4.1.1n次方根与分数指数幂

1、第四章指数函数与对数函数§4.1 指数4.1.1 n次方根与分数指数累【学习目标】1.理解n次方根、根式的概念2能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数哥进行转化.4.掌握并运用有理数指数哥的运算性质.【导语1公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为 1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数42的诞生.这就是本节课我们要学习的根式.一、n次方根问题1如果x2=a,那么x叫做a的什么？这样的x有几个？ x3=a呢？提示 如果x2=a,那

2、么x叫做a的平方根，这样的 x有两个；如果x3=a,那么x叫做a的 立方根，这样的x有一个.问题2类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示 比如（=2）4= 16,我们把 受叫做16的4次方根；（到4= 81,我们把i3叫做81的4次 方根；（一2）5=32,我们把一2叫做一32的5次方根；（=2）10=1 024,我们把i2叫做1 024 的10次方根等.类比上述过程，我们可以得到：如果 2n=a,那么我们把2叫做a的n次方 根.【知识梳理】1 . n次方根的定义一般地，如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且nCN

3、*.2 . n次方根的性质n为奇娄n为偶数aC Ra>0a= 0a<0x= 7ax= ±n/ax= 0不存在3 .根式式子n/a叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数.4 .根式的性质(1)负数没有偶次方根.(2)0的任何次方根都是0,记作go=o.(3)(n/a)n = a(nC N*,且 n>1).n一 a, a>0,(4)而=冏=一(n为大于1的偶数).-a, a<0一、/»1汪思点：(2)(抽尸与起意义不同,(1)对于(牖尸=2,若n为奇数，则aC R；若n为偶数，则a>0;比如y _33 =3, q -34=3,而(弋3)4

4、没有意义,故(yywyon；当a>0时，(抽V=。丁；当a<0且n为奇数时，(牖=丁；当a<0且n为偶数时，对于n/an要注意运算次序.例1 (1)化简下列各式: -2 5 + (2)5； 6 -2 6 + (瓶)6；yx+2 4.解原式=( - 2) + ( 2) = - 4.原式=|-2| + 2= 2+2 = 4.x+ 2, x> - 2,原式=(2)已知一|x+ 2|=-x-2, x<-2.3<x<3,求yx2-2x+1 x2+ 6x+9的值.解 原式=y x_ 1 27 x+ 3 2 = |x- 1| |x+ 3|,- 3<x<3

5、,当一3Vx<1 时,原式=(x 1) (x + 3) = 2x 2 当 1Wx<3 时，原式=(x-1)-(x+3) = -4.原式=2x 2, 3<x<1 ,4, 1 < x<3.延伸探究在本例(2)中，若将"3<x<3"变为“xw3”，则结果又是什么?解 原式=7 x 1 2-7 x+ 3 2 = |x 1| |x+ 3|.1 . x< -3,2 .x-1<0, x+3<0,原式=一 (x 1) + (x + 3) = 4.反思感悟正确区分起与(垢)n(1)起中的a可以是全体实数，gan的值取决于n的奇

6、偶性.(2)(na)n已暗含了 ga有意义，根据n的奇偶性可知a的范围.跟踪训练1化简下列各式：(1), _2 7；(2) 7 兀4 2 + «% 4 3 ； (3)4/ 3a-3 4(a< 1);(4)J3/？+V 1 a 4 ；解(向-2 7 =-2.(2)亡4| +兀4 =4兀+ 兀4 = 0.aw1,7 3a-3 4 =|3a-3|= 3|a- 1|=3-3a.(4)海+ 1-a 4 =a+ |1- a|= 1' a、1， 2a-1, a>1.二、分数指数哥问题3那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如汩,加，工,旅，a>0,是否也可以表示为分

7、数指数哥的形式？如何表示?221提示 a= a3 , a= a4 = a2,53a5= a3,税=a9 = a根式与分数指数哥的互化(1)规定正数的正分数指数哥的意义是:man = n/am(a>0, m, nC N*,且 n>1)；11* r .(2)规定正数的负分数指数哥的意义是：a n =(a>0, m, nCN ,且n>1);a nam(3)0的正分数指数哥等于 0,0的负分数指数嘉没有意义.m注意点：(1)分数指数哥a7不可理解为m个a相乘，它是根式的一种写法；(2)正数的负分数指数哥总表示正数，而不是负数.整数指数哥的运算性质，可以推广到有理数指数哥，即：a

8、ras= ar+s(a>0, r, sCQ)；(ar)s= ars(a>0, r, sC Q);(ab)r= arbr(a>0, b>0, rCQ).ara ar拓展：/=ar s(a>0, r, sCQ). br=(a>0, r, sCQ)注意点：(1)记忆口诀：乘相加，除相减，哥相乘；(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算.1.入 1253 . 例2化简的结果是()2735A二 B.- C. 3 D. 553(2)第二行(a>0)的分数指数哥表示为()1 33A. a2 B. a2 C. a4 D.都不对(3)化简ala ,(a>0)的结

9、果是()答案(1)A(2)A (3)B31535 一 3解析 (1)原式=3=5.3： 13K 3 11(2)原式=Va a2 = Va2 = a2 3= a2.127原式=a2 a3 = a6 = Vo7.反思感悟根式与分数指数哥互化的规律(1)根指数一分数指数的分母，被开方数(式)的指数"一分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数哥的形式，然后利用有理数指数哥的运算性 质解题.(1)求值:_8_27=跟踪训练28(2)用分数指数哥表示5 1 C、 ”0)2答案(1)-2 (2) a5 313 -23_ 233.18 3解析(1)原式=2732(2)原式=a

