高三数学一轮复习必备精品：函数基本性质高三数学一轮复习必备精品共讲全部免费欢迎下载

1、第 3 讲 函 数 基 本 性 质备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲全部免费欢送下载】一【课标要求】1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2结合具体函数，了解奇偶性的含义；二. 【命题走向】从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不管是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索-预测2021年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调 性、奇偶性以及最值预测明年的对本讲的考察是：(1) 考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大 题；(2) 以

2、中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考 察函数性质预计成为新的热点三. 【要点精讲】1. 奇偶性(1) 定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f ( x)= f(x)，那么称f(x)为奇 函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f( x)=f(x)，那么称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，那么f(x)不具有.如果函数同时具有上述两条性质，那么f(x) 既是奇函数，又是偶函数。函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一 个x，那么x也

3、一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2) 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f ( x)与f (x)的关系；作出相应结论：假设 f ( x)=f (x)或 f ( x) f(x)=O，那么 f (x)是偶函数；假设 f ( x)= f (x)或 f ( x) + f (x)=0，那么 f (x)是奇函数(3) 简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数 是偶函数的充要条件是它的图象关于 y轴对称； 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇

4、 =奇，奇 奇=偶，偶+偶 =偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇2. 单调性(1) 定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量X1, X2,当X1VX2时，都有f(X1)vf(X2)( f(X1)>f(X2)，那么就说f (x) 在区间D上是增函数(减函数)；的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量Xi, X2；当X1VX2时，总有f(Xi)vf(X2)(2) 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性，区间 D叫做y=f(x

5、)的单调区间。(3) 设复合函数y=fg(x)，其中u=g(x), A是y=fg(x)定义域的某个区间，B是映射 g：xu=g(x)的象集： 假设u=g(x)在A上是增(或减)函数，y=f(u)在B上也是增(或减)函数，那么函数y=fg( x) 在A上是增函数； 假设u=g(x)在A上是增(或减)函数，而y=f(u)在B上是减(或增)函数，那么函数y=f g( x) 在A上是减函数。( 4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取 Xi，X2 D,且 Xi<X2；作差 f(x1)f(x2) ；变形(通常是因式分解和配方)；定号(即判断差f

6、(Xi) - f(X2)的正负)； 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。( 5)简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数 g(x) 是减函数；增函数 f (x) 减函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 增函数 g(x) 是。3最值(1)定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x I，都有f(x) < M存在x° I，使得f(x°)=M。那么，称M是函数y=f (x)的最

7、大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x I，都有f (x) > M存在Xo I，使得f(Xo)=M。那么，称M是函数y=f (x)的最大值。函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0 I ，使得 f(x0)=M；函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x I，都有f (x) < M(f (x) > M)。( 2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法： 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值； 利用图象求函数的最大(小)值；利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间

8、a，b上单调递增，在区间b, c上单调递减那么函数y=f(x)在 x=b 处有最大值 f ( b) ；如果函数y=f(x)在区间a, b上单调递减，在区间b, c上单调递增那么函数y=f(x)在 x=b处有最小值f (b)；4 周期性(1)定义：如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)=f(x)，那么称f(x)为周期函数；(2)性质：f(x+T)=f(x)常常写作f(x T) f(x T),假设f(x)的周期中，存在一个最小的2 2正数，那么称它为f(x)的最小正周期；假设周期函数f(x)的周期为T,那么f( 3 x)(3工0)是周期函数，且周期为 四【典例

9、解析】题型一：判断函数的奇偶性解:(1)函数定义域为R,例1 讨论下述函数的奇偶性:f( x)x.16 x2x 11 12,亠些14x、.16x1 2x2f(x), f(x)为偶函数;(另解)先化简:f(x)16；1. 4x 4 x 1,显然f(x)为偶函数；从这可以看出,化简后再解决要容易得多。(2)须要分两段讨论： 设 设 当 x=0 时 f (x)=0，也满足 f ( - x)= -f (x)；由、知，对x R有f( -x)= - f (x) ,. f (x)为奇函数;(3)1 x20x210x21，二函数的定义域为x f(x)=log 21=0(x=± 1)，即 f(x)的图

10、象由两个点 A (- 1, 0) 与 B (1, 0)组成，这 两点既关于y轴对称，又关于原点对称， f(x)既是奇函数，又是偶函数；(4) v x2< a2, a要分a>0与a<0两类讨论， 当a>0时， a x a 函数的定义域为(a,0)(0,a),|x a | a:2 2x a 0, f (x) 一a，二当 a>0 时，f (x)为奇函数; 当a 0时,Q x a 0, f(x),取定义域内关于原点对称的两点 Xi, X2,x 2a22f(a) f( a)3 0,当a 0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.2253点评：判断函数的奇偶性是比拟根本的问题

