8,是否存在斜率2kw的直线/与椭圆F交于M、N两点，且IMEITNEI,若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。解(1)已知双曲线实半轴川=4,虚半轴历=245,半焦距s=J16 + 20=6,.椭圆的长半轴a2=g=6,椭圆的半焦距c2=，“=4,椭圆的短半轴优=6242 = 而,，所求的椭圆方程为二+

12、= 136 20(2)由已知A(-60),/(4。)，设点P的坐标为(x,y),则Q = (x + 6, y),而=(x 4, y),由己知得厂+厂-1,36 20(x + 6)(x-4) + y2 =03则2工2+9工-18 = 0,解之得x =二期：=一6,212 2由于y>0,所以只能取x =。，于是旷=士追，所以点P的坐标为9分 2212 2(3)直线AP :工一 JJy + 6 = 0 ,设点M是(肛0),则点M到直线AP的距离是又二点M在椭圆的长轴上，即-6<m<6:.m=2工当加=2时，椭圆上的点到"（2,0）的距离J2=(x-2)2 + y2 =x2

13、-4x + 4 + 20-= -(x-)2+15992又一6«x<6上当x = 2时，4取最小值厉22.解：(1)由2/07l/FPLsina得10尸I I尸户1=&，由cosd=0吗=上吧,2singOF-FP 4后得匕ne = I3分t*/4</ < 4J3/. 1 < tan < J3 ， 8 <()/ .二夹角。的取值范围是(,)6分（2）设P（Xo，）"）,则尸尸（为 一c,）"）。/7 = （c,0）./. OF FP = (% - c, %) (c,0) = (x0 - c)c = r = (x/3 - l

14、)c2/. x0 =瓜S、OFP=g I。户 I ' I >'o 1= 2事)'o = 土 2c8分.而|=肝能="国2 +(当辰兰=2娓10分.当且仅当石。=虫,即。=2时,l OP I取最小值2声，此时，加=(2V3+2V3) COM =f(2看,2招)+ (0,1) = (2,3)或面=草(2、后,-20)+ (0.1) = (2,-1)12 分椭圆长轴2a = 7(2-2)2+(3-0)2 + 7(2 + 2)2+(3-0)2 = 8：.a = 4,b2 =12或 2q = J(2 2)2+(1-0)2 +J(2 + 2)?+(I 。)？ =1

15、+ 717.a= 1 +=1 + ；'"-22故所求椭圆方程为二+二=1.或 x2工y2 . 14分16 12口7+不存-2 -2解：(I ) = /货=0,则 xiX2+yiy2=O,又P、Q在抛物线上， .yr=2pxp y22=2px2,. yi2 )r22 , n彳、 2-2p +y】y2=°，yiy2=-4p2 ,，Iyiy2l=4p2,又Iy】y2l=4, ，4F=4, p=i.(II )设 E(a,O),直线 PQ 方程为 x=my+a , 联立方程组11歌3 .消去 x 得 y22pmy2pa=0 ,y】y2=-2pa,设 F(b.O), R(X3J

16、3),同理可知： yiY3=-2pb.由、可得卷=。， a若 谋=3他 设T(cQ),则有(X3-c,y3-O)=3(X2-c,y2-O),.丫3=3丫2 即 1=3,将代入，得b=3a.又由(【)知，6>-6=0 , yiy2=-4p2,代入，得-2pa=_4p2/.a=2p,，b=6p,3分4分5分6分7分8分9分10分11分13分故，在x轴上，存在异于E的一点F(6p.O),使得强=314分注：若设直线PQ的方程为y=kx+b,不影响解答结果.(I )解：设 P(x,y)则AP = (x-xA,y) PB = (-x,yB-y) 2 分由 AP = -PB 得 xA = 2x ,

17、yH =2y 4 分又加=区，2) AP = (x-xA,y)即苏= (2x,2), AP = (-x, y)6 分由 MA - AP = 0 得 x2 = y(y > 0)8分(n )设E(X, %), F(4,乃)因为歹=x ，故两切线的斜率 10分=2 v、由方程组， , 得小一24=。x+x,=2k 内电=一412y = k(x + 2)当U?时，司占=一1,所以k = -8所以,直线/的方程是y = -(x + 2)8解：(1).时5_1%轴，.|“鸟|=,由椭圆的定义得：1加耳1+工=2”，2分22VI ME l2=(2c)2+-, /.(2«-)2=4c2+-&g

