使用留数定理计算实积分

1、用留数定理计算实积分一：教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：用留数定理计算实积分的几种方法重点：用留数定理计算实积分的方法难点：定理的应用二:教学目标或要求：真正掌握用留数定理计算实积分的几种方法三、教学手段与方法:讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：5-7用留数定理计算实积分留数定理的一个重要应用是计算某此实变函数的积分.女口，在研究阻尼振动时计算积分工 ,在研究光的衍射时，需要计算菲涅耳积分 在热学中将遇到积分2亠亡°血叭口 A 0 , b为任意实数）如用实函数分析中的方法计算这些积分几乎是不可能的，既使能计算，也相当复杂如果能把它们化为复积分，用哥西定理和留数

2、定理，那就简单了当然最关键的是设法把实变函数是积分跟复变函数回路积分联系起来.把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分 人心血的积 分区间比可可以看作是复数平面上的实轴上的一段 人，于是，或者利用自变 数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了； 或者另外补上一段曲线一，使*和.合成回路|,|包围着区域B,这样左端可应用留数定理，如果 具体介绍几个类型的实变定积分2 n一计算0 R(cos , sin )d型积分容易求出，贝U问题就解决了，下面令z e1 ，则cos与sin均可用复变量z表示出来，从而实现将R(cos ,sin )变形为复变量z的函数的愿望，此时有c

3、os2 2z 1z 1,sin2z2iz同时，由于ze1 ，所以|z 1，且当由0变到2 n时，z恰好在圆周c: z 1上变动一周故使积分路径也变成了所期望的围线。至此，有2 n° R（cos,sin ）dz21 z211（£，右）严于是，计算积分2 nR（cos0,sin )d的方法找到了，只需令z d即可。一时，令-'112!-1（z p）（y p）极点，在内,上无奇点，故由留数定理'门|门仅以z = r为一级一时，在. 内；仅以 -为一级极点,在"I上无奇点,I = - 2jrrRe s J （z）7_1（z -卫）（1 一护）例解:计算积分

4、dd1 十 £COSS得:先求的奇点及其留数令其分母为零得:z2 + 2 'H 1 = 0=>-丄+ aJ1- £-az2 £ £ £8 £这就是M的两个单极点.单极点可的模为：l-Jd（lr）£所以极点可在单位圆内.而单极点可的模为：E £E>1>1£此积分在力学和量子力学中甚为重要,由它可以求出开普勒积分:（1 十 ffCOfifl）3之值.为此，在前例中，用%代出仗r）得:两也对a求导得:所以可在单位圆外，在极点可处.Res/（-可）于伝） lim 仗一场），-MY,r-n

5、t（言-引）（？ -z2）=1= E込l 一 可2 Vi-?-2mR.es f （z）-令a=1得，即:加A(1 + ff cos ff)2(1-暫5-4COSXCQSW解5 4.；.,为偶函数，故0cos 诲 ,ax5-4 cos xd羸5 -4 cos r=0，则dz在."内部仅有 】为一级极点，RU店三 . 疋. *4 匕-2）（"（小）打 3,2?£ 十 2 = -' 2 加（一=笃r/i = 7了故，比较实部得，故例计算积分"“叭。如山咖解：若直接作e 一疋变换，则积分复杂，若先考虑积分：作变换:因.为所以：召 f 曲（2懐（啲一 si

6、n白-？£gsii心白-gin &）M="f 血3（圧4 sin- i $in仏夕- sin 砂茁，则:/J+1阶极点.Res-=-hm z于礼问山dzn故:比较两边的实部和虚部得:-计算器dx型积分由于，考虑添加辅助曲线戈与实轴上是区间卜尺刃构成围线C,则J-碍） J“Q厶 00）?F迫其中丄 为匸二落在内部的有限个奇点处的留数和，若能估计出空也的值，再取极限即得引理设匚在圆弧-_'' I '充分大）上连续，且-1-在【；上一致成立（即与* - J -丄：中的 F无关），则lim f /也倒-即兄。证 2，由于' 1在；上一致成立，

7、故時。卫池*）卯点化加匸/比T-即2 -匸了必-JlfiM他4定理设为有理分式，其中+©工°）分十&尹' +十耳（虬红|）?互质多项式,且（1）；一丫-：;（2）在实轴上 ，r= 2忘 y r亡“Z工叫。证由一-宀匸+：匸作-一.,与线段起构成围线 取己足够大，使 的内部包含-L ；在上半平面内的一切孤立奇 点，由在实轴上" 知，在I上没有奇点，由留数定理得J/祕“加孟監畑，又J/粧订:介如射（沁由于lw）卜Z编护十如“° + +Aa当« -ml2时，坎刃|t 02T 3），由引理,尹+】貞B宀4步hm丄/血二?佃-0)'