11、，难度不大，解决问题时应先考察函数的定 义域，假设函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要保证定 义域不变)-例2. (2007年江苏省南京师范大学附属中学)函数f(x) |x2 ax b | (x R,b 0)，给 出以下三个条件：存在X。R，使得f ( X。) f(x°);(2) f(3) f (0)成立；(3) f(x)在区间a,)上是增函数.假设f(x)同时满足条件和(填入两个条件的编号)，那么 f(x)的一个可能的解析式为f (x)答案满足条件 (2)时，y |x2 3x 1等；满足条件(1)(3)时，y |x2 2x 1等；满足条件(3)时,y

12、x2 3x 9等-题型二：奇偶性的应用2x b例3. 06重庆文)定义域为R的函数f(x) -2 是奇函数。2 a(I) 求a,b的值；(U)假设对任意的t R，不等式f(t2 2t) f (2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围;【解】(1) Q函数f (x)的定义域为R(2) f(x)2x 12x1 2点评：假设奇函数f(x)的定义域包含0,那么f(0)0 .题型三：判断证明函数的单调性例5.( 2021上海文，19)(此题总分值16分)此题共有2个小题，第1小题总分值8分，第2小题总分值8分.函数f(x)2x(1)假设f(x) 2，求x的值;(2) 假设 八)mf(t) > 0对于

13、t 1,2恒成立，求实数m的取值范围.【解】1当x 0时，f x0;当x 0时,f x 2x . .2分2x1由条件可知，2x匸2,即22x 2 2x 1 0,解得2x 1 2.6分2xT 2x 0, x log2 12 .8分当t 1刀时22t右j 0, 10分即 m 22t 124t 1 .Q22t 1 0, m 22t 1 13 分故m的取值范围是5, .16分点评：此题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁例6.f(x)是定义在R上的增函数，对x R有f(x)>0，且f(5)=1 ,设1F(x)=f(x)+丄，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论 f (x)

14、解：这是抽象函数的单调性问题，应该用单调性定义解决 在 R上任取 X1、X2，设 X1<X2，.°. f(X1)vf(X2)，T f(x)是R上的增函数，且f(5)=1，当 x<5 时 0<f (x)<1,而当 x>5 时 f (x)>1; 假设 X1<X2<5，那么 0<f (xjvf (X2)<1, 0<f (X1)f (X2)<1, 1 1 <0,f(xj f(X2) F(X2)vF(x"； 假设 X2>X1>5，那么 f (X2)>f(X1)>1, f(X1)f(X

15、2)>1, 1 1 >0,f(X1)f (X2) F(X2)>F(X1)；综上，F(x)在(x，5)为减函数，在(5，+x)为增函数点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比拟特殊的问题, 其根本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点题型四：函数的单调区间例 7(2021 山东卷文 ) 定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间0,2f (11) f ( 25)().上是增函数 , 那么f ( 25) f (11) f (80) . f (80)f(11) f (80) f ( 25) . f ( 25) f (80) f

16、(11)答案 D解析因为 f (x) 满足 f (x 4)f (x) , 所以 f (x 8) f (x) , 所以函数是以 8 为周期的周期函数，那么 f( 25) f( 1), f(80)f(0), f(11)f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数，f(0) 0,得 f (80) f (0) 0, f ( 25) f( 1) f (1) , 而由 f (x 4) f ( x) 得f (11)f (3) f ( 3) f (1 4) f (1) , 又因为 f (x) 在区间 0,2 上是增函数 , 所以f (1)f(0) 0 , 所以f (1)0 , 即 f( 25) f (80)

17、f (11), 应选 D.【命题立意】 : 此题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质 , 运用化归的数学思 想和数形结合的思想解答问题 .例 8(1)求函数 y log0.7 ( x2 3x 2) 的单调区间；(2)f (x) 8 2x x2,假设g(x) f (2 x2)试确定g(x)的单调区间和单调性。解：( 1)函数的定义域为 (,1)(2,) ，分解根本函数为 y log 0.7 t 、t x2 3x 2显然y log。,在(0,)上是单调递减的，而t x23x 2在(,1),(2,)上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规那么：所以函数 y log0.7(x2

18、3x 2) 在 (,1), (2,) 上分别单调递增、单调递减。(2)解法一：函数的定义域为R，分解根本函数为gf (t) t2 2t 8和 t 2 x2。显然 g f (t)t22x8 在 (1,) 上是单调递减的，(,1) 上单调递增；而t 2 x2在(，0),(0,)上分别是单调递增和单调递减的。且2 x2 1 x 1，根据复合函数的单调性的规那么：所以函数的单调增区间为 (, 1),(0,1) ；单调减区间为 (1,),( 1,0) 。解法二：g(x) 8 2(2 x2) (2 x2)2x4 2x2 8,3g (x) 4x 4x,令 g (x) 0 ,得 x 1 或 0 x 1 ,令

19、g (x) 0 , x 1 或 1 x 0单调增区间为(，1),(0,1)；单调减区间为(1,),( 1,0) o点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同增、异减的规那么 .也可通过导数方 法求单调性。题型五：单调性的应用例9.偶函数f (x)在(0 , + g)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f log 2( x2+5x+4)0解：t f(2)=0,二原不等式可化为 f log 2( x2+5x+4) > f(2) o又T f (x)为偶函数，且f (x)在(0 , +g)上为增函数， f (x)在(一g ,0)上为减函数且 f( 2)=f (2)=0 o二不等式可化为log

