教学内容：弦切角

1、.教学内容：弦切角 【学习目标】1理解弦切角的概念，掌握弦切角定理及其推论，并会运用它们解决有关问题2通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法 【主体知识归纳】1顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角2弦切角等于它所夹弧所对的圆周角3如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 【基础知识讲解】1弦切角的定义要注意以下两点：(1)角的顶点在圆上，实际上就是角的顶点是圆的一条切线的切点；(2)角的一边是过切点的一条弦(所在的射线)，角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线2弦切角定理的证明与圆周角定理的证明相仿，也分三种情

2、况第一种情况是特殊情况，其他两种是一般情况，通过作辅助线可转化为第一种情况3弦切角是与圆有关的又一种角，要能在图形中准确地识别，并能正确应用弦切角定理及其推论它给我们提供了证明角相等的又一个重要依据，它常常与圆周角、圆心角性质联合应用来进行证明、求解 【例题精讲】例1：如图7170，ABC中，AD为A的平分线，O过A点切BC于D点，且与AB、AC分别交于E、F点求证：EFBC剖析：欲证EFBC，可证同位角相等或内错角相等由于同位角的关系不易找，所以设想构造内错角，连结DF，因为4是弦切角，所以42,又31,12,易得34证明：连结DFBC是切线EFBC说明：(1)本例通过作辅助线DF

3、，利用弦切角定理、圆周角定理的推论，证明两个角相等，从而证得两直线平行体现观察、分析、构造、联想、综合解决问题的几个环节观察、分析、联想、构造、综合应用是解决几何问题的重要手段(2)本例中，设AD与EF交于G有结论：DF2DG·DA例2：如图7171，已知O的弦ABCD，过A点作O的切线交CD的延长线于E求证：AD2DE·AB剖析：欲证AD2DE·AB，需证AD：DEAB：AD因为ABCD，所以，知BCAD，需证AD：DEAB：BC连结AC，只需证ABCADE即可证明：连结AC，说明：(1)本例是利用弦切角定理和圆内接四边形的性质定理，找出相等的角，然后在证明三角

4、形相似的基础上再证明等积式这种方法在以后证题时还要用到，要注意掌握(2)本题还可直接连结BD，证ABDADE例3：如图7172，AB为O的直径，过B点作O的切线BC，OC交O于点E，AE的延长线交BC于点D(1)求证：CE2CD·CB；(2)若ABBC2 cm，求：CE、CD的长剖析：要证CE2CD·CB，连结BE，证CEDCBE即可(1)证明：连结BE由(1)知CE2CD·CB，而CB2，(1)22·CD，CD(3) cm说明：有切线，并需要寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件例4：如图7173，AB是半圆O的直径，ACAB，BDAB，C

5、D切O于E 求证：OE2AC·BD证法一：连结AE、OE、BEAB是O的直径，BDAB，CAAB CA、DB是O的切线CD切O于E，CECA，CAECEAOBOE，OEBOBECAEOBE，CAECEAOBEOEBACEBOE 同理可证 AOEBDE 则OE2AC·BD证法二：如图7174，分别延长DC、BA交于点P，连结OE、AE、BECD是O的切线，OECD 即PEO90°又 CAAB，DBABCAPDBP90°RtPACRtPEORtPBD则PD是O的切线，PEAEBPPEAPBE 即OE2AC·BD证法三：如图7175，连结O

6、C、ODCD、AC、BD分别是O的切线，ACCE，BDDE，13，24，ACBD12(ACDBDC) ×180°90°OECD OCEODEOE2CE·BEOE2AC·BD说明：(1)此例是以切线的判定、切线的性质、弦切角、切线长定理、相似三角形等知识构成的证法一、证法三中要用到切线长定理及切线的性质，所以要先证明CA、BD是圆的切线(2)本例题的结论是证明线段成比例，前两种证法用“等比代换”，第三种证法是“等线段代换”思路是这样分析的：结论中的三条线段OE、AC、BD不在一个三角形中，则不能直接用三角形相似来解决由于图中有和OE、A

7、C、BD相等的线段，所以可以想到用“等线段代换”例5：如图7176，设点P是等边三角形ABC外接圆上的一点，AP交BC于D求证：(1)PAPBPC；(2)PA2BC2PB·PC；(3)剖析：证明PAPBPC，可在AP上截取AEBP，然后再证明PEPC即可由结论(1)可知，要证明PA2BC2PB·PC，只要证明PBDPAC和PABBAD,得PA·PDPC·PB，AB2PA·AD再结合(1)的结论，即可得证第(3)问，可先把结论整理变形为，又由(1)知，PCPBPA，所以结论可变为PD·PAPB·PC，由PBDPAC即可证得证明

