临沂大学大学生数学建模竞赛

1、临沂大学大学生数学建模竞赛（样本） 承 诺 书我们仔细阅读了临沂大学大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是： 所属学院（请填写完整的全名）： 参赛队员 1. 联系方式 2. 联系

2、方式 3. 联系方式 指导教师或指导教师组负责人 日期： 年 月 日25 / 26文档可自由编辑打印A题：中国人口增长预测摘要： 为了解决人口增长预测问题，我们从熟悉的人口的指数增长模型（马尔萨斯模型），人口的阻滞增长模型出发，结合人口的预测和控制模型（偏微分方程）和人口增长的差分模型，宋健-于景元人口发展方程 和城乡人口动态预测模型建立起综合模型。人口的指数增长模型方程 和人口的阻滞增长模型方程均为单调曲线，不能做长期预测，考虑我国的一些基本国情：除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化、老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素有关 ，

3、因此我们需要建立新模型，而宋健-于景元人口发展方程在建模过程中考虑了绝大多数因素，但在迁入迁出频繁时不能忽略g(t)，需要建立城乡人口动态预测模型来处理g(t)。但在引入的城乡人口动态预测模型中，由于市，镇，乡三个不同的地区各自作为一个小整体对应不同的，我们可以先求出各自的，再将三个地区的合为一个三维向量，这样可以把城乡人口动态预测模型中的市、镇、乡三个地区与g(t)一一对应起来，使方程得到统一，并能分别求出市镇乡的总人数，再相加可以得到全国人口，从而检验预测中国人口。 为了得到这个模型的解，我们一一分析涉及到的元素，以2001年城市人口为例：分析各个元素是如何求解的，先用Excel求解了死亡

4、率，婴儿死亡率总和生育率；接着用离散化法，近似利用生育模式h(a,t)；虽然我们没有每一年的具体人数，但通过查询可初步定2001年为初始人口数129533万，由文中所给每年人口抽样调查的样本容量（人数）数据，计算出百分比，再乘以总人口数可以得到相应实际人数；再利用男性、女性比率得到初始数据人口状态向量 ，在人口发展方程 中的中，是已知的，和，在以上几个过程中已解出，从而完成勒斯里矩阵 ，通过程序求出下一年的人口状态向量，不论其他年份还是乡村城镇都可利用这个过程求出人口状态向量，从而求和得到下年全国总人口，在看作常数矩阵时，利用方程可以预测将来人口。关键词：指数增长模型 人口的阻滞增长模型 人口

5、的预测和控制模型 人口增长的差分模型 城乡人口动态预测模型一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以

6、搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。附录1 国家人口发展战略研究报告附录2 人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明二、符号说明1）称固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率；2）表示初始时刻的人口；3）称人口容量，是最大人口数量；4）X(a,t)为t时刻该地区一切小于a的人口总数，即是人口函数。其中a表示年龄，t表示时间，假设都是连续变化的；5）表示人寿命的极限；6）P(a,t)为人口年龄分布密度；7）M(a,t)表示t时刻到t+t时刻年龄在a,a+a区间的死亡人数；8）

7、表示人口绝对出生率；9）表示总和生育率，一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数；10）k(a,t)表示女性比例函数；11）h(a,t)表示妇女生育模式，是年龄为a的女性生育加权因子；12）表示死亡率，时刻t年龄r的人的死亡率；13）表示区域i(i=1,市,;i=2镇;i=3乡)在t年份x岁人口数；14）表示区域i在年份t的 x岁妇女人数；15）为人口状态向量； 16）表示i在年份 t的x岁妇女生育率； 17）表示在t年与 i区域出生的婴儿到 t年末时从区域 i迁移到区域 j的概率；18）表示在t年.与 i区域出生的

