线性变换二阶矩阵及其乘法学习教案

1、会计学1第一页，共51页。知识点知识点考纲下载考纲下载考情上考情上线线逆变换逆变换与逆矩与逆矩阵、矩阵、矩阵的特阵的特征向量征向量1.逆矩阵与二阶行列式逆矩阵与二阶行列式(1)理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在(2)理解逆矩阵的唯一性和理解逆矩阵的唯一性和(AB)1B1A1等简单等简单 性质，了解其在变换中的意义性质，了解其在变换中的意义(3)(3)了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆 矩阵矩阵2.二阶矩阵与二元一次方程组二阶矩阵与二元一次方程组(1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意能用变换与映射的观

2、点认识解线性方程组的意 义义(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组(3)理解线性方程组解的存在性、唯一性理解线性方程组解的存在性、唯一性3.变换的不变量变换的不变量(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向 量的意义量的意义4.利用矩阵利用矩阵A的特征值、特征向量给出的特征值、特征向量给出An简单的表简单的表 示，并能用来解决问题示，并能用来解决问题.本部分本部分内容将内容将以考查以考查矩阵的矩阵的运算及运算及解线性解线性方程组，方程组，如求逆如求逆矩阵，矩阵，另外特另外特征值与征值与特征向特征向量的求量的求法也是

3、法也是常考知常考知识点识点.第1页/共51页第二页，共51页。第2页/共51页第三页，共51页。第3页/共51页第四页，共51页。一、二阶矩阵的定义一、二阶矩阵的定义(dngy)1由由4个数个数a，b，c，d排成的正方形数表排成的正方形数表_ 称为称为 二阶矩阵二阶矩阵2元素全为元素全为0的二阶矩阵的二阶矩阵_称为称为(chn wi)零矩阵，简记为零矩阵，简记为 _ 矩阵矩阵 称为称为(chn wi)二阶单位矩阵，记为二阶单位矩阵，记为 .第4页/共51页第五页，共51页。二、几种二、几种(j zhn)特殊线性变换特殊线性变换1旋转变换旋转变换 直线坐标系直线坐标系xOy内的每个点绕原点内的每

4、个点绕原点O按逆时针方向按逆时针方向旋旋 转转角的旋转变换的坐标变换公式是角的旋转变换的坐标变换公式是 对应的二阶矩阵为对应的二阶矩阵为 第5页/共51页第六页，共51页。2反射反射(fnsh)变换变换 平面上任意一点平面上任意一点P对应到它关于直线对应到它关于直线l的对称点的对称点P的线的线 性变换叫做关于直线性变换叫做关于直线l的反射的反射(fnsh)3伸缩变换伸缩变换 在直角坐标系在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中倍，其中k1，k2为非零常为非零常数，数， 这样的几何变换为伸缩变换这样的几何

5、变换为伸缩变换第6页/共51页第七页，共51页。4投影变换投影变换 设设l是平面是平面(pngmin)内一条给定的直线，对平面内一条给定的直线，对平面(pngmin)内内的任意一点的任意一点P 作直线作直线l的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点P，则称点，则称点P为点为点P在直在直 线线l上的投影，将平面上的投影，将平面(pngmin)上每一点上每一点P对应到它在直线对应到它在直线l上的上的 投影投影P，这个变换称为关于直线，这个变换称为关于直线l的投影变换的投影变换第7页/共51页第八页，共51页。5切变变换切变变换(binhun) 平行于平行于x轴的切变变换轴的切变变换(binhun)对应的二

6、阶矩阵为对应的二阶矩阵为_， 平行于平行于y轴的切变变换轴的切变变换(binhun)对应的二阶矩阵为对应的二阶矩阵为_ 第8页/共51页第九页，共51页。三、变换、矩阵的相等三、变换、矩阵的相等1设设，是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果(rgu) 对平面内的任意一点对平面内的任意一点P，都有，都有 ，则称这，则称这 两个线性变换相等两个线性变换相等（P）=（P）2对于对于(duy)两个二阶矩阵两个二阶矩阵A与与B，如果它们的，如果它们的_都分都分 别相等，则称矩阵别相等，则称矩阵A与矩阵与矩阵B相等，记作相等，记作AB.对应对应(duyng)元素元

7、素第9页/共51页第十页，共51页。四、矩阵与向量四、矩阵与向量(xingling)的乘法的乘法 设设A 规定二阶矩阵规定二阶矩阵A与向量与向量(xingling)的乘的乘 积为向量积为向量(xingling)_，记为，记为 或或 ，即，即 这是矩阵这是矩阵 与向量与向量(xingling) 的乘法的乘法Aa第10页/共51页第十一页，共51页。五、线性变换的基本性质五、线性变换的基本性质 性质性质1.设设A是一个二阶矩阵，是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个是平面上的任意两个 向量，向量，是一个任意实数，则是一个任意实数，则 (1)A() ； (2)A() . 性质性质2.二阶矩阵对应的变换二