8、：(1)在PA上截取AEPB，连结ECABC是等边三角形，BCACCAEPBC，AECBPCCECP,CPACBA60°PCE是等边三角形即PCPE，PAPBPC(2)BPDAPC60°,CAPCBP,PBDPAC,即PA·PDPB·PC又ABCBPA60°,BADBAP,PABBAD,即PA·ADAB2,得PA(PDAD)AB2PB·PC又PAPDAD，ABBC，PA2BC2PB·PC(3)由(2)中得，PA·PDPB·PC，由PAPBPC，代入上式，得， 【同步达纲练习】1选择题(

9、1)AB是O的弦，CD是经过O上点M的切线，若CDAB，则AM和BM的关系是AAMBMBAMBMCAMBMD无法确定(2)如图7177，PC与O相切于C点，割线PAB过圆心O，P40°，则ACP等于A20°B25°C30°D40°(3)如图7178，四边形ABCD内接于O，AB是直径，过C点作O的切线MN，若BCM38°，则B等于A32°B42°C52°D48°(4)如图7179，ABC内接于O，PC切O于C点，PCD20°，则A等于A20°B30°C40°

10、;D50°(5)如图7180，AP平分BAC，过P点的切线交AC的延长线于D，若AB3，AD6，则AP等于A18B9 C3D2(6)如图7181，PC与O相切于C点，割线PAB过圆心O，若的度数为70°，则P等于A25°B20°C35°D55°(7)如图7182，PA、PB切O于A、B，P50°，则D的度数为A65°B75°C40°D130°(8)如图7183，AD是O的切线，A是切点，则ACB、BAD与AOB之间的关系是AACB2BADAOB BACBBADAOBCACBBADAOB

11、DAOBACBBAD(9)如图7184，ABC内接于O，BCAC，过B，C分别作O的切线，两条切线相交于P，P80°，则ABC等于A50°B65°C75°D100°(10)如图7185，已知PA、PB分别切O于A、B，APB60°，若PA10 cm，则O半径的长为AcmB5 cmC10cmD5cm2填空题(1)ABC内接于O，B25°，C75°，过A作O的切线交BC延长线于P，则P_；(2)如图7186，在O中，AC是弦，AD是切线，CBAD，垂足为B，又CB与O交于E，若AE平分BAC，则ACB_； (

12、3)如图7187，CD、BC切O于D、B，直径DA的延长线交CB的延长线于E，若的度数为60°，则BDC_，C_，E_；(4)如图7188，O是ABC的内切圆，D、E、F为切点，A：B：C4：3：2，则DEF_，FEC_；(5)已知：O的弦AB，BC切O于B，且ABC30°，则O的直径为_；(6)已知：如图7189，CD是O的直径，AE切O于点B，DC的延长线交AB于点A，A20°，则DBE_；(7)如图7190，BC为O的直径，DE切O于A点，BDDE若ABD50°，则的度数为_；(8)如图7191，已知ABC内接于O，DEBC，且与O切于点F，则图中

13、与BFD相等的角的个数是_(9)如图7192，已知四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，D是AC的中点，C切O于点C，BC30°，则cACD_3如图7193，ABC的一边BC切O于点F，点A在O上，AB、AC与O分别交于D、E，且求证：4如图7194，O是ABC的外接圆，PD是O的切线，与AC的延长线交于点P，D是切点，且BCDP求证：DE·DPBD·CP5已知：如图7195，PA、PB分别切O于A、B，P60°，C为劣弧上任一点，CDPA，CEPB，D、E在AB上，求证：DE是AD、BE的比例中项6如图7196，已知O中，OBOA，P为OA的延长线上

14、任一点，BP与O相交于点Q，过点Q作O的切线QR，与PO相交于点R求证：PQ7如图7197，已知M是以AB为直径的圆上一动点，过M点的切线与分别过点A、B的AB的垂线AD、BC相交于D、C两点求证：OA2AD·BC8如图7198，AB是O的弦，O的割线交O于点、P，过点A、B分别作AB的垂线交直线MP于两点D和C，过点M、P分别作MP的垂线交AB于N、Q两点求证：N·PQAD·BC9如图7199，延长O半径OA至B，使OAAB，D为O的切线，T为切点，BCD于C，D、O、A共线求证：ACBCAD参考答案【同步达纲练习】1(1)B (2)B (3)C (4)A (5)C (6)B (7)A (8)C (9)A (10)A2(1)50° (2)30° (3)60° 60° 30° (4)50° 70° (5)2 (6)55° (7)100° (8)5个 (9)3过点B作AC的平行线，交AF的延长线于G得ABBG，由切割线定理，得BF2BD·BA4连结CD，证PCDDEB5连结AC、BC证明ADCCE