8、婴儿存活到 t年末的概率； 19）表示在t年与i区域的x-1岁的人到t年末时从i区域迁移到j区 域的概率； 20）在t年与i区域的x-1岁的人存活到t年末的概率。三、问题分析中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一，影响我国人口发展的因素很多，比如人口基数大、老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化，甚至现在一是实现了人口再生产类型的历史性转变。在不到30年的时间内，人口再生产类型由“高出生、低死亡、高增长”转向“低出生、低死亡、低增长”。人口素质难以适应日趋激烈的综合国力竞争，人口结构性矛盾对社会稳定与和谐的影响日益显现：一是老龄化进程加速，老年人口数量

9、多、老龄化速度快、高龄趋势明显。二是出生人口性别比持续升高， 流动迁移人口规模庞大。面对以上种种问题我们在建立模型时，不可能全面考虑，由建立不受环境影响指数增长模型，逐步加大影响因素，建立阻滞增长模型，完善条限制，建立起涉及出生率，死亡率，婴儿死亡率，年龄结构，男女性别比，妇女生育模式，迁入迁出等因素的综合模型。如下图是男女比率发展趋势中红蓝绿分别表示乡市镇对应的曲线。四、模型的建立与求解 4.1 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）411模型假设1 时刻t人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，即人口的相对增长率为常数，记之为r。2 设人口数X(t)足够大，可以连续变量处

10、理，且X(t)关于t连续可微。412模型建立及求解：据模型假设，不难得到如下初值问题：ïîïíì=×=0)0(XXXrdtdX解之得 （1）>0时（1）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。412参数估计和模型优劣（1）式的参数和可以用表1的数据进行估计。为了利用简单的线性最小二乘法，将（1）式取对数，可得 用上面得到的参数和代入（1）式，将计算结果与实际数据作比较，可以预测人口增长的情况和合理性。然而，不用通过计算仅由+¥=¥®rtteX0lim可以知道有限的地球不可能使人口的无

11、限增长，当然中国也是这样，显然不合常理。不过在自然资源和环境条件充足的条件下还是很好的，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口的增长率是常数这个基本假设。42阻滞增长模型（Logistic模型）421模型分析：分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源，环境条件等因素对人口的增长起阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。422模型建立：阻滞作用体现在对人口的增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数。于是马尔萨斯模型

12、中的初值问题可以写作 （2）对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即 （3）这里称固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量称人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入（3）式得，于是（3）式为 （4）（4）式的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率。将（4）式代入方程（2）得 （5）方程（5）右端的因子体现人口自身的增长趋势，引子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。参数估计：为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模

13、型的参数和，将方程（5）表为 （6）对上式进行离变量法可以求解得到 423模型检验和优劣当人口数的初始值X>X时，人口曲线单调递减，而当人口数的初始值X>X 时，人口曲线单调递增，但当，它们皆趋于X.，阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测因为其形式的相对简单性也常被采用。不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到我国人口将达到最大峰值期内，我国的人口一直将保持增加的势头，之后，将进入缓慢减少的过程

14、这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法还不正确。事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素有关。这需要我们继续求建模型。4.3 综合模型431X(a,t)为t时刻该地区一切小于a的人口总数，即是人口函数。其中a表示年龄，t表示时间，假设都是连续变化的。表示人寿命的极限。X(a,t)是非降的正函数，X（，t）=X（，t）=X（t）和都是连续函数，则记P(a,t)=为人口年龄分布密度。把a无限分割则求和可到,M(a,t)表示t时刻到t+t时刻年龄在

15、a,a+a区间的死亡人数，则有相对死亡率函数即在和a无限小时M(a,t)=(a,t)P(a,t)a若在t+时刻年龄在a+a ,a+a+的人口数为P( a+a, t+t)a有M(a,t)=P(a,t)a-P( a+a, t+t)a当t0可以得到 （7）(t)表示从时刻t-到时刻t婴儿的出生数为(t)这样（7）的定解条件为P(a,0)=P0(a),P(0,t)= (t) 若(t)为总和生育率，k(a,t)为女性比例函数，h(a,t)为妇女生育模式，a1 ,a2+1)为妇女育龄区间（在我国一般取a1 =15,a2=49 ）。则有 (8) (9)若取=2，=n/2这时有rc=r1+n-2,这可以看出提

