双线性变换法

1、广州大学物理与电子工程学院广州大学物理与电子工程学院第四章第四章 IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计4.4 4.4 双线性变换法双线性变换法主要内容主要内容一、一、二、二、重点与难点重点与难点重点重点1、难点难点1、如何将模拟滤波器转变为数字滤波器如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设计模拟滤波器滤波器AF到到DF的转换的转换利用模拟利用模拟BW滤波器及脉冲响应不变法设计一滤波器及脉冲响应不变法设计一数数字滤波器字滤波器，满足，满足W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15d

2、B 。01-18-16-14-12-10-8-6-4-20Normalized frequencyGain,dBAs = 14.2dB )(sH) (sH)(zHwwW/,/TT)2arctan(2TTwwT wW,)2tan(2WwT模拟频率与数字模拟频率与数字频率的关系为：频率的关系为： 2tan()2TarcwW )2tan(2WwT)2cos()2sin(2j)2tan(2jjWWWwTTwjsWjez11112zzTssTsTz/2/22j2j2j2jeeee2WWWWTWWjje1e12TWWwjje1e12jT双线性变换双线性

3、变换 11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令令s= +jw w，则有：，则有：1) 1) 0,0,|z| 0,0,|z|1S域域虚轴虚轴映射到映射到z域域单位圆上单位圆上S域域右半平面右半平面映射到映射到z域域单位圆外单位圆外)2(tan2Tw) 2/tan(2WTwWppWsWpwsw幅度响应不是幅度响应不是常数时会产生幅度失真常数时会产生幅度失真无混叠无混叠) 2/tan(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww第一步，将数字滤波器的频率指标第一步，将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为模拟转换为模拟滤波器的频率指标滤波器的频率指标 w wk

4、第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)第三步，利用双线性变换法，将第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzH双线性变换法的设计步骤：双线性变换法的设计步骤：W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)设计模拟设计模拟滤波器滤波器双线性变换双线性变换)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数

5、字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(1) 将将DF的频率指标转换为的频率指标转换为AF的频率指标的频率指标)2tan(2ppWwT(2) 设计设计3dB截频为截频为w wp的一阶的一阶BW型模拟低通滤波器，即型模拟低通滤波器，即N=1, w wc = w wp1/1)(cwssH1/1pws故故1)2/tan(21pWsT 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的数字低通滤波器，并与脉冲响应不

6、变法设计的并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器参数参数T的取值和最终的设计结果无关。的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见，一般取为简单起见，一般取T=2 1)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW11112zzTs112697. 01366. 0366. 0zz 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的

7、数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。双线性变换法设计的双线性变换法设计的DF的系统函数为：的系统函数为：110.3660.366( )1 0.2697zHzz双脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为：的系统函数为：1ppe1e1)(zzHWW脉令令z=ejW W ，可分别获得两者的幅度响应。，可分别获得两者的幅度响应。/3/311 e1 ez 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标计满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计

8、的器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法 脉冲响应不变法脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。不满足给定指标。 双线性变换法双线性变换法不存在频不存在频谱混叠，所设计的谱混叠，所设计的DF满足满足给定指标。给定指标。 利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。H双双(z)和和H脉脉(z)幅度响应比较的幅度

9、响应比较的MATLAB实现实现Wp=pi/3;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1 -exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及

10、双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2 Ap2db, As15db (2) 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 （BW型）型）)/lg(2)110110(lgps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.585 1 2cc1( )()21H sssww9324. 0)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT3342. 05827. 03

11、342. 02ss利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (3) 用用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 11112)()(zzTssHzH21213237. 02606. 018157. 05315. 08157. 0zzzz1122110.34230.827 50.3423zsTzss利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0

12、.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff

13、 frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,de

14、nd,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p

15、, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dbAp= 0.3945dBAs= 15.0000dB利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalize

16、d frequencyGain,dB将将双线性变换法与脉冲响应不变法所双线性变换法与脉冲响应不变法所设计设计DF的结果比较。的结果比较。双线性变换法双线性变换法Ap= 0.3945dBAs= 15.0000dB脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变法脉冲响应不变法Ap= 1.1187dBAs= 12.3628dBW Wp,W Wsw wp,w wsH(z)w =W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法H(s)模拟频模拟频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH复频率变换复频率变换)2tan(2Tw 脉冲响应不脉冲响应不变法

17、不能设计变法不能设计和和数字滤数字滤波器波器11elllp TlAAspz 11112zzTsW Wp,W WsH(z)w =W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法数字频数字频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器sp,ww)(LsH)2tan(2WwT11elllp TlAAspz 11112zzTssp,WW)(LzHz域域变换变换试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字型数字带阻带阻滤波器滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.960

18、3rad/s, As 10dB 。 脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。因此采用双线性变换法设计。 (1) 将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标 )2tan(2WwT取取T=2，利用，利用得模拟带阻指标为：得模拟带阻指标为：w wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp

19、2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通低通滤波器指标滤波器指标 21s2swwB9499. 92s1s0www3714. 0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB, As 10dB 1sww wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 模拟带阻指标模拟带阻指标试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带

20、阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(3) 设计原型设计原型BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器 Ap 1dB, As 10dB 1,3714. 0spww原型模拟低通指标原型模拟低通指标2)/(lg2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN5774. 0) 110()2/(11 . 0scsNAww原型模拟低通滤波器的系统函数为原型模拟低通滤波器的系统函数为 12)(1)(c2cLwwsssH3333. 08165. 03333. 02ss试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad