辐射井流量计算

1、辐射井流量计算摘要辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一 层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到燧井中。辐射井与常规井相 比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点。从 20世纪60年代以来，辐射井技术己在我国推广应用。如辐射井在华北深基坑工 程降水中，取得了较好的效果。随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得 成功，目前辐射井技术在地铁施工乂发挥着重要作用。本题要求我们根据黄土地I乂地下水渗透特点，求出地下水降落曲线，辐射井 水量计算模型。解题过程中我们运用了微积分和函数极限的概念，并参考文献中 的部分计算理论。针对第一问，参考文

2、献【1】中理论及其分析，得知地下水降落曲线与水平 距离x近似满足自然对数函数关系，据此我们假设了地下水降落曲线方程，运用 积分及函数极限的概念，求出待定系数，最终确定方程针对第二问，参考文献2理论及分析，我们得到了水平距离x处的流量 与该处地下水水位线高度的函数关系，带入数值验证并对方程系数进行修正。关键字：辐射井，降水，渗透，极限，微积分，自然对数函数。一、问题重述问题背景辐射井是由大直径集水竖井和集水井内沿水平方向向含水层打进具有一定 长度的多层、数根至数十根水平辐射管组成。辐射井能够有效开采不同含水层的 水源，单井出水量大，井的寿命长，节约动力，管理运行费用低，维修方便。福 射井的出水量

3、，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。需解决的问题本题是关于黄土中辐射井流量的问题。考虑到黄土竖直渗透系数远大于水平 渗透系数的特点，我们在建立模型计算时，在辐射管半径范围内，只考虑竖直渗 透，在辐射管半径范围外，水平方向的水流很难流入辐射管内，据此以及黄土的 特点，在抽水进行到一定阶段，即辐射管半径范围内的地下水水位与隔水底板高 差不太大时，水流的补给主要依靠辐射管半径范围外黄土中水的水平渗流。为了 得出辐射井出水量计算公式，在查阅有关文献后我们建立了辐射井出水量与降落 曲线的函数关系，并通过积分，得到了出水量的计算公式。二、问题分析针对本题进行分析，可知本题的重点是得出地下水降落

4、曲线随距离X的方程, 并且建立出水量计算方程。完整的解决这个问题需要运用积分，以及将数据带入 建立好的方程，对方程的合理性进行分析，并得出最终方程。针对第一问，参考文献1我们假设出地下水降落曲线随距离X的方程， 式中含有待定系数，求解出该待定系数成为解决该问题的关键。对问题进一步分 析得知，该系数的求解将有其后流量与地下水高度的关系解出。针对第二问，参考文献2的理论，我们得到了流量和地下水曲线高度的 函数关系，式中存在阻抗系数，并且在具体情况下应对上述流量和地下水曲线高 度的函数关系进行修正。在计算水量时，由于每根辐射管的情况相同，我们通过 对一根辐射管流量的计算，乘以辐射管数后得到总流量。三

5、、基本假设1. 在辐射管半径范困内只考虑土中水的竖直渗透。2. 潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性。3. 潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。4地下水降落曲线的高度变化仅与距集水竖井中心的距离有关，即距集水竖 井中心相同时，地下水降落曲线高度的z坐标相同您符号意义单位Hx距集水竖井中心水平距 离X处的水位高度米集水竖井中水面高度米Ho辐射管端点处水面高度米Ro辐射管端点距井中心的 水平距离米R2距集水竖井为&2-点米Ri距集水弦井为一点米Hi距集水竖井为月一点的 地下水水面高度米h2距集水嗟井为玲一点的 地下水水面高度米Qn辐射井出水量米 时a