16、高意味着晚婚，而增加n意味着晚育。但是（7）求解连续的很不方便，把时间离散化，设yi(t)表示t时刻满i周但不到i+1周岁的人口总数，其中i=0,1,2、则有 i=0,1,2、m-1，这里m表示人活的最高年龄。y(t)=(t), 、, (t) 则对（7）式从i到i+1关于a积分并取区间长度为1，整理得到 (10)对（10）应用中值定理得定义, 婴儿的死亡率定义为 因此由以上分析可得在不考虑迁移的情况下，完整的人口发展离散方程组为 记 则总上可得到 其中若考虑迁入迁出人口时，引入迁入迁出向量函数g(t)=(并分解L（t）为则有宋健-于景元人口发展方程 4.3.2为了解决迁入迁出人口g(t),建立

17、城乡人口动态预测模型，实际上是多区域人口预测模型的特例（区域数为3：市，镇，乡）我国国际人口迁移可被忽略。市-镇-乡人口动态预测模型可用以下三个矩阵方程式表示。模型假设1）在迁移发生的当年迁移者的死亡率不受迁移的影响 2）迁移者在第二年遵循迁入地的死亡率和出生地。下面给出预测具体方法10岁组其中， 矩阵中元素的定义如下：K（x）表示区域i(i=1,市,;i=2镇;i=3乡)在t年份x岁人口数。W(x)表示区域i在年份t的 x岁妇女人数。b(x)= b(x) M(0) N(0).b(x)表示i在年份 t的x岁妇女生育率。 M(0)表示在t年与 i区域出生的婴儿到 t年末时从区域 i迁移到区域 j

18、的概率。N(0)表示在t年.与 i区域出生的婴儿存活到 t年末的概率。21岁到岁其中，表示在t年与i区域的x-1岁的人到t年末时从i区域迁移到j区域的概率在t年与i区域的x-1岁的人存活到t年末的概率。3最高年龄组4.3.3由于人口动态预测模型是3维向量，而方程（13）中m个向量中的一个值与其对应，显然不合理，但当把地区市，镇，乡所对应年龄的人口数合为一个3维向量时就一一对应了，同理也可以把迁入迁出人口模型中的分向量看作方程（14）中的g(t),这样得到的也就分别是市，镇，乡各个年龄的向量组了，再对其全部数据求和就可以得到第年的总人口，进而检验预测人口了，形成比较漂亮的综合模型。434数据处理

19、和结果分析当根据统计资料知道了人口的初始分布和矩阵H(t),B(t)，就可用不同的总和生育率来预测或控制未来的人口数量。下面对所给出的数据进行相关处理。由于市，镇，乡是分别求解再加和，以下都是拿城市为例：4.3.4.1第t年i岁的男性比率乘以其对应的死亡率与女性比率乘以女性的死亡率之和为城市在第t年i岁的死亡率，在Excel中很容易实现，下图是部分数据和处理方法4.3.42求婴儿的相对死亡率 利用4.3.4.1中求出的数可以求出，0岁的死亡率与所有年龄死亡率之和即的比值比如城市中有 年份（城市）20012002200320042005婴儿的死亡率（）0.49560.10020.41290.02

20、1490.057934343总和生育率 生育年龄一般认为是15-49岁，如下图B（18-44岁数据省略）列中15-49岁的生育率之和即为2005年城市妇女总和生育率 4.3.4.4生育模式h(a,t) 由 可以离散化，近似求出生育模式h(a,t) 比如上图中各个年龄的城市妇女生育率与2005年城市妇女总和生育率的比值 生育模式h(a,t)示意图(2001年城市)：4.3.4.5 第t年人口数向量 由文中所给每年人口抽样调查的样本容量（人数）数据，而没有每一年的具体人数，通过查询定初始人口数129533万， 2001年城市男城市女镇男镇女乡男乡女人口抽样数14790714746580279779