8、; 0 = 0希必=加 V" Rt忒/N命叫。，计算Q 兀4 +(/为偶函数，所以1p dxJo je* + a*'244z + a解:函数七=0坨3故在上半平面的奇点为:而:Re/(z)=13=6424a3例计算积分2x 2 dx。 x x 1解 经验证，此积分可用（）式计算.首先，求出上半平面的全部奇点令z210 即 z4 z2 1(42八z 2z 1)(z2z 1)(z2z 1)0于是,鵲在上半平面的全部奇点只有两个:£且知道,占八、其次，算留数，有隔（署）zim（zRes器)zim(z1724a3P(z)Q(z)z42 ( 2 z (z1)2均为器的-级极2

9、z社)(z)z2)(z )(z)(z)(z)1 _3i4 3i最后，将所得留数代入（）式得x42Adx 2n i吟鵲，)ReS(0Sn,)积分的计算引理（Jorda n）设在半圆周 上“ '充分大）上连续,lim f 呂（叹汕血-0 （ > O'j上一致成立，贝U'证、，由于 匚在二上一致成立，故-J L | 人Jorda n 不 等2月<£1116 < 6 (d<<式 -八T -:八"1 1 ?故",于是. 抵QSin nsin 6g _ 2T定理 设 -',其中及二一为互质多项式,且数比的次数高；(

10、2)在实轴上“ "(3)玄,L亘(或护1必-2加R亡则下：_，特别地分开实、虚部就可以得到与的积分。略。计算积分解:为偶函数,有两个单极点士】，其中W 11在上半平面，其留数为:严1Re jLl + 2 _ lini - f)，si 八 1 2t例计算积分e，xdx,a 0 .x a解 经验证，该积分可用()式计算.首先，求出辅助函数i zf(z)寻z在上半平面的全部奇点.a由z2 a20解得zai与zai为f (z)的奇点，而a 0,所以，f(z)在上半平面只有一个奇点ai ,且ai为f (z)的一级极点.其次，计算留数.有i zeRes(二2，ai)z aai)(z ai)(z

11、ai)a e2a i最后，由()式得i xe2 2x adx2niRes(2zy，ai)na 。ae例计算积分n cosx ,dxx 4x 5解若令cosx ,dx5ixex2 4x则E ReH，即H的实部为E 因此，为了计算H，只需求出积分即可，而该积分可用（）为用（）式，先求出辅助函数叫Q(z)i 2 zi ze4z 5在上半平面的奇点只有点2 i （另一个奇点为2 i )，于是,由（）式得从而有于是Res(i xe4xi zez2 4zx2-dx52 n i Res( zi)lim (zzi ze4zi)(z )(z)1 2ie2ii xe4xdx52i2jr(cos2 isi n2)R

12、eH2n_cos 2en cosx 卡dxx 4x 52 ncos2e这里要指出的是，由所求积分的特征，计算所给积分也可直接利用（）式进复变函数论课程教案授课题目（教学章节或主题）：第二节续授课类型理论课授课时间第15周第1 2节教学目标或要求：掌握积分路径上有奇点的积分的计算典型例题教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：积分路径上有奇点的积分的计算典型例题重点：积分路径上有奇点的积分的计算难点：典型例题教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习：265 页 1 5参考资料（含参考书、文献等）：单复变函数康威著吕以辇张南岳译上海科学技术出版社 1985注：1、每项页面大小可

13、自行添减；2 一次课为一个教案；3、“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4、授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题4.计算积分路径上有奇点的积分前面所讲的三种类型都是丿一在实轴上没有奇点的情况，如果丿一 在 实轴上有奇点。那么前述计算方法不完全适用。例如|在实轴上有一个奇点"卩为实数），要计算匸貞谕，在作辅助线时，应绕过奇点忆二蔭，具体 办法是在上半平面，作一个以忆二圧为心，半径为毎的半圆周匚；，积分沿©疳进 行，然后令& TO取极限（如图所示）“承=ff他加L；八诳*儿加L,理住令丘一吧，上式左端用留数定理计算，再令 £TO"（诳卿）L怡血Jq北血满足引理条件，主要的就是求积分"啄曲.如果实轴上个奇点，那么分别以各奇点为心，I'为半径作上半平面的半圆，经过奇点即可，例计算狄利克雷积分解：先将积分变换为/=ri办 _ * f2i7J丄匚Jo 兀2* X对于第二个积分，作变换工二尸，贝U:心二砂扛严1故rfr+lf 也x1由于:&