双星三星四星问题

1、双星三星四星问题双星模型"三星模型.四星模型、双星问題1-模型构建，在天休运动巾帛两颗彼此相距较迟 且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速 度、周期和同的匀速园周运动的恒星称为双星。2. 模型条件，（1）两颗星距较近。（2）两菽星靠相互之间的万有引力绘供向心力做匀速园周运动.（3）两霖星绕同一园心做园周运动.3. 模型特点：（1） “向心力等大反向” 一一两菠星做勺速隔周运动的向心力由它们之间的万有引力捏供。（2）_“周如、解度相同” 一一两颗恒星做匀速园周运动的周如 角速度相等。（3）三个反比关系*型与=趣丁2 ；对1舟=功2卩冇 型禺=2处推导:很据两球的向心力大小廂

2、等可袴丿1 3门=吧"亠即血m=血 等式冏zr场I两边同乘以角速度乞得砂I 少即型匕专乃由曲3口=0?"匕言接可得，H71场现迦。（4）巧妙求质量和：£ （ GM "） =a d>2ri（D Error! =zzg cd2j>j（2）由 O+O 2 £35 地=4. 解虽问寇应"两等”"俩不等”（1）佥等”：们的角&度相等。玄腋星做匀速豹周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是 相等G（孑“两不等”：双星做匀速恻周运动的則尤星它们连线上的一点所以双星做匀速园周运动的半径与双星间的距

3、离杲不相等 的,它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.由逊"与二悠小边知由于助与边一不忸等，故“与“F也不相等。二多虽模型 定乂所硏究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外.各星体的角速度或周期相同.三星模型，三履星位于同一言线上，两颗环绕星围绕中央虽在同一半径为左的园形轨道上运行（如图甲所示）.三谢握均为介湖星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）.M-< A/ R :甲/ "决、: j乙四星模型:其中一种是四簇质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上沿着外接于正方形的园形轨道做匀速园周运动（如图 丙）。另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上

4、,另一顆位于中心0夕卜国三颗星绕（液匀速园周运动（如图丁所 示）。三、卫星的追及相遇问題1、某星休的两菽卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规徉：内轨道卫星所转过的园心角与外轨道卫星所转过的劉心角之差为2兀的黝倍.2、某星休的两颗卫®从相距最近到相距最远遵从的规律内轨道卫星所转过的园心角与外轨道卫星所转过的园心角之差为兀的奇数倍.3、对于天体追及冋寇的处理思路，（1）根摒血姑如可判断岀郦角速度大，（2）椒据两星追上或相距最近吋满足两星运行的角度差等于2您在与地球上物体追及时,骏根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断.天体物理中的双星，三星，四星7多星系统是自然的天文现象，天体

5、之问的相互作用遵循万有引力的规 律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的 计算等都是以万有引力提供向心力为岀发点的。双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律:F'二歹,作用力的方向在 双星间的连线上，角速度相答，叭=8工=3、【例题1J天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普嫌 利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算岀它们的总质屋，己知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一 固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T,两颖恒星之间的距离为“试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为 G）【解析

6、】：设两颗恒呈的质童分别为口、叫，做圆周运动的半径分别为！, r2,角速度分别为3、3 根摇题 意有“ Gm,r=棍据万有引力定律和牛顿定律，有G /联立以上各武解得M3根据解速度与周期的关系知2x朕立式解得4/ 3"、【例题2】神奇的黑狗是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞ALjL_b 的方案之一是观 测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LM 0/ CX3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质戌，不考虑其他天体的 '、-/'/影响.A. E围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之问的距离保持'、/双星三星

7、四星问题不気如图4 -2所示引力常量为6由观测能够得到可见星A的速率V和运行周期T.(1) 可见星A所受暗星B的引力孔可等效为位于O点处质量为皿的星体(视为质点对它的引力，设A和B的质 竜分别为m】、m?,试求m，(用m】、m?衣示)。(2) 求暗星B的©B m2与可见星A的速率x运彳亍周期T和之问的关系式；恒垦演化到末期，如果其质量大于太阳质量m,的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2. 7X10 nVS ,运行周期T=4。7nxl 0$,质量mi=6ms>试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G= B。6 7x1 011 N-m2/kg27 ms=2* Ox