10、a 5 = a5.三、有理数指数哥的运算性质12211a3b 5-15-aa6 b6 a6 b6=a 1 = 1a 2b3.(式中的字母均是正数)例 3 (1) 6ab5,1答案1a解析原式=21111a32 b2a 2 b31 5a6 b6111155a 3 2b2 3 a 6 b66 6a避免运用运算性质时出错.2 3-2.2，解原式=g多1 + 2 = 2.反思感悟关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次,11 2C 27跟踪训练 3 (1) 2-(-2)0- -111341- 2=4- 9十

11、4- 9-1-3一2(2)2x43x4y 3 6x 2y 3 (x, y>0).国第（1）原式=1 1 31 4(2)原式=236 x4 4 2y 3 3 x2y.课堂小结1 .知识清单：（1）n次方根的概念、表示及性质.（2）根式的概念及性质.（3）分数指数哥与根式的相互转化.（4）分数指数哥的运算性质.2 .方法归纳：转化法.3 .常见误区：对于必，当n为偶数时，a>0.（2）混淆（厂和守0随堂演练1 .（版）4运算的结果是（）A. 2 B. 2 C.上 D.不确定答案 A解析（4/2）4 = 2.2 .若a<1,则化简弋4a-1 2的结果是（）A. 4a1B. 1 4a

12、C. _ 44a - 1D. _ q 1 _ 4a答案 B解析 a<14 4a1<0,q 4a- 1 2= |4a- 1|=- (4a- 1)= 1 -4a.3.下列运算结果中，正确的是 （）A. a2a3 = a5B. (a2)3= (a3)2C. h/a-1)0=1D. (-a2)3=a6答案 A解析 A项，a2 a3 = a2+3=a5,故A项正确；B 项，(a2)3 = a6, (a3)2=a6,故 B 项错误；C项，当a=1时无意义，故 C项错误；D项，(a2)3=a6,故D项错误.11 一 八 124.计算：0.25X -2 44登0 -=.答案 4解析原式=16-4-

13、 1 144=4 - 4 4= - 4.课时对点练基础巩固1.若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）A.右 B./ C.Q D.北答案 D解析 当a<0时，a的偶次方根无意义.2.若 /a2+ (a 4)0有意义,A. 2, +oo )C. ( 8, 2) U (2, +8)答案 Ba 20, 解析由题意可知a 4 w 0,则a的取值范围是()B. 2,4) U (4, +8)D.(巴 4)U (4,+8 )''' a白5 2 且 a w 4.3.化简3 8a 3 , y 27b3 4(其中 a。，b>0）的结果是（2aA.3b 22a 1613b C

14、.81a4b4 " - 81a4b4答案 C解析J 8a 3 4,27b3423a 3 33b72a 1 4_ 16 前一81a4b44,下列等式一定成立的是（）13A. a3 a2 = aC. （a3）2=a9答案 D11B. a" a" = 011D. a" a"1a6解析 同底数塞相乘，指数相加，故数塞相除，指数相减，故 D正确.A, B错误；因为（am）n=amn，3X2=6,故C错误；同底5.若a>0,将表示成分数指数哥，其结果是 （15A. a2 B. a6答案 C73C. a6 D. a2解析由题意得12173 = a66.

15、（多选）下列根式与分数指数哥的互化正确的是（）1A.依=（x）21B.6/y2= y3(y>0) 31D.3/( x)2 4 = x2 (x>0)答案 BCD11解析A项错误，Vx =x2(x>0),而(x)2 =Vx(x< 0)；B项正确,1泞=y3(y>0)；C项正确,D项正确,7 .当 x<0 时，x+ 4X4+望=X答案1 解析 原式=x+冈+ X=xx+1=1.8 .方程3x-1=1的解是. 9答案 x=- 1解析 3x 1= 1=3 2? x- 1 = - 2? x= 1. 99 .化简下列各式：(1)q 乖-32+y 通-22 ；(2)1 -x

16、 2 + 3 _ x 2(x> 1).解(1).第_32 7 卡-22 = |75-31+175-21=3-75+/5-2= 1.(2)当 1Wx<3 时，4 1 _ x 2 + 7 3 x 2 = |1 x|+ |3 x|= x 1 + 3- x= 2;当x>3时，4 1 _ x 2 + 7 3 x 2 = |1 x|十 |3 x|= x 1 +x 3= 2x 4.所以原式=2, 1< x<3, 2x-4, x>3.2 11110. (1)化简：2a3b26a2b31 53a 6b6 (a>0, b>0)；(2)求值:3 一 一 1 22= 0

17、+2 2X 2-0.010.554.2 11 11 5解(1) 2a3 b26a2b33a 6 b62 1 11 1 5=2x (6)x ( 3)a3 2 6b2 3 6536ab3.131 2(2) 25 0+2 2X 2-0.010.51=1 +-X411 21001106 10 15.综合运用311.若1 2x 4有意义，则x的取值范围是（）1 , . 1A. RB. 8, 2 U 万，+81 1c.万，+°°d. 8, 2答案 D解析将分数指数塞化为根式，可知需满足1 - 2x>0,一 11解得X、.12.已知m10=2,则m等于（）A.1 版 B.一般 C.V210 D. ±1 般答案 D解析 : m10= 2,m是2的10次方根.又10是偶数,- 2的10次方根有两个，且互为相反数.- m= ±1版.)55a 6D. a613 .化简寸二a%的结果为（25A. a5 B. a 6 C.答案 B115解析原式= a 2 a 3 a 6.14 .如果 45x= 3,45y= 5,那么 2x+ y=.答案 1解析 由 45x= 3,彳导(45x)