圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

1、圆锥曲线的极坐标方程极坐标处理二次曲线问题教案知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线 的垂线，垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：ep .1 - ecos 日其中p是定点F到定直线的距离，p>0.当Ov ev 1时，方程表示椭圆；当e> 1时，方程表示双曲线，若p >0,方程只表示双曲线右支，若允许p v 0,方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引

2、论（1）若eP1+ecosB则Ov ev1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线(b2 )若占 当Ov ev 1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当e> 1时！方程表示极点在上焦点的双曲线当Ov ev 1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当e> 1时！方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编(1)二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。5-3cos03x10解法一：3253 1、椭圆中，p=Jc = ， MN

3、 cc ep * ep2ab -ecos 1 -ecos： - J) a2 -c2 coS21 cos。1 - - cos 日55解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令二=0， 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等 于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁 而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决 使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。(2)圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MNg过焦点F，22、双曲线中，(注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。)若M N在双曲线同一支上,若M

4、 N在双曲线不同支上,MNMNep_ ep2ab22 2 2 ?1-ecosr 1-ecos( ) a -c costepep2ab22 2 2 1 ecos 1 - ecos c cos v - a3、抛物线中,MN2p1 -COST 1 -cos(二-打一 sin =2 2例1过双曲线才-計的右焦点，引倾斜角为-的直线，交双曲线与A、B 两点，求丨AB I解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得52 -3cos 二2所以 二所以 ac1,3),b(二 3)得丨'72 -3cos 2 -3cos( +-)73 3注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但

5、求双 曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆，抛物线 的弦的两 个端点 极径均为 正值，所以弦长都 是P1 +f2对于两个端点都在双曲线右支上的弦 ，其端点极径均为正值，所以弦长也是；对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦，其端点极径一个为正值一个为负值，所以弦长是为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用叫+巧变式练习：等轴双曲线长轴为2,过其右有焦点，引倾斜角为-的直线, 交双曲线于A,B两点，求AB 求 I AB I解:附寸录直角坐标系中的焦半径公式设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，1、 若Fi、F2分别是椭圆的左、右焦点，贝卩PF=a + ex， PF2=a

6、 ex;2、若Fi、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PR =ex + a， PF2|=ex_a ;当点P在双曲线左支上时，PR = -a-ex， PF2 =a-ex;3、若F是抛物线的焦点，pf =x + E.2利用弦长求面积2 2高考题（08年海南卷）过椭圆 丄的焦点F作一条斜率为2的直线54与椭圆交于A，B两点，0为坐标原点，求 AOB的面积.简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式| AB |?eP 2求弦长，然后利用1 -e cos 廿公式Sao-| AB|OF |s in. AFO直接得出答案。22变式（2005年全国高考理科）已知点F为椭圆才 y2.o1 cos （

7、二 90 ） =1的左焦点.过点F的直线li与椭圆交于P、Q两点，过F且与li垂直的直线J交椭圆于M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.返解析以点F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：二-21-坐cos日2设直线li的倾斜角二，则直线l2的倾斜角为二900，由极坐标系中焦点IPQF|MN F弦长公式知：用他们来表示四边形的面积即求 -的最大值与最小值1 lsin22.2 16由三角知识易知：当sin2 - 1时，面积取得最小值16 ;当$鬥2二-0时，面9积取得最大值2利用弦长公式解决常量问题2 2 笃+爲=1(a>b>0)例一.过椭圆a b的左焦点F,作倾斜角

8、为60的直线I交椭圆于A B两点，若FA =2FB,求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为e P1 -ecosr则FAe P1 -ecos60°FBe P1 -ecos240°e p e p2 -ee1 122变式求过椭圆二丁話的左焦点，且倾斜角为;的弦长AB和左焦点到左 准线的距离。2解：先将方程化为标准形式：31 一cos 日3则离心率e=l , ep=2 ,3 3所以左焦点到左准线的距为2。设A(订),B( ?2,)，代入极坐标方程，则弦长4 4(3)定值问题例1.抛物线y2=2px(p 0)的一条焦点弦被焦点分为

9、a,b的两段，证明: 丄丄定值。a b解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p，设A（a," B（b,二）1 -cos61 - cos（v 二）将A,B两点代入极坐标方程，得a二1 cos 日则 1二1 - CO* 1 -cosU 二）=2 （定值） a b ppp点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,则有 + MFNFep1 1CD为定值。ep例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB和弦CD,求证亠+ 1 |ab证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为，又设1 ecos&2ep2ep2

10、-则代入可得| AB | 厂 2 ， |AB |2贝S1 -e cos 日1 -e sin 日注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点 建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。2 2例三（2007重庆理改编）中心在原点。的椭圆話弃1，点F是其左焦点,在椭圆上任取三个不同点 RRR使/ PiFP 2 = /甘卩3 = / P3FP1 = 120° .证明：丄+丄+二FPi+FP2FP3为定值，并求此定值.解析：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：匚，2-cos 廿设

11、点P1对应的极角为二，则点F2与巳对应的极角分别为二-1200、二-1200，Pi、P2与P3的极径就分别是|FP1L 占、|FP2F 2_cos（： 120°）与|FP3 卜2cos(120°)111+FP1FP2 FP32cost 2cos(r 120°)2 cos(v 一 1200)999，而在三角函数的学习中，我们知道coscos(” 1200) cosC-1200) =0，因此1 1+FP1FP21FP34为定值极坐标分别表示|FP1 | > | FP2 |与I FP31，这样一个角度对应一个极径.就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径(极径)， 这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.推广1若放在抛物线和双曲