8、阶矩阵对应的变换(线性变换线性变换)把平面上的直线把平面上的直线(zhxin) 变成变成_ 定理：设定理：设A是一个二阶矩阵，是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个是平面上的任意两个 向量，向量，1，2是任意两个实数，则是任意两个实数，则 A(12)1A2A.AAA直线直线(zhxin)（或一点）（或一点）第11页/共51页第十二页，共51页。六、二阶矩阵六、二阶矩阵(j zhn)的乘法的乘法1设设A 则则 AB第12页/共51页第十三页，共51页。2对直角坐标对直角坐标(zh jio zu bio)系系xOy内的任意向量内的任意向量，有，有A(B) .3二阶矩阵的乘法二阶矩阵的乘法(chngf)

9、满足结合律，即满足结合律，即(AB)C .4AkAl_，(Ak)lAkl.(AB)a(AB)CAk+l l第13页/共51页第十四页，共51页。1已知矩阵已知矩阵M 向量向量(xingling) ，试判，试判 断断 (MN)与与M(N)的关系，的关系，MN与与NM的关系的关系第14页/共51页第十五页，共51页。解：解：(MN)M(N)所以所以(suy)(MN)M(N)又因为又因为MNNM ，所以，所以(suy)MNNM.第15页/共51页第十六页，共51页。2求圆求圆C：x2y24在矩阵在矩阵(j zhn)A 对应变换作用下对应变换作用下的的 曲线方程，并判断曲线的类型曲线方程，并判断曲线的

10、类型第16页/共51页第十七页，共51页。解：设解：设P(x，y)是圆是圆C：x2y24上的任一点，上的任一点，P1(x，y)是是P(x，y)在矩阵在矩阵A 对应对应(duyng)变换作用下新曲线上的对应变换作用下新曲线上的对应(duyng)点，则点，则将将 代入代入x2y24，得，得 y24，方程方程 1表示的曲线是焦点为表示的曲线是焦点为(2 ，0)，长轴长为，长轴长为8的椭圆的椭圆第17页/共51页第十八页，共51页。3设设a，bR，若，若M 所定义的线性变换把直线所定义的线性变换把直线(zhxin)l： 2xy70变换成另一直线变换成另一直线(zhxin)l：xy70，求，求a，b 的

11、值的值第18页/共51页第十九页，共51页。解：取直线解：取直线l：2xy70上任一点上任一点(y din)(x0,72x0)，则它在，则它在对应的变换作用下有对应的变换作用下有而点而点(ax0，x07b2bx0)在直线在直线l：xy70上，上，即即ax0 x07b2bx07.由由x0的任意性得的任意性得第19页/共51页第二十页，共51页。4.运用旋转矩阵运用旋转矩阵(j zhn)，求直线，求直线2xy10绕原点逆时绕原点逆时针旋转针旋转 45后所得的直线方程后所得的直线方程第20页/共51页第二十一页，共51页。解：旋转矩阵解：旋转矩阵直线直线2xy10上任意上任意(rny)一点一点(x0

12、，y0)旋转变换后为旋转变换后为(x0，y0)，第21页/共51页第二十二页，共51页。直线直线2xy10绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转(xunzhun)45后所得的直线后所得的直线 方程是方程是即即第22页/共51页第二十三页，共51页。第23页/共51页第二十四页，共51页。1二阶方阵的运算关键二阶方阵的运算关键(gunjin)是记熟运算法则是记熟运算法则2注意运算时运算律的应用，它满足结合律即注意运算时运算律的应用，它满足结合律即(MN)P M(NP)(MP)N.第24页/共51页第二十五页，共51页。 已知已知M ，求二阶矩，求二阶矩阵阵(j zhn)X，使，使MXN.第25页/共5

13、1页第二十六页，共51页。求二阶矩阵可先设出二阶矩阵求二阶矩阵可先设出二阶矩阵X，根据矩阵乘法，根据矩阵乘法(chngf)法则，应用待定系数法求解法则，应用待定系数法求解.第26页/共51页第二十七页，共51页。解：设解：设X ，按题意有，按题意有根据根据(gnj)矩阵乘法法则有矩阵乘法法则有第27页/共51页第二十八页，共51页。解之得解之得第28页/共51页第二十九页，共51页。1若若 ，试求，试求x的值的值第29页/共51页第三十页，共51页。解：解：第30页/共51页第三十一页，共51页。 伸缩伸缩(shn su)、反射、切变变换这三种几何变换称、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变