6、待定系数r集水竖井半径米n辐射管数0相邻两辐射管夹角度AH辐射管中心与隔水底板"匚1米其余符号均会在首次出现时作以说明，以上各符号代表的高度，均从隔水底板起算。五、模型的分析、建立与求解5. 1地下水降落曲线及辐射井出水量的分析分析题目条件，黄土地区由于黄土中竖直渗流远大于水平渗流的特点，在辐 射管半径范围内，地下水经竖直渗流，汇入辐射管后流入集水井内。而普通筒并 则是依靠微弱的水平渗流，使地下水汇入井中，这就造成了两种井的地下水降落 曲线的不同。Z地面集竖AH不透水层XRo图1 （辐射井工作状况纵剖而图）如图1所示，辐射井在辐射管延伸范I韦1内，水力坡度近井处平缓，远处陡峭， 降落

7、曲线呈下凹曲线，与普通筒井相反，井壁处不发生水跃现象。在辐射管端点， 水力坡度陡增，并出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围外，降落曲线呈上凸曲线, 水力由陡变缓，与普通筒井一致。并且，参考文献【5】知地下水降落曲线集中 反映了地下水的水头沿辐射管方向的分布和变化，最大水头出现在辐射管的端点 处，从该点进入辐射管的水最最多，靠近集水竖井水头逐渐减小，进入辐射管的 水星也逐渐减小。考虑到黄土中呸直渗流远大于水平渗流的特点，在抽水初期, 由于辐射管半径范围内水量较丰富，这时辐射井的出水主要来自半径范围内地下 水的骚r漆流，当抽水进行到一定阶段，即辐射管半径范围内的地下水水位降至 接近辐射管时，辐射井的出水

8、主要为辐射管半径范围外土中的水经水平渗流，流 入辐射管半径范围内后再经竖直渗流流入辐射管，然后汇入竖直集水井中，这使 得抽水后期出水最明显减少。据此，在对出水最方程进行数值检验时，应乘以一 个相应的修正系数才能符合实际情况。5. 2模型的建立针对第一问，由参考文献【1】中所述模型及本题题目描述，我们假设地下 水降落曲线与水平距离X之间近似满足自然对数函数关系式：HX=HW + （Ho- HQ 卿。-、）（1） o将x=Ro带入（1）式，得H广Ho：将x=r带入（1）式，得Hx=Hr=Hw + （Ho - Hw）ea°,即井壁处的水位 高度与井中心水面高度有一个差值，因Ro比r大很多，

9、所以这个差值很小， 能够满足实际情况。此处，运用公式（1）,积分以及极限的概念求解待定系数a,具 体步骤如下1. 距竖直集水井中心Ri处地下水高度Hi=& + （H0-Hw）e-a-i）2. 运用极限的概念，当/?2从右边无限靠近R1时，卅玲段地下水水位的高度 无限逼近,公式表达为%=£或3. 由上述两式联立求解a,由于求解过程及结果较为复杂，最终将a简化,结果为a =1 In：? J，（ 2）h*K化一图2辐射井纵剖面和计算中各符号图示参考文献【2】知，对于任意距离x处，进入辐射管的流量为：q 广 k3)k为黄土含水层渗透系数，题中给出的范围为0.0554 0.1607 (

10、米/小时)虻£牛冷*为相应于x剖面的局部阻抗系数d为辐射管直径由于流量衣是随水平距离x变化的，所以求解辐射管流量时必须对整个辐射 管路径进行积分，计算步骤如下：运用定积分求出辐射管路径上地下水水位线的平均高度H，用R,b,甲分别 表示相应于H的水平距离，地下水水位线的运动面宽度和局部阻抗系数。所以辐 射管单位长度上的平均流量q=k,再乘以辐射管长度，即可得到单管流量：n 1 z DH-HwQ=k (R0-r)-辐射管路径上地下水平均水位高度H合如*咽+ (%-处)壬学 将X=R, Hx = H带入(1)式得到相应于平均高度H的水平距离R=7?o-下面给出简化后的地下水水位面宽度计算方