21、76394690372242 通过上表可以计算出百分比，再乘以总人口数可以得到相应实际人数比如城市人口总数为A=（147907+147465）129533万/2001年人口抽样总数=313456108.65 则下图是截取的部分20001年城市各年龄人数。 记 xs1=2789759.37 2633031.31 94036.83 282110.50 4.3.4.6勒斯里矩阵 是已知的，在以上几个过程已解决，和，故 为可求的，当然1-也很显然了，则勒斯里矩阵 得出。4.3.4.7考虑H(t)和B(t)的特殊性，可以通过下面程序来计算 H(t)*y(t) 和最总求出y(t+1) 和 X(t)= 这样

22、可以求出城市的下一年人数，用同样方法可以求得镇和乡的人数，从而求出全国人数，当可以看做常数矩阵时，可以通过初始状态y(0)来估计人数。 具体程序见附件14.3.4.8模型分析（人口控制） 在上面模型建立过程（8）式其中除了总和生育率和生育模式h(a,t)外，其余的可以由人口统计资料直接得到，则我们可以控制人口发展过程，可以控制生育率，h(a,t)可以控制生育的早晚和疏密。 4.3.4.9老龄化问题 由于在建模中都是按年龄考虑的，只需把得到的按年龄段考虑，规定老龄的年龄就可以判断处在老龄阶段的人口，判断老龄化程度，下面各年龄比率曲线（依次）为市镇乡的 从上面的所得的曲线图中，可以看出老龄化进程越

23、来越快。 4.3.4.10总上得人口模拟数据和预测情况表 年份人数总计（万人）年份人数总计200112953300002010137934917320021295407609201514303548242003130945229320201475323960200413195692312025151128554620051329480611203015372152512006133929814720351556156345200713491223122040156961443420081359044822204515773546922009136911757620501576954916五、参

24、考文献 ： 1 2 3 45 袁震东等，数学建模，华东师范大学出版社，1999.36 姜启源等，数学模型，高等教育出版社，2003.87 阮桂海等，SAS统计分析实用大全，清华大学出版社， 20038 茆诗松等，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2004.7 9 宋键等，人口控制论，科学出版社，1983 10 杨启帆等，数学模型，浙江大学出版社，1990 11 曾毅，中国人口发展态势及对策探讨，北京大学出版社，1994.2 12 Meng Yi Wang Zizheng Sia Waileng,Study of Mathematical Models for Population proj

25、ection 13 国家统计局，中国统计年鉴，中国统计出版社，1992 14 国务院人口普查办公室，国家人口统计局人口社会和科技统计公司，2000年第五次全国人口普查主要数据，中国统计出版社，2001 15 清源计算机工作室，MATLAB6.0基础及应用，机械工业出版社，2001六、附件附件（1） data ax;input n r1 r2 r3 r4 r5;title '各年龄比率曲线（乡）'label n='年龄' r1='各年龄比率2001' r2='各年龄比率2002' r3='各年龄比率2003' r4=

26、'各年龄比率2004' r5='各年龄比率2005' ;cards;01.251.241.211.141.1911.060.930.950.931.1621.121.131.11.031.1631.281.191.181.11.1641.351.351.181.151.2651.451.371.41.161.2961.581.471.381.281.2871.551.581.471.311.4281.731.561.651.41.4491.821.681.581.511.49102.031.851.821.561.69112.41.891.751.691.612

27、2.282.361.921.821.82132.172.272.41.951.89142.312.192.342.472.09152.022.32.132.32.33161.7622.262.032.01171.511.631.822.031.64181.431.521.541.671.56191.521.31.361.311.21201.351.541.321.281.06211.321.281.431.21.01221.411.351.331.371.03231.41.391.341.261.2241.351.411.391.251.09251.551.311.411.291.09261.

