第5次杯赛真题详解（华杯赛）

1、1. 里山镇到省城的高速路全长189 千米, 途经县城, 里山镇到县城54 千米. 早上8:30, 一辆客车从里山镇开往县城, 9:15 到达, 停留15 分钟后开往省城, 11:00 到达. 另有一辆客车于同天早上8:50从省城径直开往里山镇, 每小时行驶60 千米. 那么两车相遇的时间为_.答案：10:08 解：客车先从里山镇到县城走了54km，此时是9:15，之后又停留了15分钟，所以是9:30从县城出发的，11:00到达省城，这段时间的速度是此时另一辆从8:50出发的车已经行驶了40分钟了，走了千米剩下的189-54-40=95km就是两车合走的，也就是所以相遇时间是10:08.（徐峰

2、老师整理）2. 能否用540个下图所示的1×2的小长方形拼成一个6×180的大长方形，使得6×180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星? 请说明理由. 答案：可以前179行的排法都相同，如下图所示，第180行有所不同。保证每行每列都是奇数个星星。（魏杰老师整理）3. 已知100 个互不相同的质数，记，问: 被3 除的余数是多少？答案：如果某一个p等于3，那么结果为0；如果没有一个p等于3，那么结果为1解析：首先考虑一个质数的平方除以3的余数：如果该质数就是3，那么它的平方除以3余数为0；如果该质数不是3，那么它本身除以3一定是余1或者余2，无论哪一种，平方之后除

3、以3的余数都是1。根据余数的可加性，当某一个的时候，其余99个平方除以3都是余1，因此，余数为0当任何一个，所有的平方除以3都是余1，那么，余数为1（韩承程老师整理）4. 林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了1/3，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了1/3，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的_（用分数表示）答案：解析：大家要先分析清楚的是不论我是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的，要是能想清楚这一点那么这到题就变成了一道纯找规律的问题了。 喝掉的牛奶 剩下的牛奶第一次： 1第二次： ×（喝掉剩下的） ×

4、（剩下是第一次剩下的）第三次： ×（喝掉剩下的） ×（剩下是第一次剩下的）第四次： ×（喝掉剩下的） 所以最后喝掉的牛奶为：（尹斌老师整理）5. 右图是一个三角形网格, 由16 个小的等边三角形构成. 将网格中由3 个相邻小三角形构成的图形称为“3-梯形”. 如果在每个小三角形内填上数字19 中的一个, 那么能否给出一种填法, 使得任意两个“3-梯形”中的3 个数之和均不相同？如果能, 请举出一例；如果不能, 请说明理由. 【考查知识点】抽屉原理【答案】不能【解析】三角形网格中的“3-梯形”共分了三个方向（沿三条边的三个方向），我们只需要数出其中一个方向，然后将个数乘3即可。我们先数一下沿底边方向的“3-梯形”的个数，按层数即可（有正有反），从最下一层依次是5个、3个、1个，共5+3+1=9（个），故三角形网格中共9×3=27（个）“3-梯形”；而每个小三角形内填上数字19 中的一个，所以每个“3-梯形”中三个数的和最小是1+1+1=3，最大是9+9+9=27，共273+1=25（个）和；这里将3个数的和看做抽屉，27个“3-梯形”看做苹果，根据抽屉原理将27个苹果