11、法:图3辐射井平面布设图这里，b为相应于上述平均高度H,和水平距离R的剖面宽度，我们将其简 化为矩形剖面。所以b=2tan () R=2tan ()(乩一土侦牛李)(6)由参考文献【2】知，相应于H, b, AH的阻抗系数，其方程为含有参变量的函数：b d AH<P = f(H，万7T)其具体表达式为：(7)(P = 土、 1"+HYH(+住)“ s费2_(血芋M)2明b 2H式中各符号代表意义同前。辐射井出水SQn=nQ=nk (R0-r)生耻(8)六、模型的改进与检验为了检验所建立模型的计算结果是否与实际测量值相符，我们将数据带入计 算公式进行检验，在带入数据前对数据进行分

12、析，可得从观测孔M开始，水位下降不明显，所以验证时，仅将Ni、N2的数据带入公式进行计算.计算地下水降落曲线并用实测数据进行验证：观测时间月、日、时比-HwH2 - HwHwH!-Hwa4. 19. 131. 42. 731. 950. 6680. 01114. 19. 71. 06n 77 匕.I 12. 610. 9610. 01604. 19. 210. 872. 853. 281. 1870. 01984. 20. 31. 063. 233. 051. 1140. 01864. 20. 94. 15.81.410. 34 -0. 005784. 20. 172. 343.421. 46

13、0. 3790. 006324. 21. 10. 833. 23. 861. 3490. 02254.21.90. 853. 13. 651.2940. 02164.21. 170. 843. 043. 621.2860. 02144. 22. 10. 682. 844. 181. 430. 02384. 22. 90. 662. 764. 181.430. 02384. 22. 170. 662. 814. 261.450. 2424. 23. 10. 612. 731. 131. 500. 0254. 23. 50. 572.74. 741.560. 026表一降落曲线数据验证表注：Hi、

14、彪分别为观测井Ni、此中的水面高度现仅将4月22 H 9时的一次观测数据的计算结果列出，Hw = 76.15,Ho =80.085 f a = 0.0238水平距X米r=l. 752040&=50一口90&2=110Ro = 121. 75Rq x120101. 7581. 7571. 7551. 7531. 7511.750a(R° %)2. 862. 421. 951.1.230. 760. 280ea(P0-x)17.511. 27.05. 533. 422. 141.321. 00(Hq0. 230. 350. 560.711. 151.842. 983. 9

15、4比（计算）76. 9877. 5280. 09Hx （实测）76. 1576. 8180. 085由所有数据的计算结果分析可知，所建立的地下水曲线降落模型的计算值与 实测值误差很小，所以地下水降落模型曲线基本上能反映实际，是正确的。计算辐射井出水屋并用实测数据进行验证，步骤如为：根据公式（4） - （6），计算出沿辐射管路径地下水的平均高度H,相应的简化矩形剖而宽度b,然后将二普代入公式（7）得出局部阻抗系数，将其 n n n带入公式（8），计算辐射井出水量。在此，仍将4月22日9时的一次观测数据的计算结果列出：Hw =76.15 米比= 80.085 米，Rq=121. 75 米,a =

16、0.0238, n=8, 0 = 45°, RQ-r =120米,d=0. 12米,AH = 1.2米，将有关数据带入公式（4）得H=77. 45米，再将H=77. 45米及其他数据代入公式（6）得b=62. 23米，由此得出各参变量比值分 别为：bdAH=0.80, = 0.0015, = 0.015nnn将其带入公式（7）求得q） = 9.67o将以上所有数据代入公式（8）求得，k=0. 0554时Qn=6. 98, k=0. 1607时,（2n=21. 05而Q （实测）为46. 15,相差巨大。对结果及公式进行分析，由于地下水降落曲线的公式能反映实际，所以不难发现，造成这一现象的原因出现在局部阻抗系数（P的计算上。据此，我们对（p进行了修正。修正后发现，将原来的参变量%, %,绊改为令，导，普带入公式计算后发现，对于4. 22. 9及其之前的数据, n n n n n n计算结果与实测结果相差不大，能大致反应出实际情况，但对于4.22.9之后的 数据，则相差较大，分析其原因，如文章开头第五部分分析所述，是由于此时水源补给情况不同导致，也就是说对于4. 22. 9以后的数据应用修正后的公式计算所产生的误差己