20、2(x2+5x+4) > 2或log 2(x2+5x+4) < 2由得 x2+5x+4>4,二 x< 5 或 x >02 1由得0v x +5x+4W 得45105.10<xv 4 或一1<x<2 2由得原不等式的解集为x| x< 5 或亠一0 < x< 4 或1 <x w一卫或 x>0 o2 2例10.奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在0, +g上是增函数，是否存在实数m使f(cos2B 3)+f(4m 2m(os 9 )>f (0)对所有B 0,都成立？假设存在，求出符 2合条件的所有实数m的范围，假

21、设不存在，说明理由-解： f (x)是R上的奇函数，且在0，+g上是增函数， f (x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f (cos2 9 3)>f(2m©s 9 4m)，即 cos2 9 3>2moos 9 4m 即 cos2 9 m(os 9 +2m- 2>0。设t =cos 9 ,那么问题等价地转化为函数2g(t) =t2 mt+2m-2=(t m )2 +2m-2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在240，1 上的最小值为正-.当 m<0,即 m<0 时，g(0)=2 m- 2>0m>1 与 m<0 不符;22g

22、( n)= +2m- 2>04 2 . 2 vir<4+2 . 2，当0w w 1时，即0w me 2时，2 4 2 2 <nW 2当 m>1,即 m>2 时，g(1)= rnn 1>0 n>1。2 m>2综上，符合题目要求的 m的值存在，其取值范围是m>4-2. 2。另法(仅限当m能够解出的情况)：cos2 9 - mosB +2m- 2>0对于0,恒成立，等价于2m>(2 cos2 9 )/(2 cos 9 )对于 9 0, _ 恒成立2当 9 0,时，(2 cos2 9 )/(2 cos 9 ) < 4 2 2，二

23、n>4 2 2。2点评：上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题题型六：最值问题例11.( 2021江苏卷)(本小题总分值16分)设a为实数，函数f(x) 2x2 (x a)|x a|.(1) 假设f (0)1，求a的取值范围；(2) 求f (x)的最小值；(3) 设函数h(x) f (x),x (a,)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x) 1的解集解本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。总分值16分(1)假设 f (0)1，那么 a|a|(2)当x a时

24、,f(x)3x22ax a2,f(x)minf (a),a,a22a ,a 0 2a2,a 03当x a时,f(x) x2ax,f ( X)minf ( a), af (a),a002a2, a 02a2,a 0综上 f (x)min2a2 ,a2a2,a(3) x(a,)时，h(x)1 得 3x22ax a210，0,x(a,a 时， >0,得：(x a 3 2a )(x2讨论得:)时，解集为(a,);时，解集为(壽33 2a a3 2a2);12.2时，解集为f 3 2).设 m是实数，记 M=n|m>1, f(x)=log(1) 证明：当m M时，f(x)对所有实数都有意义；

25、反之，假设 M(2) 当M时，求函数f(x)的最小值；(3) 求证：对每个r M函数f (x)的最小值都不小于1。(1)证明：先将 f(x)变形：f(x)=log3 (x 2n)2+n+m 12 2 13( x 4mxMm+n+ mf (x)对所有实数x都有意义，那么1)。2i当 m M时，m>1, a (x m +m+>0 恒成立,m 1故f(x)的定义域为R反之，假设f(x)对所有实数x都有意义，那么只须2 2 1x 4mxMm+n+>0。m 11令<0，即 16m 4(4m+m+) v 0，解得m 1(2)解析：设 u=x2 4mxMm+n+，m 1m>1，

26、故 m Mt y=log 3u是增函数， 当u最小时，f (x)最小。2 1而 u=(x 2m) +m+，m 1显然，当x=m时，u取最小值为1 nt m 11 此时f (2 n)=log 3( 二 )为最小值。m 11 1(3) 证明：当 m M时，=( m 1)+m 1m 1当且仅当mr2时等号成立。 log 3( n+)> log a3=1-点评：该题属于函数最值的综合性问题, 进行处理题型七：周期问题考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来例13.函数y f(x)是定义在R上的周期函数，周期T 5，函数y f(x)( 1 x 1)是奇函数 又知y f(x)在0,1上是一次函数，在

27、1,4上是二次函数，且在x 2时函数取得 最小值5。 证明：f(1) f(4) 0 ； 求y f(x), x 1,4的解析式； 求y f(x)在4,9上的解析式。解：f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)f(45) f( 1)，又 yf (x)(1x 1)是奇函数, f(1)f(1)f(4)， f(1)f(4)0。 当x 1,4时，由题意可设f (x) a(x 2)2 5 (a 0)，由 f(1) f (4)0 得 a(1 2)2 5 a(42)250， a 2， f(x) 2(x 2)25(1 x 4)。 I y f (x)( 1 x 1)是奇函数， f(0)0，又知y f (x)在0,1上是一次函数，可设 f (x) kx(0 x 1)，而 f (1)