14、换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合合第31页/共51页第三十二页，共51页。 在直角坐标系中，已知在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求，求ABC在矩阵在矩阵MN作用作用(zuyng)下变换所得到的下变换所得到的图形的面积这里图形的面积这里M 第32页/共51页第三十三页，共51页。

15、因为因为(yn wi)矩阵矩阵M表示反射变换，矩阵表示反射变换，矩阵N表示旋转变换，表示旋转变换，所以变换后所得图形与原图形全等所以变换后所得图形与原图形全等.第33页/共51页第三十四页，共51页。解：在矩阵解：在矩阵N 的作用下，一个图形变换为其绕原点逆的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转时针旋转90得到的图形，在矩阵得到的图形，在矩阵M 的作用下，一个的作用下，一个图形变换为与之关于直线图形变换为与之关于直线yx对称的图形因此对称的图形因此ABC在矩阵在矩阵MN作用下变换所得到的图形与作用下变换所得到的图形与ABC全等，从而其面积全等，从而其面积(min j)等于等于ABC的面积的

16、面积(min j)，即为，即为1.第34页/共51页第三十五页，共51页。2直角坐标系直角坐标系xOy中，点中，点(2，2)在矩阵在矩阵M 对对应应 变换变换(binhun)作用下得到点作用下得到点(2,4)，曲线，曲线C：x2y21在矩阵在矩阵M 对应变换对应变换(binhun)作用下得到曲线作用下得到曲线C，求曲线，求曲线C的方的方程程 第35页/共51页第三十六页，共51页。解：根据题意解：根据题意 ，即，即2a4，解得，解得a2，设曲线，设曲线C变换前后对应点的坐标变换前后对应点的坐标(zubio)分别为分别为(x，y)，(x，y)，则，则 代入曲线代入曲线C的方程的方程x2y21，整

17、理得整理得 y2x21，即曲线即曲线C的方程为的方程为x2 y21.第36页/共51页第三十七页，共51页。 在解决通过矩阵进行在解决通过矩阵进行(jnxng)平面曲线的变换时，变换矩阵可以平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆止混淆第37页/共51页第三十八页，共51页。 已知曲线已知曲线C：xy1.(1)将曲线将曲线C绕坐标绕坐标(zubio)原点逆时针旋转原点逆时针旋转45后，求得到的曲线后，求得到的曲线C的方程；的方程；(2)求曲线求曲线C的焦点坐标的焦点坐标(zu

18、bio)和渐近线方程和渐近线方程第38页/共51页第三十九页，共51页。首先要确定能够实施首先要确定能够实施(shsh)变换的矩阵，求出变换后的变换的矩阵，求出变换后的曲线曲线C的方程，再研究曲线的方程，再研究曲线C的几何性的几何性.第39页/共51页第四十页，共51页。解：解：(1)由题设条件由题设条件(tiojin)，变换变换(binhun)：第40页/共51页第四十一页，共51页。即有即有解得解得第41页/共51页第四十二页，共51页。代入曲线代入曲线C的方程为的方程为y2x22，所以所以(suy)将曲线将曲线C绕坐标原点逆时针旋转绕坐标原点逆时针旋转45后，得到的曲线后，得到的曲线C的

19、方程是的方程是y2x22.(2)由由(1)知，只需求曲线知，只需求曲线y2x22的焦点及渐近线，由于的焦点及渐近线，由于a2b22，故，故c2，又焦点在，又焦点在y轴上，从而其焦点为轴上，从而其焦点为(0,2)，(0，2)，渐，渐近线方程为近线方程为yx.第42页/共51页第四十三页，共51页。3已知在一个二阶矩阵已知在一个二阶矩阵M的变换的变换(binhun)作用下，点作用下，点A(1,2)变变成了成了 点点A(4,5)，点，点B(3，1)变成了点变成了点B(5,1) (1)求矩阵求矩阵M； (2)若在矩阵若在矩阵M的变换的变换(binhun)作用下，点作用下，点C(x,0)变成了点变成了点C(4， y)，求，求x，y. 第43页/共51页第四十四页，共51页。解：解：(1)设该二阶矩阵设该二阶矩阵(j zhn)为为由题意得由题意得所以解得所以解得故故M第44页/共51页第四十五页，共51页。(2)因为因为(yn wi)解得解得x2，y2.第45页/共51页第四十六页，共51页。 矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多考查矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，从而求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新