8、1 0K kg)解怩 设A- B的圆轨道半径分别为由题意知，队B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为由牛顿运动定律，有巧=mrv町=眄血设A、B间距离为尸，则r = rx+r2由以上各式解得?=：由万有引力定律，有巧=G巴笄，代入厂得Fd=G 一軽r(«i +叫：令G啤,通过比较得-叫。耳+m2)(2)由牛顿第二定律，有G哼=码二而可见星A的轨道半径q =另将曲代入上式解得嵌产務iff 3i/T*将吩仇代入上朋©叫二)厂越设m2 =nm(n>0),将其代入上式得(6m£ + nij代心据得盘冷"盹ms =35zw$(-+1)2n«23

9、71;a *二二 3.5m、（6帆 5/（?+1）2n可见，-的值随n的增大而增大，试令m得®叫 +m2）叫=0125m： <3.4叫可见，若使以上等式成立，则必大于2,即暗星B的质量也二必大于2m新由此可得出结论；暗星B有可能 是黑洞.【例题刃天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，井沿半 径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双呈间距为L,质宦分别为叫、M：,试计寡（1）双星的轨道半径（2）或星运 动的周期。15解析，双星绕两若连线上某点做匀速圜周运动，即:G11 由以上两式可得:珀=碍+碣"吗只由G讐二砌【例题4】我们的银

10、河系的恒星中大约四分之一是双呈.某双星由质輦不等的星体S和S：构成，两星在相互之间 的万有引力作用下绕两者连线上某一定点c做匀速圆周运动.由天丈观察测得具运动周期为T,头到C点的距 离为5SJP "的距离为r,已知引力常莹为G.由此可求出足的质盍为（D ）GT7GT7GT1GT1答案:D解析 双星的运动周期是一样的，选岔为研究对象，根据牛輙第二定律和万有引力定律得口g 弓 =加1斤宅-,则m, = 4a r1 故正确选项D正确。r3T2GT2双星三星四星问题【例题5如右图倾量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点撤匀速周运动屋球A和B两者中心之间距离为L。己知A、E的中心和

11、0三点始终共线,A和B分别在0的两侧引力常数为G。述星球A和认为月球是绕别为5 .g（1）求两星球做圆周运动的周期。（2）在地月聚统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上E,月球绕其轨道中心运行为的周期记为T-但在近似处理问题时，常常 地卜做圆周运动的，这样律得的运行周期T-已知地球和月球的质量分SxlOkg和7。35 x1022kg °求T?与两者平方之比。（结果保留3位小数）垮案品矗 |21-01【解析】A和B绕O做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。因此有mar = Mo1R, r+R

12、 = L.连立解得尺=Lm + M对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得e化简得将地月着成双星，由得7；二2疋G(Af + m)£G(M + tw)将戸球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得化简得c 才时 ta七 4古4m + M 5.98 x IO2* +7.35X1022所以两种周期的平方比值为皆仁rr二一莎时一【例题B】2012-江西联考】如右圏，三个质点不b、c质量分别为叫、口、M在c曲万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀連圆周运动,它们的周期之比T °：Tl：k；从图示位直开始在b运动一周的过程中，则（）A. a. b距离最近的次

13、数为k次B. 包、b距离最近的次数为k+1次C. a. b. c共线的次数为2kD. 一 b、c共线的次数为2k2【答案】D【解析】在b转动一周过程中，a. b距离最远的次数为次，弘b距离量近的次数为k1次，故空b、c共线 阻次数为2k-2,选项D正确.【例题7】字宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星聚统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式三一种是三颗星位于同一亘线上，两颗星国绕中央星在同一半径为R的圆轨逍上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质莹均为(1) 试求

14、第一种形式下，星体运动的线連度和周期，(2) 假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 答案警<2)R解析"对于第一种运动情况，以某个运动星体为硏咒对象7根据牛顿第二定律和万有引力定律有Gm2 戸 Gm2F'P巧=両F1 + F2=nv2/R运动星体的线速卧蛊2317?周期为T,则有1= (2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为R，= ”2cos 30°由于星体撇圆同运动所需旻的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有二4h2 彳 iIF合=帕尹R 【例题8】（2012湖北百校联考）宇宙中存在由质量相答凶四颗星组成的四星系统,四星系统离其他恒星较远，通常可忽略具他星体对四星系统的引力作用.己观测到稳定的四星系统存在两种基本更构成形式:一种是四颗星稳定 地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速