28、561.481.231.31.12271.711.511.461.181.11281.771.691.51.381.07291.791.721.621.381.2301.911.861.741.641.29311.991.771.711.61.44321.9121.831.741.51332.051.8121.821.6341.772.031.8621.69351.961.732.091.891.9361.891.921.722.131.78371.791.821.911.7123821.841.841.961.69391.471.981.781.861.89400.911.642.081.8

29、31.9411.090.831.562.031.77421.011.140.891.582.05431.2711.050.871.6441.421.280.951.060.87451.331.481.290.991.09461.411.341.391.321471.41.421.331.481.35481.311.431.411.431.58491.31.291.371.481.46501.221.441.41.531.63511.151.131.321.381.57521.111.141.161.431.5530.971.121.121.231.51540.960.971.111.191.2

30、8550.860.960.991.161.29560.820.870.931.021.24570.790.80.860.981.07580.740.770.80.911.06590.690.710.750.820.96600.750.780.790.850.95610.680.690.690.750.87620.610.680.710.710.81630.690.60.650.730.77640.660.680.590.680.77650.650.650.670.590.79660.580.610.630.660.63670.570.580.570.630.7680.590.550.580.6

31、20.67690.480.530.540.570.65700.50.540.620.590.67710.470.450.470.560.57720.390.470.450.490.6730.40.370.460.460.51740.350.380.330.460.46750.310.350.380.360.48760.320.280.310.370.37770.260.270.270.310.37780.240.260.260.270.33790.210.220.220.250.27800.190.210.210.250.28810.160.160.160.190.23820.130.140.

32、150.160.19830.10.120.120.150.17840.090.10.10.120.13850.070.080.080.080.11860.060.060.070.080.08870.050.040.050.060.06880.040.050.040.050.05890.030.030.030.030.04900.080.080.090.110.11;symbol1 c=blue i=spline v=star;symbol2 c=green i=join v=square;symbol3 c=red i=lx v=star;symbol4 c=black i=join v=st

33、ar;symbol5 c=yellow i=lx v=square;proc gplot data=ax;plot r1*n=1 r2*n=2 r3*n=3 r4*n=4 r5*n=5/OVERLAY;run;附件（2） as1=00.9999920920.9999858460.99999756410.99998172910.99999640.999991670.9999973210.99999847510.9999928720.9999971530.99998364510.999996480.9999971830.9999943790.9999817070.9999765620.999998

34、5210.9999887110.9999940140.9999942730.9999989990.999989050.9999887780.9999988880.9999830430.999982640.9999929940.9999739990.9999768580.9999785820.9999773060.9999643880.9999795580.9999800530.9999782180.9999854440.9999502120.9999742960.9999863780.999956680.9999694610.9999764150.9999839350.9999639460.9

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36、510.9998474740.999880760.9999058660.9998285570.9998791950.9999121920.9999103760.9999227250.9999052120.9999265610.9999323590.9999619430.999952285xs1=0263.3117602253.9077688282.1197431291.5237345297.7930621319.7357088316.601045329.1397003341.6783555369.8903298423.1796146432.583606448.2569251470.199571

37、8423.1796146398.1023041413.7756232482.738227586.1821328473.3342356448.2569251463.9302442451.3915889448.2569251514.0848652517.219529573.6434776636.3367538652.0100729689.6260386705.2993577670.8180557683.356711520.3541928595.5861243639.4714176717.8380129843.2245654545.4315033401.2369679532.892848460.79

38、55804595.5861243586.1821328542.2968395557.9701585529.7581842473.3342356451.3915889416.910287391.8329765363.6210022313.4663812310.3317174288.3890707253.9077688247.6384411235.0997859247.6384411253.9077688260.1770964241.3691135257.0424326250.773105250.773105235.0997859219.4264668219.4264668194.3491563181.8105011178.6758373147.3291992150.463863119.1172249112.8478972100.30924284.6359229275.231931