18、t; < 分424n3又6 = ”得/=二/ A 4a2-2a = 3a -a>0:.a = 224:.b2 =a2 -c2 = a2 = 1， 6 分42，所求椭圆C的方程为1 + / = 1.7分4(II)由(I )知点A(2,0),点B为(0, -1),设点P的坐标为(x,y)则方=(-2-K一田，丽=(2,-1),由 PA AB = m 4 得4-2x + y = ?-4 ,，点P的轨迹方程为y = 2x + /9分设点B关于P的轨迹的对称点为8'(%,%)，则由轴对称的性质可得:上=3 = 2.包+ 7, x0 22211分他知 4 4m2m 3解得：/=-一，儿

19、=点8&O，%)在椭圆上，(土驯)2+4(生2)2 =4,整理得2/n2f -3 = 0解得、3？ = _ 1或 in = 23，点P的轨迹方程为y = 2x-l或y = 2x +，13分23经检验y = 2x 1和y = 2x + -都符合题设，23满足条件的点P的轨迹方程为y = 2x l或)，=2x +二.一2解(I )依题意，可设直线AB的方程为)，=h+加，代入抛物线方程/ =4y得A2 一4h一4加=0.设A、B两点的坐标分别是(Xl,yi). (X2XH X2是方程的两根.由点P (0, m)分有向线段工7所成的比为2,又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是(0,

20、-m),从而QP = (0,2/n).QA AQB =(X, y + m) - y2 + m)= (%) - Ax2, y1 - 4y2 +(1 -2)/7/).QP (QA - AQB) = 2my - Ay2 + (I - 2)m=2m- + 土 二 + (1 + 上) 4 x2 4 x2=2m(x +x2) 4x,=2m(x + x2) 一 4m + 4m(H)由卜j2? + 12 = 0,得点a、b的坐标分别是(6, 9)、(4, 4)。尸=4y,由 a2 = 4y 得 y = ；*2, y> = lx,=3。所以抛物线/ =4y在点A处切线的斜率为y14设圆C的方程是(x-a)

21、1 + (y-b)2 = r2,b 9 _ 1则, 一 63、（一 6）2 + S 9）2 = （a + 4）2 + 3 4）2 . *解之得 « = - = ,r2 =（ + 4尸+（。-4）2 =.22231?S所以圆C的方程是（x + -）2 + （y-）2 =, 222解:由（而+ 2正）（而-2%） = 0,得：PQ-4PC=0,（2 分）22设尸（x, y）,则（x + 4）?4 （x + 1）2+）J = 0,化简得：- += 1, （4 分）22点P在椭圆上，其方程为J + J = l.（6分）43（2）设A（演，,）、8（±,乃），由3+九丽= （1 +

22、4）沅得：CA + ACB = 6,所以，A、B、Xi =-1 4 x.xC三点共线,且%>0,得:（X|+l，x）+ 4占+1,%） =。,即：-（8分）-=-2因为王+卫二1,所以（二1二/也）一 +匕/叱=1（9分）4343又因为立+4=1,所以 31+匕立二分a。分）4343由遁得：.化简得:3-52因为<2,所以2«飞丁工2.解得：所以2的取值范围为 3解：（1）如图1,以石尸所在的直线为x轴，石尸的中垂线为y轴,建立平噂角鸣心一二与1分由题设成=眩HPEGOMPGHPEb 而IP产I +1 PE 1=1 PG 1= 2a3 分点尸是以石、尸为焦点、长轴长为10

23、的椭圆，2'>故点尸的轨迹方程是：斗+=14分25 16（2）如图2 ,设4七,以），B（x:/. X1工工2，且 1=1 Ci , 即（K 一%）2 +y2 =（勺一%）2 +y 乂A、8在轨迹上，.日+相=1,立+疸=125162516即乃2 =16-| X,2,力T6 25七8分代入整理得： 9，、2（x2 -xl）-x0=-（x2 一匹） 一 .9（玉 +x2） Xt 丰9 Xn-1.50 5 K X « 5 , 5 « ,巧4 5 , :-V Xj x2, / -10 < $ +x2 < 10a-2<x <2, B|Jioci-5° 55（I）以AB中点为原点0, AB所在直线为.),乃)，C(Xo，°)，6分2i1一B10分图2-10 < Xj +x2 « 1。.14X轴，建立直角坐标系，如